在具身體驗中理解、創(chuàng)造
——以“長方體與正方體表面積含義”為例

文｜黃景鋒

長方體與正方體的學(xué)習(xí)是學(xué)生建立量感與空間觀念的關(guān)鍵一環(huán)。小學(xué)高年級學(xué)生具有一定的思維能力，可以研究它們的本質(zhì)特征，不僅要對其進行定性描述，更要對其進行定量刻畫?！氨砻娣e”是定量刻畫的核心概念之一，在研究長方體與正方體的特征后進入了表面積的學(xué)習(xí)。表面積的學(xué)習(xí)關(guān)注面積的求解，更注重對長、寬、高與展開后平面對應(yīng)關(guān)系的理解，同時對于長方體與正方體（尤其是正方體）的展開圖的學(xué)習(xí)也很關(guān)鍵。筆者認為身邊的立體圖形教學(xué)中存在一些共性問題，在進行“長方體與正方體表面積含義”這節(jié)課的教學(xué)前后進行深度思考，力求能精準(zhǔn)地描述存在的問題，從而解決存在的問題。

一、課前慎思

“長方體與正方體表面積含義”從教材內(nèi)容的安排來看是比較簡易的，簡單地出示長方體與正方體的展開圖，通過簡要的問題厘清其中的對應(yīng)關(guān)系，就可以總結(jié)出它們的表面積含義。通過對義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書與《中山市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要義（第二學(xué)段）》的研讀，提出了不同的建議：首先教師用書對表面積一般意義的建立提出了先計算后概括的建議，其次要將正方體的展開圖作為本節(jié)課的教學(xué)重點之一。這樣一來，教師在一節(jié)課中既要致力于解決表面積含義、展開圖與原體的對應(yīng)關(guān)系，又要致力于探究并概括正方體展開圖的所有類型。

在研讀與初步分析的基礎(chǔ)上，筆者與同年級教師進行探討，并觀摩學(xué)習(xí)了他們的課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)的問題簡要概括為以下三點。

1.教學(xué)內(nèi)容含量大。正如前文所分析，本節(jié)課既要致力于解決表面積含義、展開圖與原體的對應(yīng)關(guān)系，又要致力于探究正方體展開圖的所有類型，同年級教師都沒能在一節(jié)課中完成教學(xué)內(nèi)容，都不得不使用兩節(jié)課時分別探究。

2.表面積的含義理解不透徹。教材定義的是長方體與正方體的表面積，但對表面積卻加以忽視。教學(xué)用書中提及：“理解長方體、正方體的表面積后，教師可進一步拓寬表面積的概念，任何幾何體外表面的面積之和就是它的表面積，建立表面積的一般意義”。筆者深以為然，但表面積概念的建立是從特殊到一般還是從一般到特殊值得商榷。

3.教學(xué)難點難突破。一是展開圖與原體的對應(yīng)關(guān)系依然難理解，二是難以探究正方體的所有展開圖。教師用書雖強調(diào)“折疊想象”，但從學(xué)生的表現(xiàn)情況來看，過分依賴“折疊想象”使學(xué)生難以理解。

為嘗試解決發(fā)現(xiàn)的問題，筆者通過思考形成了以下想法：

第一，提供直觀性強的教學(xué)工具進行具身體驗。筆者在學(xué)習(xí)他人的課堂中發(fā)現(xiàn)可探究的學(xué)具是學(xué)生從家里攜帶的長方體與正方體包裝盒，展開后五花八門，其中的非數(shù)學(xué)元素大大擠占了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間與時間，同時“折疊想象”太多、難度太大，因此需要提供更直觀的研究對象，教師應(yīng)協(xié)助學(xué)生在課前制作相同數(shù)量與大小的長方體與正方體。

第二，更合理地建構(gòu)“表面積的概念”。教師用書中建議采用先學(xué)習(xí)“長方體與正方體的表面積”再拓展至一般意義的“表面積”，運用的思路是“特殊—一般”。這樣一是特殊的例子太單一、不生活化，二是采用的邏輯是小學(xué)常用的歸納推理，是否可以嘗試從“一般—特殊”或“特殊—特殊”來更合理地建構(gòu)“表面積的概念”。

二、課中體驗

（一）在具身體驗中理解“表面積”的含義

片段：

師：在三年級時，我們學(xué)習(xí)了面積，它是指平面圖形的大小，今天我們要學(xué)習(xí)表面積，什么是物體的表面積呢？你能結(jié)合下面的物體說一說嗎？

生1：橘子的表面積就是橘子皮有多大。

師：如果要知道它的表面積你們有什么好方法嗎？

生2：剝下來，然后切成我們學(xué)過的圖形計算。

師：真有創(chuàng)造力！竟然想到了把體轉(zhuǎn)化成面，化未知為已知。它呢（指著長方體）？

生2：長方體的表面積是指所有面的面積加起來。（追問：你能摸一摸給大家看看嗎？學(xué)生邊摸邊說：上下、前后、左右）

師：這是我們現(xiàn)在對表面積的理解，不一定準(zhǔn)確，今天我們就來深入學(xué)習(xí)“長方體與正方體的表面積含義”。

理解“表面積”的含義需要具身體驗，這種體驗要做到調(diào)動學(xué)生已有的經(jīng)驗，也要在操作（此處是觀察、觸摸與想象）中體驗。

筆者讓學(xué)生先談?wù)勛约簩Α氨砻娣e”的理解，學(xué)生會將“面積”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移過來嘗試自己去理解“表面積”的含義，并用生活中的事物激發(fā)學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)有趣味、值得思考的問題：“如果要知道橘子的表面積你們有什么好方法嗎？”滲透化體為面后表面積是不變的，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

教學(xué)用書中“特殊—一般”的概念建構(gòu)邏輯，筆者通過思考認為調(diào)整為“特殊—特殊—一般”更適合。從生活中的事物引入，讓學(xué)生談?wù)勯L方體的表面積，這是“特殊—特殊”的過程，通過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)后，再從生活中的事物與立體圖形兩方面歸納總結(jié)“表面積”的含義，這是“特殊—一般”的過程，更具說服力。整個概念的建構(gòu)經(jīng)歷了“特殊—特殊”的類比，在經(jīng)歷“特殊—一般”的歸納，使建構(gòu)過程中的具身體驗更充分。

（二）在具身體驗中深度理解展開圖與立體圖形的對應(yīng)關(guān)系

片段：

師：現(xiàn)在就請大家先將手里的長方體標(biāo)上“上下前后左右”再展開。（學(xué)生基本剪完后出示問題，將學(xué)生的生成貼在黑板上）展開圖和原來的長方體什么變了，什么沒變？展開后的6 個面有什么特點？先觀察思考再討論。

生1：原來是體，展開是平面。

生2：展開的面就是原來長方體的表面，所以面積沒變。

生3：原來有棱，都變成了邊。

生4：兩個相同的面都隔著一個面，不連在一起。

師：大家觀察得很仔細、很深刻。那每個面的長和寬與原來長方體的長、寬、高有什么關(guān)系？先觀察。（學(xué)生手里分別有一個展開的長方體和一個未展開的長方體）

生5：（結(jié)合長方體、展開圖、三線圖說一說每個面的長和寬與原來長方體的長、寬、高的對應(yīng)關(guān)系）

師：（學(xué)生輪番解釋，教師小結(jié)）現(xiàn)在結(jié)合自己手中的長方體與展開圖與同桌說一說對應(yīng)的關(guān)系。

為使學(xué)生深度理解展開圖與原體的對應(yīng)關(guān)系，筆者一方面注重直觀教學(xué)，另一方面也嘗試對數(shù)學(xué)問題進行深加工。

1.對教材的問題進行再加工

教材中原本的問題是：“哪些面面積相等？”對于這樣的問題學(xué)生不需要經(jīng)過深入思考就可以得出結(jié)論，對于表面積的含義與對應(yīng)關(guān)系的理解少有幫助，真正有幫助的是通過對比發(fā)現(xiàn)變與不變的關(guān)系。雖然化體為面，還是6 個面且表面積不變，每個長方形的長和寬也是源于原來的長方體的長、寬、高。學(xué)習(xí)材料沒有變化，但是更有深度的問題學(xué)生會有更深刻的學(xué)習(xí)體驗，深層次、多角度的體驗使學(xué)生的生成更加豐富，也將體與面對應(yīng)起來。

2.對學(xué)生的學(xué)習(xí)難點直觀化

每個面的長和寬與原來長方體的長、寬、高有什么關(guān)系？這一問題是本節(jié)課的重難點，對于表面積的求解至關(guān)重要，但是展開圖的長、寬、高的數(shù)量都發(fā)生了變化，很難一一對應(yīng)起來。此處我設(shè)置了三個環(huán)節(jié)幫助學(xué)生更直觀地理解、更深度地思考：

（1）板書長方體的三線圖，便于學(xué)生想象觀察。

（2）學(xué)生上臺講解時借助紙質(zhì)展開圖來解釋，上面是原來的長方體，下面就是展開圖，并且讓學(xué)生在講解時可以將展開圖折疊還原，過程是動態(tài)的。

（3）學(xué)生給教師講解之后，再讓學(xué)生結(jié)合自己手中的展開圖與原來的長方體對應(yīng)來給同桌講解，加深理解。

層層遞進，想明白、說清楚，每個學(xué)生都能直接接觸學(xué)習(xí)材料，用數(shù)學(xué)語言來描述問題的答案。采用直觀教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的具身體驗更豐富。

（三）在具身體驗中創(chuàng)造不同的展開圖

片段：

師：長方體的展開圖是這樣的，那正方體的展開圖又是什么樣的呢？試一試吧。

學(xué)生操作，教師相機指導(dǎo)，將學(xué)生的生成展示在黑板上。

師：剛剛大家的正方體展開圖已經(jīng)有些是不同的了，其實還有很多，請大家再用手里的正方體試一試，找出不同的展開圖（每人手里有兩個正方體）。

學(xué)生操作，教師相機指導(dǎo)，將學(xué)生的生成展示在黑板上。由于擺的方向不同，板書出現(xiàn)了重復(fù)的展開圖。

師：請大家觀察黑板上的展開圖，發(fā)揮想象力，說說有沒有什么要調(diào)整的？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)有重復(fù)部分并上臺演示）

師：這些展開圖如果讓你分類，你想怎么分？和旁邊的同學(xué)交流。

由于分類難度太大學(xué)生沒能做到完美分類，但此處分類重點是讓學(xué)生認真觀察、總結(jié)各個展開圖的特點即可。教師用希沃白板展開正方體的141 類型，并讓學(xué)生觀察特點，總結(jié)141 類型，順延到其他類型。

在探究正方體展開圖時不能只靠想象，而是要操作與想象并舉，做到多個層次具身體驗。

三、課后反思

從上文中我們可以窺視到所謂的具身體驗絕不只是長時間的體驗，它既要求有充足的時間體驗，又要有合適的學(xué)習(xí)材料（立體圖形需要借助更直觀的學(xué)習(xí)工具）來體驗，更要設(shè)置值得思考的關(guān)鍵問題促使深度思考，使體驗更充分。具身體驗不僅能獲得理解性的教學(xué)，還能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，使學(xué)生在體驗過程中積累更豐富的基本活動經(jīng)驗。

（一）在直觀教學(xué)中具身體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程

小學(xué)生形成空間觀念主要依靠“視”與“觸”，亦主要手段是觀察與操作，兩項都屬于直觀教學(xué)范疇。囿于小學(xué)生思維發(fā)展能力、空間想象能力不足，教學(xué)過程中我們往往會陷入“既然能力不足就應(yīng)該讓學(xué)生多想象”的誤區(qū)，空間觀念或者更上位的空間想象能力的提升是建立在建構(gòu)充足的幾何圖形表象基礎(chǔ)上的，在學(xué)生還不能完全掌握幾何圖形特征時就一味地去想象，對于空間想象能力的培養(yǎng)無疑是無根之木。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形的教學(xué)應(yīng)盡量進行直觀教學(xué)，在學(xué)生對某種或某類幾何圖形充分了解后再肆意想象，在直觀教學(xué)中充分體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（二）在具身體驗中積累基本活動經(jīng)驗

體驗是對經(jīng)驗的一種深化和超越；體驗是經(jīng)驗中詩意與個性色彩的一種形態(tài)；體驗是一種注入生命意識的經(jīng)驗。體驗與經(jīng)驗雖不同，但有一定的邏輯關(guān)系，體驗后經(jīng)過概括總結(jié)才能形成經(jīng)驗，體驗充分與否也會影響經(jīng)驗的質(zhì)量。因此，經(jīng)驗源于體驗，數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗更多源于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具身體驗，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生在具身體驗中積累更多基本的活動經(jīng)驗，以有助于后期學(xué)習(xí)的遷移。

在“長方體與正方體的表面積含義”一課的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)了一些自身教學(xué)中存在的并嘗試去解決的問題。僅從一節(jié)課來展開，不免有管中窺豹之嫌，但筆者也希望能從大處著眼，小處著手，以小見大。無論如何，毋庸置疑的是只有在教學(xué)中充分進行具身體驗，才能使學(xué)生更深度理解、更善于創(chuàng)造。