非線性支承下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)μ綜合控制的研究

葛萍萍，王念先

（1.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081；2.冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081）

磁懸浮軸承是利用可控電磁力將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的一種支承裝置，與傳統(tǒng)軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑、精度高，剛度和阻尼可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、超高速精密加工和機(jī)器人等領(lǐng)域［1］。當(dāng)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工況復(fù)雜時(shí)，磁性材料的相對磁導(dǎo)率變化明顯，磁懸浮軸承非線性支承特性明顯增加，轉(zhuǎn)子不平衡力和負(fù)載對系統(tǒng)影響的復(fù)雜性增加，因此磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)需要性能良好的控制器對其進(jìn)行控制。

由于漏磁、磁飽和的影響，磁懸浮軸承的支承特性表現(xiàn)出明顯的非線性：文獻(xiàn)［2］基于動(dòng)態(tài)磁路模型，針對磁懸浮軸承中漏磁、磁飽和的影響，提出多目標(biāo)優(yōu)化方法并用試驗(yàn)證明其有效性；文獻(xiàn)［3］采用新的建模方法精確計(jì)算出邊緣通量和泄漏系數(shù)，并用試驗(yàn)證明此建模方法的準(zhǔn)確性較高；文獻(xiàn)［4］提出一種非線性磁路方法，建立磁懸浮軸承的承載力解析模型，考慮了邊緣磁通、漏磁通、磁飽和，因此該模型精度較高；文獻(xiàn)［5-6］發(fā)現(xiàn)考慮漏磁、磁飽和等引起的支承非線性后，轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)中包含大量的超諧波信號，轉(zhuǎn)子響應(yīng)更加復(fù)雜。

關(guān)于非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)抑制問題，已有許多學(xué)者開展了研究：文獻(xiàn)［7］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID的電磁執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)的主動(dòng)控制；文獻(xiàn)［8］考慮了陀螺效應(yīng)和非線性磁懸浮支承力，采用精確非線性反饋實(shí)現(xiàn)了磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有效控制；文獻(xiàn)［9］采用時(shí)變剛度比例-微分（PD）控制器抑制了磁懸浮軸承支承剛性轉(zhuǎn)子的非線性振動(dòng)；文獻(xiàn)［10］針對開關(guān)功率放大器的非線性現(xiàn)象，采用自適應(yīng)比例控制，避免了非線性現(xiàn)象；文獻(xiàn)［11］采用μ綜合魯棒控制使磁懸浮單轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)平穩(wěn)通過一階臨界轉(zhuǎn)速，避免了磁懸浮軸承的電流飽和。

為抑制磁懸浮軸承支承力非線性的影響，本文選取μ綜合控制器對非線性支承下含不平衡故障的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行控制，并針對μ綜合控制下系統(tǒng)的磁飽和、漏磁非線性問題，在頻域上進(jìn)行系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的基頻和倍頻幅值研究。

1 非線性支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

1.1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由轉(zhuǎn)軸與圓盤構(gòu)成，轉(zhuǎn)軸為空心結(jié)構(gòu)，外徑為25 mm，內(nèi)徑為15 mm。轉(zhuǎn)子長度為580 mm，從左到右離散為28個(gè)單元，共29個(gè)節(jié)點(diǎn)，磁懸浮軸承支承點(diǎn)位于1#和29#節(jié)點(diǎn)，圓盤位于25#節(jié)點(diǎn)，離散后的轉(zhuǎn)子單元長度小于單元直徑［12］。基于轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和不平衡力，本文采用八磁極結(jié)構(gòu)徑向磁懸浮軸承，其主要參數(shù)見表1。

表1 徑向磁懸浮軸承主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of radial magnetic bearing

圖1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of magnetic levitation rotor system

為分析方便，進(jìn)行以下3 種假設(shè)：1）視轉(zhuǎn)子的軸向自由度和徑向自由度完全解耦，只分析轉(zhuǎn)子的徑向自由度；2）忽略轉(zhuǎn)子和圓盤自身重力對系統(tǒng)的影響；3）圓盤為剛性體，可用集中質(zhì)量單元塊表示。

1.2 非線性支承力模型

采用差動(dòng)控制的八磁極徑向磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)，控制原理如圖2 所示：x為轉(zhuǎn)子位置，g0為轉(zhuǎn)子氣隙長度，Ix為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制電流，Ib為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏置電流。

圖2 八磁極徑向磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)及控制原理圖Fig.2 Structure and control principle diagram of eight pole radial magnetic bearing

忽略鐵磁材料磁滯、渦流和磁場耦合的影響，考慮磁飽和、漏磁建立磁懸浮軸承支承力Fa模型［4］，即

式中：α為磁極對夾角的一半；μ0為真空磁導(dǎo)率；Ap為磁極面積；Φ1，Φ3分別為通過磁路氣隙中的磁通；N為線圈匝數(shù)；Rg1，Rg2，Rg3，Rg4分別為一個(gè)磁極對處左上、右上、左下、右下氣隙的磁阻；Rr為轉(zhuǎn)子磁阻；Rk為漏磁磁路模型磁阻；Ry為磁軛磁阻；Rp為磁飽和影響下磁極磁阻。

先計(jì)算各磁阻（包含Rg，Rk，Rp，Ry和Rr），再對等效磁路進(jìn)行分析得到磁通，并由磁通進(jìn)一步計(jì)算出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中磁懸浮軸承的支承力，如圖3 所示。線性支承力忽略了系統(tǒng)的漏磁、磁飽和效應(yīng)，而非線性支承力考慮了系統(tǒng)的漏磁、磁飽和效應(yīng)。

圖3 磁懸浮軸承支承力與控制電流關(guān)系Fig.3 Relationship between supporting force of magnetic bearing and control current

1.3 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制模型

采用有限元法對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模，物理坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M，D，Ω，J，K分別為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣，J為斜對稱矩陣，M，D，Ω，K矩陣是對稱且正定的；q為轉(zhuǎn)子位移矢量；B1為非線性支承力分配系數(shù)矩陣；B2為系統(tǒng)所受干擾力系數(shù)矩陣；Fmag為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性支承力；f為系統(tǒng)所受干擾力（主要為不平衡力和負(fù)載）；C為傳感器軸向分布矩陣；xi，θyi分別為i#節(jié)點(diǎn)處x方向的平動(dòng)和繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；yi，θxi分別為i#節(jié)點(diǎn)處y方向的平動(dòng)和繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

在i=0，y=0（平衡點(diǎn)）處對（1）式的Fa進(jìn)行線性化，得到線性化后的Fmag，即

式中：ki為電流剛度，130 N/A；i為控制電流；kx1為位移剛度，2.5×105N/m；x1為控制位移。

由于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全階模型狀態(tài)量過多，難以直接用于控制器的設(shè)計(jì)，并且轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中高階振型很難被激發(fā)出來，因此本文采用模態(tài)分析法與模態(tài)截?cái)喾ūＡ艮D(zhuǎn)子前2 階的剛性模態(tài)和柔性模態(tài)。

將系統(tǒng)狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)下，不考慮系統(tǒng)干擾力f的影響，系統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為

式中：Φ為模態(tài)變換矩陣的前4 階；η為模態(tài)坐標(biāo)矢量。

模態(tài)坐標(biāo)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（轉(zhuǎn)子為細(xì)長軸且轉(zhuǎn)速較低，故忽略轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)）為

式中：Mr，Kr分別為系統(tǒng)模態(tài)截?cái)嗪蟮馁|(zhì)量矩陣、剛度矩陣；y為輸出位移。

截?cái)嗪笙到y(tǒng)的η有8 個(gè)狀態(tài)變量，由前2 階的剛性模態(tài)和彎曲模態(tài)組成。截?cái)嗪笙到y(tǒng)模型可表示為狀態(tài)空間方程形式，即

式中：Ar，Br，Cr，xr，yr分別為系統(tǒng)截?cái)嗪蟮臓顟B(tài)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態(tài)向量、輸出位移；u為輸入系統(tǒng)的控制電流。

1.4 功率放大器與位移傳感器建模

功率放大器是閉環(huán)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，接收控制電壓，為磁懸浮軸承線圈產(chǎn)生足夠電流。采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法，對功率放大器進(jìn)行掃頻試驗(yàn)得到頻響特性曲線，再通過擬合曲線得到功率放大器的傳遞函數(shù)為

式中：s為一個(gè)復(fù)數(shù)變量，表示系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

將Ga(s)轉(zhuǎn)為狀態(tài)空間方程，即

式中：Aa，Ba，Ca，xa分別為功率放大器的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態(tài)向量；ua為功率放大器輸入電壓；ya為功率放大器輸出電流。

本文采用電渦流位移傳感器測量轉(zhuǎn)子徑向運(yùn)動(dòng)。根據(jù)文獻(xiàn)［11］的頻率響應(yīng)曲線，位移傳感器的傳遞函數(shù)為

將Gs(s)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程，即

式中：As，Bs，Cs，xs分別為傳感器的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態(tài)向量；us為傳感器輸入轉(zhuǎn)子實(shí)際位置；ys為傳感器輸出電流。

2 閉環(huán)系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)權(quán)函數(shù)選取和系統(tǒng)不確定性

將功率放大器、磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與位移傳感器相連，得到閉環(huán)系統(tǒng)控制模型Gsys，Gsys為四輸入與四輸出結(jié)構(gòu)。基于四塊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)μ綜合控制器，選取目標(biāo)函數(shù)為

式中：We為輸入指標(biāo)權(quán)函數(shù)；Wr為參考輸入權(quán)函數(shù)；Wd為輸入擾動(dòng)權(quán)函數(shù)；Wu為作動(dòng)器控制輸入權(quán)函數(shù)；So，Ti，KSo，GsysSi分別為系統(tǒng)混合靈敏度函數(shù)、補(bǔ)靈敏度函數(shù)、控制靈敏度函數(shù)、動(dòng)態(tài)靈敏度函數(shù)。

磁懸浮轉(zhuǎn)子增廣系統(tǒng)框圖如圖4 所示，K為系統(tǒng)的μ綜合控制器，P為磁懸浮轉(zhuǎn)子增廣系統(tǒng)，d為系統(tǒng)輸入擾動(dòng)，本文為不平衡力和負(fù)載；r為系統(tǒng)參考輸入，本文設(shè)置參考輸入電壓為0；u為系統(tǒng)控制輸入，本文為控制器輸出電壓；e為系統(tǒng)跟蹤誤差，本文為參考輸入電壓與位移誤差電壓的差值；y為系統(tǒng)位移輸出；ze，zu為性能加權(quán)輸出；Δm為系統(tǒng)的頻率參數(shù)攝動(dòng)，Δm={diag(δ1，δ2)；δn∈R}，具有對角結(jié)構(gòu)。本文取一階彎曲模態(tài)頻率的攝動(dòng)范圍δ1為- 5%～5%，二階彎曲模態(tài)頻率的攝動(dòng)范圍δ2為-2%～2%。

圖4 增廣μ綜合控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of augmented μ-synthesis control system

不確定狀態(tài)空間An為

式中：fn為n階彎曲模態(tài)頻率；ξn為模態(tài)阻尼比；σn為n階彎曲模態(tài)頻率不確定性。

圖4虛線框中的P為

（14）式中多輸入多輸出系統(tǒng)的權(quán)函數(shù)通常選取對角矩陣形式，即

根據(jù)ISO 14893-3：2006“Mechanical vibration—Vibration of rotating machinery equipped with active magnetic bearings—Part 3：Evaluation of stability margin”選擇系統(tǒng)靈敏度函數(shù)的奇異值范圍，進(jìn)而得出wr的合理范圍為0.2 ～ 1.0。

（15）式中的we為一階低通濾波器形式，即

式中：e為一階低通濾波器增益；A為積分常數(shù)，代表低頻剛度要求；fe為穿越頻率。

系統(tǒng)加性不確定性由wu表示，wu為二階高通濾波器形式，即

式中：a為增益，為了防止電壓飽和，應(yīng)取較小常數(shù)；ζ通常為最佳阻尼比，取0.707；為不激發(fā)系統(tǒng)高頻模態(tài)，使控制器的增益在高頻處滾降，應(yīng)添加滾降頻率f1和高頻極點(diǎn)頻率f2。

（15）式中的wd為

式中：b為加權(quán)系數(shù)；ad為系統(tǒng)干擾的最大幅值，大于干擾信號的頻率。

基于權(quán)函數(shù)的選取經(jīng)驗(yàn)，并經(jīng)過調(diào)試和對系統(tǒng)靈敏度函數(shù)與結(jié)構(gòu)奇異值μ的分析，確定權(quán)函數(shù)為

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)μ綜合分析

μ綜合分析框架如圖5 所示：將磁懸浮轉(zhuǎn)子增廣系統(tǒng)P與控制器K（s）通過下線性分式變換得到M，即

圖5 μ綜合分析框架圖Fig.5 Framework diagram of μ-synthesis analysis

圖5中的不確定性用Δ表示，Δ={diag(Δm，Δp)；Δm∈C2×2，Δp∈C4×4}。

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值μ（M）定義為

式中：min(Δ) 為使det(I-MΔ) = 0（即I-MΔ為奇異的）時(shí)的最小(Δ)。若無Δ∈Δ*，使I-MΔ為奇異的，則μΔ*(M) = 0。系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性可以通過求解矩陣M的結(jié)構(gòu)奇異值μ判定。

對于結(jié)構(gòu)不確定性系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性須滿足μΔ[M11(s)]＜1。系統(tǒng)魯棒性的充要條件為μΔ*[M(s)]＜1。

3 仿真分析

3.1 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真模型

忽略磁懸浮轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)，四輸入和四輸出轉(zhuǎn)子模型Gsys在2 個(gè)豎直平面解耦為2 個(gè)完全相同的二輸入二輸出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。下文僅展示其中一個(gè)平面中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸入輸出狀態(tài)。在Simulink仿真環(huán)境下，將μ綜合控制器與磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相連得到閉環(huán)系統(tǒng)仿真模型，如圖6 所示，ur為系統(tǒng)參考輸入電壓信號，x為系統(tǒng)不平衡響應(yīng)位移輸出。PID 控制器的3 個(gè)參數(shù)分別為：KP=40，KI=100，KD=0.05。綜合控制器為狀態(tài)空間方程形式，即

圖6 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真框圖Fig.6 Block diagram of closed-loop rotor system simulation

式中：ue為輸入誤差電壓，ye為輸出控制電壓。

3.2 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性分析

根據(jù)給定的結(jié)構(gòu)不確定性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與四組加權(quán)函數(shù)相連，得到不確定性系統(tǒng)增廣矩陣。使用μ綜合魯棒控制工具箱中的dksyn進(jìn)行迭代計(jì)算，得到系統(tǒng)的μ綜合控制器。閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性如圖7 所示：μΔm(M11)的最大值為0.043 7＜1，μΔ(M)的最大值0.61＜1，因此，μ綜合控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性和魯棒性的要求。

圖7 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性Fig.7 Stability and robustness of closed-loop rotor system

3.3 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)起浮性能和抗干擾性能分析

為模擬轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的起浮，本文在參考輸入電壓ur處輸入階躍信號。轉(zhuǎn)子29#節(jié)點(diǎn)x方向的階躍響應(yīng)如圖8所示：轉(zhuǎn)子在0.03 s處從保護(hù)軸承上快速起浮，振幅在0.15 s 處完全衰減，并且存在24.46%的超調(diào)量。轉(zhuǎn)子起浮速度比衰減速度快，超調(diào)量小，避免了轉(zhuǎn)子在起浮期間與保護(hù)軸承的接觸，閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的起浮性能良好。

圖8 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.8 Step response of closed-loop rotor system

轉(zhuǎn)子29#節(jié)點(diǎn)x方向的擾動(dòng)響應(yīng)如圖9 所示：在0.2 s 處對圓盤施加100 N 干擾力后，轉(zhuǎn)子在0.37 s 重新回到平衡位置0 處并維持在此處。轉(zhuǎn)子重回平衡位置的速度快且可以重新維持穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)抗干擾性能良好。

圖9 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)擾動(dòng)響應(yīng)Fig.9 Disturbance response of closed-loop rotor system

3.4 閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)分析

為研究閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同角速度下的不平衡響應(yīng)控制效果：參考輸入電壓ur=0；外負(fù)載FL=0；25#節(jié)點(diǎn)處的不平衡量為2.1×10-4kg · m。在不同角速度下，轉(zhuǎn)子29#節(jié)點(diǎn)處x方向的不平衡響應(yīng)如圖10 所示：與PID 控制相比，在給定角速度范圍內(nèi)，μ綜合控制下系統(tǒng)的基頻fi振幅顯著減小；當(dāng)角速度ω為200 ～ 360 rad/s 時(shí)，μ綜合控制下的系統(tǒng)不平衡響應(yīng)振幅與PID 控制下相比顯著降低；由于支承非線性的影響，PID控制下的系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)了倍頻3fi，而μ綜合控制實(shí)現(xiàn)了對3fi振幅的顯著抑制。在給定的角速度條件下，與PID 控制相比，μ綜合控制較好地抑制了非線性對系統(tǒng)的影響。

圖10 不同角速度下閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of unbalanced response of closed-loop rotor system under different angular velocitys

為研究閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同負(fù)載下不平衡響應(yīng)的控制效果：參考輸入電壓ur=0，轉(zhuǎn)子角速度ω=280 rad/s，25#節(jié)點(diǎn)處的不平衡量為2.1×10-4kg · m。在圓盤豎直方向施加不同的負(fù)載FL，轉(zhuǎn)子29#節(jié)點(diǎn)處x方向的不平衡響應(yīng)如圖11 所示：在給定負(fù)載范圍內(nèi)，μ綜合控制下系統(tǒng)的基頻fi振幅明顯小于PID 控制；PID 控制下系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)中除其基頻fi外，還有倍頻（2fi和3fi）被激發(fā)出來，而μ綜合控制下系統(tǒng)的倍頻振幅被明顯抑制。說明支承非線性對系統(tǒng)的影響被削弱，且在給定負(fù)載范圍內(nèi)，當(dāng)FL為20 ～ 160 N 時(shí)，μ綜合控制下的系統(tǒng)不平衡響應(yīng)振幅相比PID控制下顯著降低。

4 結(jié)論

考慮磁飽和、漏磁效應(yīng)建立了非線性支承下的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。基于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)不確定性和高階未建模動(dòng)態(tài)，設(shè)計(jì)了針對非線性支承下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的μ綜合控制器。得到以下結(jié)論：

1）μ綜合控制能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮，且閉環(huán)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有良好的起浮性能和抗干擾性能。

2）在角速度及負(fù)載給定的范圍內(nèi)，與PID 控制相比，μ綜合控制能有效減小不平衡響應(yīng)基頻fi和倍頻（2fi和3fi）幅值，抑制系統(tǒng)的不平衡擾動(dòng)和非線性效應(yīng)。