三研：小學數學結構化思維孕育策略
——圓的面積和圓柱表面積公式的推導與應用

文｜沈群根

基于學生已有知識和經驗基礎的結構化學習是很有價值的一種學習方式，這種學習方式具有統整性和關聯性，是學生對于這個領域進行整體關聯后，主動構建學習的過程。結構化視角下的深度學習是針對傳統教學中的淺學習、被學習、虛學習而提出的一種全新的學習方式，它是一種更高階的學習思維，能夠促使學生向數學更本質的深處進行探究。在具體研究的過程中，指向結構化思維培育的“三研”策略的整體框架如下：

一、入研三點，結構化思維留痕

（一）基于疑問，走向思維萌點

在知識點導入時，我們將“疑”做大做足，有了疑問才能引發學生學習的興趣，點燃思維的火苗。“圓的面積”我是這樣設疑導入的：圓和我們以前學習的幾何圖形不同的是：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形都是由直線段圍成的，而圓是由曲線圍成的。古埃及人把它看成是神賜予人的神圣圖形，如何求圓的面積，當時人們認為既然正方形的面積容易求，只需要想辦法做出一個面積恰好等于圓面積的正方形，即化圓為方。這樣的導入能讓學生了解圓面積推導過程的歷史，并讓他們站在前人的肩膀上，基于疑問，走向思維萌點，激起學生挑戰欲望。

（二）自主判斷，經歷思維生點

沿著數學家研究的路徑，學生有了思維的起點。我國古代的數學家祖沖之，從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的面積去逼近圓面積。古希臘的數學家，從圓內接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從里外兩個方面去逼近圓面積。古印度的數學家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。在課堂上讓學生對比以上三個方案，哪個方案更容易操作。筆者發現很多學生采用了古印度數學家的方法，于是讓學生拿出學具，兩人合作，分一分，剪一剪，拼一拼，拼成一個近似的長方形。這樣讓學生通過自主判斷，動手操作，經歷思維生點。

（三）創造綜合，構建思維支點

在借鑒方法的基礎上，回歸教材，書本上采用的也是把圓轉化成長方形：分的份數越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越接近于長方形。從圖形中可以看出長方形的長近似于圓周長的一半，寬近似于圓的半徑。因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。

教師引導學生將已有知識和經驗自主遷移到新問題的探究解決過程中，既可完善學生原有的認知，又可以打通和發展數學的方法結構、思維結構以及策略結構。創造綜合，構建了學生思維的支點，從而推導出圓面積的計算公式。

二、著研三向，結構化思維無形

（一）從學到用，思維結構有趣

既然圓可以轉化成長方形，那么能不能轉化成三角形或梯形呢？（讓學生利用學具試一試、剪一剪、拼一拼）

把圓轉化成三角形，把16 個小扇形想象成16個近似等腰三角形，把它們擺成一個大的等腰三角形。三角形的底接近圓周長的四分之一，三角形的高接近于4r，因為三角形的面積=底×高÷2，所以圓的面積

把圓轉化成梯形：把16 個小扇形想象成16 個近似等腰三角形，把它們擺成一個的梯形。上底是3個弧長，下底是5 個弧長，高相當于2 個半徑。根據梯形面積=（上底+下底）×高÷2，算出這個近似梯形的面積：

（3 個弧長+5 個弧長）×2r÷2

=8 個弧長×2r÷2=16 個弧長×r÷2=圓周長×r÷2=2πr×r÷2=πr2

俗話說：“授之以魚，不如授之以漁。”結構化思維方法可以為學生舉一反三、觸類旁通創造條件。轉化和建模等都是小學階段常用的思想方法，這些方法的學習不是一蹴而就的，需要教師在教學中有意地滲透。從學到用，用多點思維使結構更有趣，溝通圓與前面學過的平面圖形的聯系，實現實踐與應用的整體構建。

（二）從探到建，平臺搭建有意

古希臘的數學家研究的是圓與內接正多邊形和外切正多邊形，它們之間又有什么聯系呢？我們要研究圓和正多邊形的聯系，你覺得我們應該從研究圓和正幾邊形著手呢？學生一致認為從正方形入手，遵循從簡單到復雜的原則。教師先讓學生先利用圓規和尺子畫一畫這幅圖，先把平臺搭建起來，建好模。

師：假設圓的半徑為1 cm，你能求出外切正方形的面積和內接正方形的面積嗎？

生：圓的面積是π cm2，外切正方形的面積是4 cm2，內接正方形的面積是2 cm2。

師：假設圓的半徑為r cm2呢？

生：圓的面積是πr2cm2，外切正方形的面積是4r2cm2；內接正方形的面積是2r2cm2。

在數學課堂中，學生通過自我探索，搭建模型，合作交流，體驗數學事實，從而有效地培養結構化思維。

（三）從教材到資源，創造性使用有法

通過分割與轉化，借助模型，在變與不變中，找出聯系與區別，學生品味到了建模和探究的魅力。在探究的過程中，哪些量變了，怎么變化的，哪些量沒有變，正是我們探究的最終目的。從教材到資源，創造性設計練習，并將習題悟透、學透。

1.“已知圓的直徑為6 cm，求這個圓的面積”，在解決這個問題時，有一位學生根據圓面積公式的推導過程分步求出結果。請你幫助這位同學補上第三步算式。第一步：3.14×6=18.84（cm），第二步：18.84÷2=9.42（cm），第三步（ ）

A．9.42×6 B.9.42×3.14

C.9.42×（6÷2） D.18.84×（6÷2）

2.把圓平均分成若干偶數等份，剪下來拼一拼，拼成一個近似的長方形，在拼的過程中（ ）不變，（ ）變了。

教師創造性地設計練習來促進學生的深度學習，來幫助學生對知識的深度理解，實現知識結構化、思維結構化、策略結構化，并促進思維全面提升。

三、回研三處，結構化思維相連

數學知識在教材中以一定的結構分布排列，各知識間既有個性又有共性，緊抓素材背后的共性知識進行探究，可達到知識結構和認知結構的同生共長。在學習六年級上冊“圓的面積”的基礎上，六年級下冊又安排了“圓柱和圓錐”，嘗試繼續建模，挖掘學生思維的深度和廣度。

（一）聯結處——教學溝通聯系

圓柱的表面積指的是圓柱的側面積+兩個底面的面積。圓柱的側面是一個長方形，這個長方形的長是圓柱底面的周長C，長方形的寬是圓柱的高h，所以圓柱的側面積=底面周長×高=Ch；兩個底面是圓，所以面積之和是2πr2。總之，圓柱的表面積=Ch+2πr2。

在學習了圓柱表面積的基礎上，設計了以下練習：求圓柱的表面積：（1）底面周長是1.6 米，高是0.7米；（2）底面半徑是3.2 分米，高是5 分米。學生練習后，我統計了一下學生的答題情況，正確率只有35%，于是我利用課件把圓柱表面積的三部分整合在一起，形成了以下模型，如圖2 所示：圓柱的表面積=大長方形面積。這個大長方形的長正好是圓的周長C，寬近似于h+r，S=C（h+r），即S=2πr（h+r）。

圖2

對所建立模型進行闡述之后，學生還需要對所得的模型進行分析和檢驗：圓柱的表面積=圓柱的側面積+兩個底面的面積=Ch+2πr2=2πr×h+2πr2=2πr（h+r）。

應用：對模型的分析要分為兩部分進行考慮，模型有哪些優點、哪些缺點呢？

教師讓學生用新方法繼續練一練上面的兩道練習題。學生計算后，都直呼“簡單”。可見學生已實現了原有知識結構的一次充盈，完善了自我的認知結構。對于計算圓柱的表面積不再恐懼，計算正確率更高。

（二）區別處——教學回顧審辯

在教學中，我們需要及時回顧與反思，以免以偏概全。數學課程標準解讀中指出：作為一名有數學素養的人，不能只知道教會學生如何計算，而應教會學生掌握更廣泛的知識和技能，如處理數據信息。培養有數學素養的學生，教師可以在習題信息上巧設計，讓學生解決不同類型的題目，可以更多地體會解題思想，盡可能讓學生多一扇獲取知識的“窗戶”。讓學生看人教版六年級下冊數學第21 頁的例題4，提問：這頂帽子的面料我們要計算哪些部分呢？只需要求圓柱的側面和一個上底面，即只能用圓柱的側面積+一個圓的面積來計算。如圖3 所示。

圖3

在教學中，及時教學回顧與審辯，可使學生充分理解數學題型的多變性、構建面積知識體系，讓學生運用學到的知識解決不同的數學問題。

（三）伸展處——思維拓展提升

好的活動教學力求設計求變，方法求變。變玩法、變信息、變模型、變圖形、變思路等在變中發現不變，感悟知識結構和方法結構的不變。在“模型—練習”這樣的循環中，模型結構得以固化，形成了解決這一類題目的方法、策略、結構。

這張圖是圓柱的表面積展開圖，求圓柱的表面積。

圖4 是一張圓柱的側面展開圖，讓學生找一找它的長、寬和圓的半徑有什么聯系。經過小組合作討論后發現：如果圓的半徑用字母r 表示，寬即圓柱的高，可以用4r 表示，長等于底面周長+2 條半徑（2πr+2r）。根據已知的條件得出2πr+2r=10.28，我們就可以求出它的半徑，圓柱的表面積就迎刃而解了。

圖4

知識的不斷輸出、遷移、迭代，提出新策略的過程就是知識內化、方法優化的過程，學生的能力結構也在逐漸形成，思維得到了進一步拓展與提升。教師要將眾多要素進行整體性的關聯，充分考慮學生已掌握什么樣的知識，其自身具備什么樣的能力，從而更大限度地調動學生參與的積極性，讓學生利用課程中已有的知識，關聯已有的知識解決問題，形成新的知識與能力，把數學教學的重點放在各要素整體系統的運行上，使其成為一個結構化的學習系統。

對于小學數學結構化學習，教師仍需要不斷進行探索和實踐，以此來符合當下對于優質數學教學的需求，也是對數學這門學科的追求。教學中，教師要將知識在整體上進行融合，改進學生的學習方法，從而促使學生數學素養的提升。