移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道管體TMD減振分析及優(yōu)化布置

楊 贏, 金利成, 項(xiàng)貽強(qiáng), 何余良

(1. 紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院, 浙江 紹興 312000; 2. 浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 杭州 310058)

懸浮隧道(submerged floating tunnel,SFT),是一種跨越寬闊水域的新型交通結(jié)構(gòu)物,其依靠浮力、自質(zhì)量及錨固系統(tǒng)的作用實(shí)現(xiàn)平衡,故又稱(chēng)“阿基米德橋”。根據(jù)錨固方式的不同,通?？煞譃楦⊥彩健⒐潭ㄖС惺胶湾^索式。懸浮隧道為復(fù)雜環(huán)境水域的跨越提供了新的可能性[1-2]。目前,錨索式懸浮隧道的研究最為廣泛,是最有可能實(shí)現(xiàn)的形式。

懸浮隧道在運(yùn)營(yíng)期間,除長(zhǎng)期受到波流等外部環(huán)境荷載外,管體內(nèi)部移動(dòng)車(chē)輛荷載的作用也不容忽視。基于此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題展開(kāi)了相關(guān)研究,Tariverdilo等[3]將移動(dòng)荷載簡(jiǎn)化為常荷載,并考慮了流體附加質(zhì)量的慣性效應(yīng),研究表明增加錨索剛度可以控制移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)。董滿生等[4]將移動(dòng)車(chē)輛荷載簡(jiǎn)化為一系列等間距的移動(dòng)集中荷載,分析了懸浮隧道的位移時(shí)程響應(yīng)。項(xiàng)貽強(qiáng)等[5]基于彈性地基梁模型,將移動(dòng)車(chē)輛荷載等效為移動(dòng)常荷載,分析了流體作用效應(yīng)下懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)。Lin等[6]提出一種懸浮隧道在車(chē)-隧-流相互作用下動(dòng)力響應(yīng)的理論分析模型,討論了水流流速、浮重比、錨索傾角等多個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的影響。Jin等[7]求解了SFT-錨索-列車(chē)耦合動(dòng)力方程,研究了波浪和地震激勵(lì)下它們的動(dòng)力和水彈性相互作用。Xiang等[8]研究了移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下懸浮隧道的動(dòng)力特性,通過(guò)模型試驗(yàn)討論了不同車(chē)輛參數(shù)和錨索參數(shù)對(duì)SFT的影響。

近年來(lái),移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題逐漸被人們重視。當(dāng)既有線路上一些橋梁的自振頻率與車(chē)輛荷載的激振頻率接近時(shí),會(huì)引發(fā)共振現(xiàn)象,導(dǎo)致車(chē)輛通過(guò)橋梁時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)急劇增大,造成極大的安全隱患,這一現(xiàn)象在懸浮隧道上也不例外。然而,當(dāng)前對(duì)于移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道的振動(dòng)控制卻鮮有報(bào)道。

為減小移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道管體的動(dòng)力響應(yīng),本文采用TMD作為減振措施并分析了其減振效果。將懸浮隧道管體簡(jiǎn)化為彈性地基梁,采用移動(dòng)簡(jiǎn)諧力模型,考慮流體的附加慣性效應(yīng)和阻尼效應(yīng),建立了移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道管體和TMD系統(tǒng)振動(dòng)控制方程組。采用Newmark-β法進(jìn)行數(shù)值求解,分析了TMD對(duì)懸浮隧道管體位移的減振效果,討論了移動(dòng)速度和TMD阻尼比對(duì)減振效果的影響,從而得出TMD的最優(yōu)參數(shù)及適用條件,為懸浮隧道的振動(dòng)控制提供參考。

1 理論分析模型

圖1為典型錨索式懸浮隧道結(jié)構(gòu)示意圖。在以管段為研究對(duì)象時(shí),可將懸浮隧道錨索視為彈性支撐[9]。Sato等[10]認(rèn)為在錨索和管體的剛度滿足式(1)時(shí),等間距的彈性支撐可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為連續(xù)的彈性地基。

(1)

式中：K為一對(duì)錨索的錨固剛度;H為錨索的間距;EI為管體抗彎剛度。

圖1 懸浮隧道模型示意圖

因此,本文將懸浮隧道管體視為彈性地基梁。TMD安裝在管體跨中位置。TMD的構(gòu)造參考了橋梁減振中廣泛應(yīng)用的經(jīng)典TMD[11-12],其布置方式如圖2所示。

圖2 懸浮隧道TMD布置簡(jiǎn)圖

根據(jù)汽車(chē)荷載作用特點(diǎn),采用移動(dòng)的簡(jiǎn)諧集中力進(jìn)行模擬[13]。懸浮隧道-TMD系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3 懸浮隧道-TMD系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型示意圖

TMD簡(jiǎn)化為質(zhì)量塊,阻尼器以及彈簧三部分進(jìn)行模擬[14-15]。基于Hamilton原理,推導(dǎo)建立移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道-TMD系統(tǒng)的豎向振動(dòng)控制方程,如式(2)和(3)所示

(2)

(3)

根據(jù)Morison方程,管體豎向振動(dòng)引起的流體作用力fD可表示為

(4)

式中：ρ為流體密度;D為隧道管體直徑;CD為阻力系數(shù),取CD=0.7;Cm為附加質(zhì)量系數(shù),取Cm=1.0[17]。

將式(3)和式(4)導(dǎo)入式(2),可得式(5)

(5)

采用振型疊加法對(duì)控制方程進(jìn)行求解,令：

(6)

將式(6)代入式(5),并利用振型正交性在等式兩邊同乘φi(x),在(0,L)上積分可得第i階廣義振型坐標(biāo)的方程,見(jiàn)式(7)

(7)

其中,Di為非線性流體相關(guān)項(xiàng),可表示為

(8)

進(jìn)一步整理得

(9)

式中,ωi,Mi,Pi(t),ξi分別為第i階頻率、振型質(zhì)量、振型廣義荷載、振型阻尼比,其表達(dá)式為

2 數(shù)值算例

由于目前世界上仍無(wú)懸浮隧道建成實(shí)例,本文算例的基本參數(shù)參考了已有的研究[19],如表1所示。

表1 懸浮隧道基本參數(shù)

移動(dòng)荷載值P0和移動(dòng)速度v的取值參考我國(guó)JTG D60—2015《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》[20],考慮到雙車(chē)道,移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載值P0取1 100 kN,荷載移動(dòng)速度v分別為60 km/h,80 km/h,100 km/h,120 km/h。為考慮最不利工況,移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載的頻率ωp與懸浮隧道基頻ω0一致,取1.88。

TMD的主要參數(shù)包括質(zhì)量塊質(zhì)量、阻尼和剛度。通常TMD質(zhì)量的經(jīng)濟(jì)范圍可取一階模態(tài)質(zhì)量的1%～2%[21]。

當(dāng)忽略主結(jié)構(gòu)阻尼時(shí),TMD最優(yōu)頻率比f(wàn)opt和最優(yōu)阻尼比ξopt,可采用式(10)計(jì)算[22]

(10)

根據(jù)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比,TMD的阻尼系數(shù)c2和彈簧剛度k2可采用式(11)計(jì)算

c2=2ξoptfoptω0m2

(11)

式中：μ為T(mén)MD質(zhì)量和管體模態(tài)質(zhì)量之比;ω0為管體基頻;m2為T(mén)MD等效質(zhì)量。

考慮到TMD水下振動(dòng)受到的流體作用影響,m2可按下式計(jì)算

m2=mT+CmρVT

(12)

式中：mT為T(mén)MD實(shí)際質(zhì)量;VT為T(mén)MD的體積。

結(jié)合懸浮隧道參數(shù),本文TMD的參數(shù)取值如表2所示。

表2 TMD關(guān)鍵參數(shù)取值

3 結(jié)果分析

3.1 減振效果

圖4為簡(jiǎn)諧荷載移動(dòng)速度v=80 km/h時(shí),安裝TMD前后管體不同位置的豎向位移時(shí)程曲線。

(a) 跨中減振前后位移時(shí)程曲線

(b) 1/4跨減振前后位移時(shí)程曲線

(c) 3/4跨減振前后位移時(shí)程曲線

由于簡(jiǎn)諧荷載頻率與管體1階固有頻率一致,管體跨中位移響應(yīng)逐漸放大,最大位移為26.81 mm;安裝TMD后,管體跨中最大位移出現(xiàn)在荷載經(jīng)過(guò)的時(shí)刻(t=42.5 s)為9.54 mm,減幅為64.42%,且在移動(dòng)荷載經(jīng)過(guò)后,管體跨中能保持較小的振幅振動(dòng),減振效果顯著。而對(duì)于L/4處,在荷載未到達(dá)跨中位置前,由于TMD振動(dòng)較弱,對(duì)管體沒(méi)有起到較為顯著的減振作用,在荷載經(jīng)過(guò)TMD時(shí)反而增大了該處的振動(dòng)。安裝TMD前后3L/4處管體的最大位移分別為25.33 mm和18.07 mm,減振率為28.66%。因此,對(duì)于管體的不同位置,TMD的減振效果差異明顯。這是由于在移動(dòng)荷載作用下,懸浮隧道管體的高階模態(tài)被激發(fā)參與振動(dòng),單一TMD無(wú)法同時(shí)對(duì)各階模態(tài)起到減振作用所致。

表3進(jìn)一步給出了不同位置達(dá)到位移峰值時(shí),前5階振型的位移貢獻(xiàn)量。由表3可知,安裝在跨中位置的TMD,對(duì)奇數(shù)階的模態(tài)具有減振效果,而對(duì)偶數(shù)階的振型沒(méi)有影響。管體跨中振動(dòng)響應(yīng)僅由奇數(shù)階模態(tài)疊加,因此減振效果最為明顯。而對(duì)于其他位置,TMD裝置并不能保證同時(shí)對(duì)各階參振模態(tài)起到減振作用,甚至還可能增大某階模態(tài)的振動(dòng)效果,導(dǎo)致疊加后減振效果降低。

表3 最大位移時(shí)刻管體前五階模態(tài)貢獻(xiàn)量

為確定單個(gè)TMD的有效減振范圍,圖5給出了懸浮隧道管體沿長(zhǎng)度方向的位移減振效果。

由圖5可知,TMD只對(duì)其安裝位置附近一定范圍內(nèi)的管體位移具有明顯的減振效果。在此范圍之外,其減振作用很小,個(gè)別位置甚至出現(xiàn)位移略微增大的情況。對(duì)于移動(dòng)荷載作用下,減振范圍向荷載下行方向偏移,這是由于當(dāng)荷載通過(guò)TMD安裝位置時(shí),才會(huì)激起質(zhì)量塊的大幅共振,增強(qiáng)了其后管體的減振效果。因此,對(duì)于有多階模態(tài)參與振動(dòng)的懸浮隧道管體來(lái)說(shuō),可考慮設(shè)置多個(gè)TMD以適應(yīng)不同模態(tài)的減振需求。

圖5 懸浮隧道沿長(zhǎng)度方向減振率

3.2 TMD的優(yōu)化布置

由于跨中單個(gè)TMD的減振范圍有限,不能達(dá)到預(yù)期的減振效果,且單個(gè)TMD的質(zhì)量和體積較大,不利于安裝,故保持總質(zhì)量比2%不變的情況下,提出分布式TMD的布置方案,分別位于管體的1/4跨,1/2跨和3/4跨處,如圖6所示。

圖6 TMD安裝示意圖

表4給出了四種不同工況下分布式TMD的參數(shù)取值。分別對(duì)四種工況下的懸浮隧道管體位移響應(yīng)進(jìn)行分析。

表4 不同工況下TMD的參數(shù)取值

以80 km/h的行車(chē)速度為例,圖7描述了四種工況下,SFT管體的豎向最大位移包絡(luò)線。從圖7可得,安裝分布式TMD之后,除0～300 m范圍內(nèi)的個(gè)別位置外,其余位置的管體豎向位移均顯著減小,減振范圍較單個(gè)TMD時(shí)得到了較大的提高,幾乎涵蓋整個(gè)SFT管體。這是由于在移動(dòng)荷載作用初期,TMD的振幅很小,單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化的動(dòng)能很少,并沒(méi)有真正開(kāi)始工作。

圖7 不同工況下管體最大豎向位移包絡(luò)圖

為了更直觀地說(shuō)明不同工況下TMD的減振效果。圖8給出了管體不同位置處TMD的減振率。由圖8可得,分布式TMD相較于跨中單個(gè)TMD,L/2處的減振率降低了約10%～15%,但L/4, 3L/4處的減振率大幅提高。對(duì)比工況1、2或工況3、4可發(fā)現(xiàn),TMD頻率取安裝位置對(duì)應(yīng)的管體自振頻率時(shí),其減振率比都取管體一階頻率的減振率更高。對(duì)比工況1、3或工況2、4可發(fā)現(xiàn),所在位置TMD的質(zhì)量比越大,對(duì)應(yīng)位置減振率越高。考慮設(shè)計(jì)方便等因素,可采用工況1將總質(zhì)量平均分給3個(gè)TMD,以得到較高的綜合減振效果。

3.3 移動(dòng)速度的影響

為研究荷載移動(dòng)速度對(duì)TMD減振效果的影響,圖9給出了安裝TMD前后懸浮隧道管體跨中最大位移隨荷載移動(dòng)速度的變化情況(以v=80 km/h,工況1跨中TMD為例)。

由圖9可知,在未安裝TMD時(shí)懸浮隧道的跨中最大撓度隨移動(dòng)荷載速度的提高而減小。原因是：隨著荷載移動(dòng)速度的提高,其在SFT管體內(nèi)停留的時(shí)間縮短,共振還未充分發(fā)展之前荷載已經(jīng)離開(kāi)了SFT。安裝TMD后,管體在不同速度移動(dòng)荷載作用下最大位移相差不大,約為14 mm。與未安裝TMD時(shí)相比,跨中位移均明顯減小,隨著荷載移動(dòng)速度的增加,TMD減振效果會(huì)逐漸降低。車(chē)速為80 km/h時(shí),減振率為50.21%,而車(chē)速為100 km/h時(shí),減振率下降為37.77%。這是由于在單一移動(dòng)荷載作用下,由于低速荷載在懸浮隧道管體中停留時(shí)間更長(zhǎng),TMD的作用時(shí)間越長(zhǎng),減振耗能過(guò)程越充分。

圖8 管體不同位置處TMD的減振率

圖9 不同移動(dòng)速度下管體跨中最大位移

3.4 TMD阻尼比的影響

在研究TMD阻尼比對(duì)于減振效果的影響時(shí),保持TMD的頻率比為1.0,總質(zhì)量比0.02不變。圖10給出了TMD阻尼比對(duì)減振效果的影響(以v=80 km/h,工況1跨中TMD為例)。

由圖10可知,TMD減振效果隨著阻尼比的增加呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。表5進(jìn)一步給出了不同阻尼比工況下管體-TMD系統(tǒng)的響應(yīng)情況。隨著TMD阻尼比的增加,TMD質(zhì)量塊的峰值速度和最大行程減小,在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi),TMD質(zhì)量塊吸收和轉(zhuǎn)化的動(dòng)能減小,管體的動(dòng)能相對(duì)較大,導(dǎo)致減振效果減弱。但小阻尼比會(huì)使TMD的振動(dòng)行程增大,對(duì)TMD系統(tǒng)長(zhǎng)期工作穩(wěn)定性不利,同時(shí)也需要更大的工作空間。因此,在確定TMD阻尼比時(shí),需綜合考慮減振效果以及系統(tǒng)的工作空間。

圖10 阻尼比對(duì)TMD減振效果的影響

表5 不同阻尼比下SFT-TMD系統(tǒng)的響應(yīng)

4 結(jié) 論

為實(shí)現(xiàn)移動(dòng)荷載作用下懸浮隧道的TMD振動(dòng)控制,本文建立了管體-TMD系統(tǒng)簡(jiǎn)化計(jì)算模型,基于Morison方程,考慮流體的附加慣性效應(yīng)和阻尼效應(yīng),推導(dǎo)建立了在移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下管體-TMD系統(tǒng)的振動(dòng)控制微分方程組,采用了Newmark-β法進(jìn)行了數(shù)值求解,分析不同布置方式下TMD的減振效果和關(guān)鍵參數(shù)的影響,得出以下結(jié)論：

(1) 在移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下,懸浮隧道高階模態(tài)參與振動(dòng)。跨中安裝單個(gè)TMD對(duì)其附近一定區(qū)域內(nèi)有較好的減振效果,但減振范圍有限。

(2) 在保持質(zhì)量不變的情況下,采用分布式TMD的安裝方式,更能適應(yīng)懸浮隧道多階模態(tài)參振的特點(diǎn),能有效擴(kuò)大減振范圍,得到較好的整體減振效果。安裝分布式TMD時(shí),各TMD裝置的質(zhì)量可以均勻分配,其頻率應(yīng)與安裝位置對(duì)應(yīng)的管體自振頻率一致。

(3) 隨移動(dòng)荷載速度降低,TMD的減振效果提高。在低速荷載作用下,TMD的反應(yīng)及工作時(shí)間更為充足,在確定懸浮隧道合理車(chē)速時(shí)可予以考慮。

(4) TMD阻尼比的增加會(huì)降低減振效果,在確定阻尼比時(shí)應(yīng)綜合考慮減振效果和工作空間的要求。