多層剪切型支撐鋼框架整體穩(wěn)定性的解析算法研究

蘭樹(shù)偉, 周東華, 陳 旭, 毛德均

(1.昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院,昆明 650214; 2.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院,昆明 650500)

剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)體系是鋼結(jié)構(gòu)工程中常用的結(jié)構(gòu)形式,支撐體系的變形主要是剪切變形,常見(jiàn)的有交叉斜桿和單斜桿支撐等。鋼結(jié)構(gòu)與混凝土結(jié)構(gòu)相比,具有截面尺寸小、構(gòu)件細(xì)長(zhǎng)等特點(diǎn),隨著建筑高度的增加,鋼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問(wèn)題變得格外凸出,必須加以重視和研究。在剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中總希望能有便于運(yùn)用的結(jié)構(gòu)臨界力解析計(jì)算公式,以避免復(fù)雜的有限元整體計(jì)算或校核有限元計(jì)算結(jié)果的正確性。目前GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》[1](簡(jiǎn)稱規(guī)范)中給出了有側(cè)移(無(wú)支撐)和無(wú)側(cè)移(強(qiáng)支撐)框架柱的計(jì)算表格,尚無(wú)確定彈性側(cè)移框架柱(即：弱支撐框架柱)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的內(nèi)容。剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性計(jì)算,與剪切型支撐所提供剛度強(qiáng)弱程度的有關(guān),須要考慮同層柱間的相互支援和層與層之間的支援作用,還須要考慮支撐與鋼框架之間的相互作用,目前規(guī)范還無(wú)法解決這些問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題,李國(guó)強(qiáng)等[2]給出了確定任意支撐鋼框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算公式,其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜需求解超越方程。Aristizabal[3-4]在有限元分析的基礎(chǔ)上給出了不同約束條件下柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)近似計(jì)算公式,給出了使柱達(dá)到無(wú)側(cè)移失穩(wěn)的最小支撐剛度。童根樹(shù)等[5-6]利用平衡法研究了非完全支撐框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,基于部分支撐柱穩(wěn)定方程,給出了框架柱支撐的門檻剛度計(jì)算公式,提出了一種確定剪切型支撐框架穩(wěn)定性的假想荷載法。金路等[7]基于有限元Ansys分析變形對(duì)應(yīng)的荷載水平與其承載力之間的關(guān)系,提出了一種計(jì)算鋼框架-支撐結(jié)構(gòu)穩(wěn)定和二階側(cè)移的直接分析法。Ma等[8]基于層抗側(cè)剛度分析結(jié)構(gòu)樓層穩(wěn)定性,提出了一種評(píng)估具有半剛性連接的部分支撐鋼框架穩(wěn)定性的簡(jiǎn)化方法。剪切型支撐框架有些樓層支撐所提供的剛度大能夠達(dá)到強(qiáng)支撐剛度的要求,有些樓層支撐弱所提供抗側(cè)剛度較小無(wú)法滿足強(qiáng)支撐剛度的要求而屬于弱支撐樓層,剪切型支撐與鋼框架之間的相互作用也加大了剪切型支撐框架整體穩(wěn)定臨界承載力解析計(jì)算的難度。本文分析了剪切型支撐的抗側(cè)剛度與結(jié)構(gòu)臨界力之間的關(guān)系,推導(dǎo)了層臨界支撐剛度的計(jì)算公式,基于任意支撐下框架柱臨界內(nèi)外剛度比系數(shù)的計(jì)算公式,利用該系數(shù)將求解剪切型支撐框架臨界承載力的二階問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算結(jié)構(gòu)的樓層有效抗側(cè)剛度的一階問(wèn)題,使得結(jié)構(gòu)臨界力的求解大為簡(jiǎn)化。

1 剪切型支撐剛度與結(jié)構(gòu)臨界力之間的關(guān)系

1.1 支撐抗側(cè)剛度

如圖1(a)帶有剪切型支撐的多層多跨鋼框架,支撐的作用可以等效為樓層橫梁處的水平彈簧,如圖1(b)所示。

(a) 剪切型支撐鋼框架

(b) 等效簡(jiǎn)圖

利用剪切型支撐桿件的變形協(xié)調(diào)條件結(jié)合桿件的受力分析可得任意層支撐抗側(cè)剛度的計(jì)算式[9]

(1)

1.2 支撐抗側(cè)剛度與結(jié)構(gòu)臨界力的關(guān)系

取圖1(a)所示的一個(gè)三跨四層單斜桿支撐鋼框架,層高和跨度均為4 000 mm,框架梁柱均采用HW200×200×8×12,支撐采用等邊角鋼,彈性模量E=206 kN/mm2,框架只承受作用在梁柱節(jié)點(diǎn)上的荷載,各層各節(jié)點(diǎn)上作用荷載均為100 kN,假定失穩(wěn)時(shí)各柱同時(shí)達(dá)到臨界荷載,變化單斜桿支撐角鋼規(guī)格,采用有限元Ansys進(jìn)行彈性屈曲計(jì)算,分析該支撐鋼框架臨界力的變化。如表1所示。

表1 剪切型支撐鋼框架的臨界承載力對(duì)比分析

從表1可以看出,當(dāng)不設(shè)置單斜桿支撐時(shí)(類型①),即支撐抗側(cè)剛度為零,鋼框架臨界承載力最小,此時(shí)屬于無(wú)支撐自由側(cè)移鋼框架,發(fā)生有側(cè)移屈曲;隨著支撐斜桿面積增大,從類型②～⑥,支撐的抗側(cè)剛度也隨之增加,支撐鋼框架臨界承載力也逐漸增加,屬于弱支撐彈性側(cè)移鋼框架,發(fā)生有側(cè)移屈曲;從類型⑦～⑨,支撐抗側(cè)剛度增加顯著,但臨界力基本沒(méi)有增加,僅增加了0.2%,可以看出當(dāng)支撐抗側(cè)剛度增加到一定程度,進(jìn)一步增加支撐剛度無(wú)法提高結(jié)構(gòu)臨界承載力,屬于強(qiáng)支撐無(wú)側(cè)移鋼框架,發(fā)生無(wú)側(cè)移屈曲。從類型①～⑨,支撐剛度逐漸增加,支撐鋼框架從有側(cè)移失穩(wěn)逐漸過(guò)渡到無(wú)側(cè)移失穩(wěn),定義有側(cè)移失穩(wěn)的臨界荷載與無(wú)側(cè)移失穩(wěn)的臨界荷載相等時(shí)的支撐剛度為臨界支撐剛度。類型⑨支撐剛度約是類型⑦的4倍,此時(shí)支撐所提供剛度超過(guò)臨界支撐剛度很多,但該部分剛度對(duì)提高結(jié)構(gòu)臨界承載力無(wú)幫助,屬于冗余剛度,該部分剛度未激活,僅當(dāng)支撐剛度小于臨界支撐剛度,此時(shí)剛度才完全激活,稱為有效剛度,增加支撐剛度才能提高結(jié)構(gòu)臨界承載力。目前的研究主要針對(duì)單根柱的臨界支撐剛度,而剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)桿件眾多且存在層與層之間的相互作用,如何求解層支撐臨界剛度,計(jì)算剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)臨界承載力還有待進(jìn)一步研究。

2 層臨界支撐剛度

對(duì)于剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu),鋼框架柱受到剪切型支撐的水平支撐作用,利用分離柱法[10]將需分析的局部柱從整體結(jié)構(gòu)中分離出來(lái),每根分離柱的柱端約束都可采用三個(gè)彈簧來(lái)模擬,如圖2所示。分離柱柱頂作用一側(cè)移剛度為cw的水平彈簧以模擬剪切型支撐對(duì)鋼框架柱的支撐作用,分離柱的柱頂和柱底受到轉(zhuǎn)動(dòng)約束,采用兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧來(lái)模擬,剛度分別為c1和c2。

圖2 分離柱的三彈簧模型

圖2所示剪切型支撐鋼框架三彈簧分離柱的穩(wěn)定特征方程[11]為

6(R1+R2)ε4cosε-ε5sinε=0

(2)

(3)

圖3 框架柱臨界支撐剛度諾模圖

剪切型支撐鋼框架第i層層臨界支撐剛度cwTi為該樓層所有鋼柱臨界支撐剛度之和,可按照下式進(jìn)行計(jì)算

(4)

層臨界支撐剛度是衡量樓層支撐剛度是否處于激活狀態(tài)的重要指標(biāo)。只有支撐所提供剛度小于層臨界支撐剛度,支撐剛度才完全處于激活狀態(tài),才是有效剛度;當(dāng)剪切型支撐提供的樓層支撐剛度大于層臨界支撐剛度時(shí),超出層臨界支撐剛度的部分,處于未激活狀態(tài),該部分剛度的增加無(wú)法進(jìn)一步提高結(jié)構(gòu)臨界承載力,屬于無(wú)效剛度。

3 任意支撐柱的臨界剛度比系數(shù)

對(duì)于剪切型支撐鋼框架,由于桿件眾多,若直接利用平衡法求解,特征方程將更為冗長(zhǎng),求解將變得更為困難,因此需要尋找便于應(yīng)用的求解方法。

(5)

式中：λ為臨界因子,數(shù)值上λ=Pcr/P,當(dāng)結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)時(shí)λ=1.0;α為臨界剛度比系數(shù),對(duì)于柱水平支撐剛度介于零與臨界支撐剛度之間,第i層第j根弱支撐鋼框架柱的臨界剛度比系數(shù)可采用下式進(jìn)行計(jì)算[13]

(6)

(a) 分離柱的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)

(b) 彈簧-搖擺柱

(7)

由于式(7)計(jì)算無(wú)側(cè)移框架柱臨界剛度比系數(shù)冗長(zhǎng)應(yīng)用較為不便,故繪制無(wú)側(cè)移框架柱臨界支撐剛度比系數(shù)諾模圖,如圖5所示。

圖5 無(wú)側(cè)移框架柱臨界剛度比系數(shù)諾模圖

(8)

式(8)計(jì)算自由側(cè)移框架柱臨界剛度比系數(shù)應(yīng)用較為不便,故繪制自由側(cè)移框架柱臨界剛度比系數(shù)諾模圖,如圖6所示。

圖6 自由側(cè)移框架柱臨界剛度比系數(shù)諾模圖

剪切型支撐鋼框架的三彈簧分離柱的抗側(cè)剛度為上下轉(zhuǎn)動(dòng)約束柱抗側(cè)剛度與水平彈簧剛度的疊加,計(jì)算式如下[14]

(9)

同理對(duì)于剪切型支撐鋼框架第i樓層的抗側(cè)有效剛度ki應(yīng)為該樓層所有框架柱抗側(cè)剛度與該層支撐有效剛度的總和,即：

(10)

式中：EIj為第i層第j根鋼柱抗彎剛度;R1j和R2j分別為第i層第j根柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值;hi為第i層層高;m為第i層鋼柱總根數(shù);cwi為第i層層支撐有效剛度,當(dāng)cwi>cwTi時(shí),超出層臨界支撐剛度部分為無(wú)效剛度,無(wú)法提高臨界承載力,故僅考慮有效支撐剛度部分,取cwi=cwTi。

從式(5)可以看出,當(dāng)確定了剪切型支撐鋼框架柱抗側(cè)有效剛度和臨界剛度比系數(shù)后,很容易求解得到不同屈曲模態(tài)下支撐柱的臨界承載力,其雖能考慮剪切型支撐與框架柱的相互作用,但對(duì)于剪切型支撐鋼框架存在同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用是無(wú)法考慮的,容易造成不合理設(shè)計(jì),若將彈簧-搖擺柱中的水平彈簧替換為剪切型支撐鋼框架,求解整體結(jié)構(gòu)的臨界剛度比系數(shù)又異常困難,因此,有必要尋找能考慮這兩種支援作用的剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)臨界承載力的求解方法。

4 剪切型支撐鋼框架臨界承載力計(jì)算公式

計(jì)算剪切型支撐框架臨界承載力時(shí),當(dāng)剪切型支撐所提供剛度超出層臨界剛度部分屬于無(wú)效剛度,計(jì)算時(shí)取層臨界剛度,按此剛度確定支撐鋼框架層臨界力有側(cè)移和無(wú)側(cè)移兩者計(jì)算相等,故計(jì)算剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)各層的整體抗側(cè)有效剛度,可參照有側(cè)移結(jié)構(gòu)將每層抗側(cè)有效剛度視為一個(gè)彈簧,剪切型支撐鋼框架整體抗側(cè)有效剛度可視為每個(gè)彈簧的串聯(lián),因此,剪切型支撐鋼框架第i層的整體抗側(cè)有效剛度Ki與層抗側(cè)有效剛度關(guān)系式為

(11)

式中,Ki為第i層的整體抗側(cè)有效剛度,k1,k2,…,ki為各層的抗側(cè)有效剛度,按式(10)計(jì)算。

由式(5)可得剪切型支撐鋼框架第i層荷載剛度kPi為

(12)

式中：αij為第i層第j柱的臨界剛度比系數(shù),可由式(6)～(8)計(jì)算或通過(guò)查諾模圖5～圖6求得;Nij為第i層第j柱的軸力;mi為第i層柱的總根數(shù)。

按照剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)整體抗側(cè)有效剛度的求法,結(jié)合式(12)將各層荷載剛度進(jìn)行串聯(lián)可得剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)整體荷載剛度計(jì)算公式

(13)

式中：KPi為第i層的整體荷載剛度;λi為第i層臨界因子。假定各柱的軸力均按比例加載,則存在：Nij=ξijNmin,其中,ξij為比例系數(shù),Nmin為最小軸壓力。

(14)

由式(14)可求出剪切型支撐鋼框架臨界承載力,所求各層的臨界因子λi相等,即各層荷載剛度將各層抗側(cè)有效剛度同時(shí)消耗為零發(fā)生失穩(wěn)而未產(chǎn)生層間相互支援,這種情況在實(shí)際工程中很少出現(xiàn)。若不考慮各層之間的支援作用而直接按此計(jì)算剪切型支撐鋼框架臨界承載力,容易造成不合理的設(shè)計(jì)。為了考慮這種不同樓層之間的支援作用,將式(14)所求出的層臨界因子λi按照層軸力權(quán)重加權(quán)平均的方法[15]求出剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)整體臨界因子λ,得到修正后的剪切型支撐鋼框架整體穩(wěn)定臨界承載力的計(jì)算公式

(15a)

(Nij)cr=ξij(λNmin)

(15b)

式中：Ni為第i層各柱軸力之和;λi為第i層的臨界因子,由式(14)求得,最小層臨界因子λmin所在樓層為薄弱層;λ為剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)的整體臨界因子,通過(guò)層臨界因子與結(jié)構(gòu)整體臨界因子的相對(duì)大小及比例關(guān)系可以定量地分析不同樓層之間的支援作用;(Nij)cr為第i層第j根鋼柱的臨界力;ηi為軸力權(quán)重參與系數(shù),經(jīng)過(guò)有限元回歸分析得到其與層臨界因子和最小層臨界因子比值的冪函數(shù)關(guān)系

(16a)

(16b)

由式(15b)求得剪切型支撐鋼框架柱臨界承載力后,可根據(jù)式(17)計(jì)算求得各柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

(17)

式中,μij為第i層第j根鋼柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

5 算 例

圖7所示的四跨六層剪切型支撐鋼框架公共建筑,剪切型支撐采用交叉斜桿,頂層由于建筑功能需要取消支撐。框架柱采用方箱型柱200 mm×8 mm,頂層梁采用HN248×124×5×8,其余各層梁采用HN300×150×6×9,交叉斜撐采用等邊角鋼L75×6 mm(1～3層)、L40×4 mm(4～5層),層高h(yuǎn)為400 cm,各跨跨度為400 cm,彈性模量E=20 600 kN/cm2,荷載P為100 kN,用本文方法求解該剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)臨界力及各層填充示意柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

圖7 四跨六層交叉支撐鋼框架及軸力、二階效應(yīng)系數(shù)

本文求解步驟：

步驟1由式(1)可求得各層剪切型支撐抗側(cè)剛度cwi,由式(4)求得層臨界支撐剛度cwTi,比較兩者的大小關(guān)系,根據(jù)式(10)計(jì)算各層抗側(cè)有效剛度ki,結(jié)果列入表2。

步驟2由式(6)～式(8)或查諾模圖5和圖6求得各柱的臨界剛度系數(shù)αij,詳見(jiàn)圖7。由式(12)計(jì)算剪切型支撐鋼框架各層荷載剛度kPi,結(jié)果詳見(jiàn)表2。

步驟3由式(11)求得結(jié)構(gòu)各層整體抗側(cè)有效剛度Ki,由式(13)計(jì)算結(jié)構(gòu)各層整體荷載剛度KPi;由式(14)求得各層層臨界因子λi,由式(16)求得各層軸力權(quán)重參與系數(shù)ηi,代入式(15a)求得結(jié)構(gòu)整體臨界因子λ,結(jié)果列入表2。

步驟4由式(15b)求得各柱臨界力(Nij)cr,由式(17)確定剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)各柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù),結(jié)果詳見(jiàn)表2。

為了便于比較分析,用本文方法和有限元Ansys分別進(jìn)行了計(jì)算,Ansys求解時(shí)柱和梁均采用BEAM188單元,交叉斜撐采用LINK1單元,節(jié)點(diǎn)均為剛接,進(jìn)行彈性屈曲分析,相關(guān)計(jì)算結(jié)果列入表2,忽略軸向變形的影響。

本文方法計(jì)算剪切型支撐鋼框架柱的臨界承載力和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)與有限元Ansys計(jì)算結(jié)果相比誤差均在5%以內(nèi),計(jì)算精度較好,表明考慮了交叉斜撐與鋼框架柱的相互作用、同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用,彌補(bǔ)了規(guī)范法無(wú)法確定弱支撐彈性側(cè)移類型鋼框柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的不足。

表2 剪切型支撐鋼框架柱臨界力及計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)對(duì)比結(jié)果

本算例整體結(jié)構(gòu)臨界因子λ=6.067,剪切型支撐鋼框架層臨界因子的最小值所在樓層為第二層,表明該層為結(jié)構(gòu)薄弱層,該層臨界因子為5.518,該層從剛度富裕樓層獲得支援,提高了該層結(jié)構(gòu)臨界承載力,提高比例為10%;該結(jié)構(gòu)一層～三層層臨界因子均小于結(jié)構(gòu)整體臨界因子,表明該三層結(jié)構(gòu)無(wú)剛度富裕,從剛度較大樓層獲得剛度支援,臨界承載力有所提高;四層～六層層臨界因子大于結(jié)構(gòu)整體臨界因子,表明該三層有剛度富裕,為剛度較小樓層提供了剛度支援,臨界承載力有所降低,其中六層雖未設(shè)置交叉斜撐但剛度富裕程度最高,主要是由于該層軸力小,荷載剛度對(duì)層抗側(cè)剛度消耗程度低,對(duì)薄弱層的支援有限。

6 結(jié) 論

(1) 提供了一種能較為準(zhǔn)確地求解剪切型支撐鋼框架整體穩(wěn)定臨界承載力的解析算法,既能考慮剪切型支撐對(duì)鋼框架柱的支撐作用,也能很好地考慮同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用,可以彌補(bǔ)目前《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》無(wú)法確定弱支撐框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的不足。

(2) 分析層支撐剛度與層臨界支撐剛度可以判斷剪切型支撐提供剛度的激活程度,有多少屬于激活的有效剛度,有多少屬于未激活的無(wú)效剛度。當(dāng)剪切型支撐提供的抗側(cè)剛度大于層臨界支撐剛度后進(jìn)一步提高該層的支撐剛度,無(wú)法提高結(jié)構(gòu)臨界承載力。

(3) 分析樓層臨界因子和整體結(jié)構(gòu)臨界因子可以判斷出結(jié)構(gòu)薄弱層所在位置,提供了一種分析剪切型支撐鋼框架結(jié)構(gòu)層與層之間支援作用的計(jì)算方法,能夠看出那些樓層提供支援,那些樓層獲得支援,可以定量地計(jì)算樓層臨界承載力的提高程度。