借閱讀之力 強思維生長
——以“數學廣角——雞兔同籠”為例

文｜黃麗娟

在新課標背景下，通過學習“雞兔同籠”內容，學生要在現實生活中體會到“發現—抽象—簡化—解決—處理”這一思想活動的全過程。在“雞兔同籠”問題探索活動中，教師可以讓學生通過觀察、實驗、猜想、驗證等活動培養理性思維能力，較清晰地表達自己的思維過程和結果。同時，能在簡單的“雞兔同籠”問題上，探索出一套行之有效的分析問題、解決問題的方法，使學生了解數學的重要性，并將其應用于實際問題中。

新課標提倡將化繁為簡、數形結合的理念融入探究和創造的過程中，讓學生積累更多的思考經驗，逐步形成理性思考方式，構建數學模型，并用其來解決現實中的問題。所謂“模型意識”，即對數學模型的普遍性有初步的認知，認識到其能用于某一類問題的求解，這是一種數學應用的基本方式。在實際生活中，很多問題都和數學相關，并且可以用數學的概念和方法來解釋，引導學生學習“雞兔同籠”問題，可提高學生的應用能力，讓學生在應用定律的過程中，提高交流能力，最終形成推理能力。

一、教材分析

“雞兔同籠”問題最早見于《孫子算經》，是在中國民間廣泛流傳的趣味算術題。“雞兔同籠”的教學，目的是讓學生從古代數學題目中感受到我國的數學文化，讓學生更好地理解各種解題的方式。“雞兔同籠”問題的求解方法有列表法、假設法、方程法等，因為學生還沒有學會這一單元的公式，所以這節課的重點是讓學生自己去猜測、思考，進行推理。

“雞兔同籠”的學習既能訓練學生的邏輯思維，又能讓學生感受到一般的代數方法，具有較強的應用價值。在解答此類問題時，教材呈現出由學生一步一步地解題的步驟。運用“假設法”可以訓練學生的邏輯思維，而用“方程式”可以使學生感受到一般的代數方法。所以，對于“雞兔同籠”的解題，學生可以選擇任何一種解題方式，這就需要學生形成良好的思維能力。

二、教學目標

1.運用列表、假設方法來解答“雞兔同籠”的題目，培養學生的思考能力，體驗猜測驗證、假設建模等數學思維方式。

2.培養學生的思維能力，提高其運用數學知識的能力。

三、教學重難點

教學重點：通過“雞兔同籠”問題的解答，找出幾種不同的解決辦法。

教學難點：靈活運用方法解決“雞兔同籠”問題。

四、教學過程

（一）趣味導入“雞兔同籠”課題

師：今天我們這節數學課是一堂趣味的數學課，在這節課之前，我要和同學們做一個游戲，我畫，你們猜，大家猜一猜，我畫的這是什么。（小雞）一個圓形代表頭部，兩條垂直的直線代表腿部。還有一個小動物，有兩只長長的耳朵，這是什么動物？（兔子）大家都猜出來了吧，我們這節課的主角是兔子和小雞，下面讓我們開始今天的學習吧！

師：我們國家有很長的數學學習歷史，有很多古老的、有趣的故事，至今還在我們的生活中流傳著。今天我們要講的是一道很有意思的古代數學題——雞兔同籠。

多媒體出示：籠子里關著小兔和小雞，上有35只頭，下有94 只腳，請問一共有多少只兔子、多少只雞？

（板書：數學廣角——雞兔同籠）

師：現在請大家猜猜看有幾只雞、有幾只兔子。

生1：我想應當是雞有10 只，兔有25 只，如果這35 個腦袋都是雞，那就是70 條腿，94 只腳比70 條腿多。因此，我想應當是兔子更多一些。

生2：我不同意她的觀點，我覺得應該少一些兔子，多一些雞。我猜想，若有35 個兔子腦袋，那就該有140 只腳，140 比94 更多，那就證明兔子的數量多了，因此我猜想有13 只兔子，21 只雞。

師：看來大家都有濃厚的探索興趣，看著大家各抒己見，我真的感到十分欣慰！那就請大家在練習本上嘗試自己檢驗一下吧！

（二）圍繞“雞兔同籠”設疑

相信在上一個環節，大家對“雞兔同籠”都有所了解了，現在讓我們看一下課件。有沒有人能帶著感情念出來？能不能說清楚？

多媒體出示：

?《孫子算經》中“雞兔同籠”原文內容：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。

師：你能從中得到什么資料？結合日常生活中的常識性知識，你還可以得出什么結論？（點名報告）

師：根據以上的資料，讓我們先來猜測一下，這個籠中有多少只雞、多少只兔子？（給學生一點時間去猜）你怎么知道是對是錯？（確認了腳的個數）這能否隨便猜？要把握什么？

師：每個人都猜測出了幾組數字，但都被證明是錯的，那么多人怎么會猜錯？（數據過大）事實上，我們在做數學研究時，往往會將復雜的事情簡單化，將數字變小，從簡單的問題開始。例如，我們可以先猜測5 只雞和5 只兔子的腳的總數，再逐步增加難度。這一次我們能不能猜對？請你自己計算、思考，把答案寫在卡片上！

在呈現教學情境的過程中，利用古代數學問題，讓學生感受到我國古代數學文化的源遠流長，在感受數學文化時，還能激發出學生的民族自豪感和愛國熱情。同時，學生通過對結果的猜測和修正，可得出正確答案。如果學生不能得出正確的結論，教師就可以進行下一步的教學，適當刺激學生對問題的探索，也為下一步“化繁為簡”打下良好的基礎。

（三）運用多元方法解決“雞兔同籠”問題

1.列表法

籠子中有若干只雞和兔子，從上面看一共是8個頭，從下面看一共是26 只腳，你是否能知道兔子和雞都有多少？

師：通過猜測，你能猜出有多少只雞嗎？有多少只兔子呢？

生：3 只雞、5 只兔子。

師：怎樣才能確定這是正確的呢？

教師指導學生說出自己的解題思想和步驟。

生1：我是將8 個腦袋平均分成8 份，4 只雞、4只兔子，一共24 只腳，缺2 只腳，表示雞較多，兔較少，調整后3 只雞、5 只兔子。

生2：我先從1 只雞和7 只兔子開始計算。

生3：我先從7 只雞和1 只兔子開始計算。

……

師：同學們，如果我們用表來排列我們剛才所做的論證，這就叫列表法。現在，請大家翻開課本第104頁，將第一個表格填滿。

生：老師，我沒有使用列表方法，我是用圖形來尋找答案的。

師：同學們，請你們站在黑板前面，向我們展示你的學習方式。（見圖1）

圖1

2.畫圖法

師：經過剛剛的練習，大家對“雞兔同籠”的問題都有了一定的認識，并且在討論中發現了一條非常簡便的思路，那我們再把這個思路繼續應用下去，如何才能使它變得更加簡便？

（學生討論：如果8 個腦袋都是雞，會比較容易計算。）

師：剛才我們用圖解法解決“雞兔同籠”問題，這是另外一種解題方式，除了畫圖法，還有假設法。

3.假設法

師：下面請大家用假設法進行解題。

生：首先，將8 個腦袋都看成是雞的，共有16 只腳。假設所有的雞籠都被關了起來，即8×2。其次，籠中共有26 只腳，我們只數出16 只，還少數出10 只腳，即26-16=10（只），這是一個很大的數字。最后，一只兔子比一只雞多出兩只腳，因此我們在第1 只雞上加出兩條腿，這樣就少計算出8 只腳，再在第2只雞上加出兩條腿，以此類推，總共為5 只雞加出2條腿，則圖中有5 個頭是4 條腿，4 條腿的是兔子，2條腿的是雞。求兔子的數量，是10÷2=5，雞的數量是8-5=3。

師：同學們，你能看到8 個腦袋都是兔嗎？現在，請學生在自己的習題冊上做一個簡單的計算。

教師引導學生自己試著去解答問題，分層次地進行討論和交流，目的是讓學生逐漸清楚地理解：總腳數的差值中有多少個2，而“2”就是兔子與雞腿的差值。

（四）借助“雞兔同籠”問題滲透數學文化

師：同學們，“雞兔同籠”這種從正向思維到逆向思維的方式來解決數學問題，很有難度。同學們，我們的先人很聰明，他們在1600 年前就找到了“雞兔同籠”這個題目，這個題目比較難，本來是要讓小朋友去體驗一個由淺入深的過程，但我們的先人認為，只要我們從最簡單的知識開始，就可以感受到其中的數學價值，用更多數學問題為生活服務。

學生在小組內查找“雞兔同籠”的數學資料。

數學文化的滲透，使學生能根據自己所學到的知識，來解答“雞兔同籠”這道古老的難題。在此基礎上，引入有趣的解法，從而營造出良好的文化氛圍，使學生能更好地學習數學，進一步激發學生學習數學的興趣，更能讓學生體會到我國數學文化的古老與美好，從而提升學生的民族自豪感。

（五）圍繞“雞兔同籠”問題進行拓展運用

請大家結合所學的“雞兔同籠”知識進行拓展練習。

1.有烏龜與仙鶴共40 只，烏龜與仙鶴共112 條腿。有多少只龜，多少只鶴？

2.自行車及三輪共10 輛，共26 個輪子，有幾輛自行車，幾輛三輪車？

3.小紅用13 塊6 毛錢買了35 枚面值分別為20分和50 分的郵票，請問這35 枚郵票中的兩種郵票各有幾枚？

師：同學們，請結合“雞兔同籠”知識，設想在上面這幾道題中找到“雞”和“兔”，并且分別求出“雞”和“兔”都有多少只？

師：上面這些題和“雞兔同籠”知識有什么相同點？

生：均采用假設法。

這些實踐題不管是題目本身，還是表達方式，都與“雞兔同籠”題有很大不同。然而，雖然表面上看起來與“雞兔同籠”無關，但學生卻能輕松地解答出來。這一正向遷移表明，學生對“雞兔同籠”的認識已由“特殊”上升到“一般”，并具有一定的數學視野，通過遷移使其結構得到完善，使其成為一種有效的學習策略，從而形成模式意識，提高以數學語言來表現現實生活的能力。

五、教學反思

?（一）運用多元策略教學

?在“雞兔同籠”問題的解法中，猜想是對這類問題進行探索和求解的方法之一，而列表法則有助于對這類問題進行有條不紊的思考，有助于對這類問題進行有效的推理，為這類問題提供了一種可操作的思路。在教學時，教師要給予學生充足的空間，有充足的時間去探究和討論解決此類問題的方法。

?（二）掌握假設方法運算原理

?假設法屬于一種算術方法，可以被分成四個主要的步驟，即假設—計算—推理—調整。假設法的計算相對簡單，但理解算理會有一定的難度，特別是推理和調整這兩個步驟很難理解，學生如果不能通過這兩個階段，就不能真正地掌握假設法。在教學時，教師要仔細分析學生存在的思維障礙。當學生完全掌握假設法后，教師還可以利用“半兔法”“抬腳法”等特殊的假想方法，讓學生體會到假想方法的精妙和靈活性，再將其應用到解題中，切實提高學生對這一部分知識的學習及應用能力。