用矩陣形式的電路方程分析多層特斯拉線圈

陳希有 金 鑫 李冠林 齊 琛

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,大連 116024)

在許多高校的電路類課程中,都介紹了網(wǎng)絡(luò)圖論在電路理論中的應(yīng)用。雖然內(nèi)容的名稱有所不同,例如文獻(xiàn)[1]叫“電路方程的矩陣形式”,文獻(xiàn)[2]叫“電路的計(jì)算機(jī)輔助分析基礎(chǔ)”,文獻(xiàn)[3]叫“電路圖論和網(wǎng)絡(luò)方程”,等等,但內(nèi)容大都包括圖的基本概念及圖的矩陣表示;KCL、KVL及支路方程的矩陣形式;通過矩陣運(yùn)算列寫節(jié)點(diǎn)方程、回路方程與割集方程,等等。但是,由于教學(xué)基本要求和學(xué)時(shí)的限制,教學(xué)或教材中,得出矩陣形式的電路方程并簡(jiǎn)單舉例后內(nèi)容便終止,沒有進(jìn)一步介紹矩陣形式電路方程的應(yīng)用,導(dǎo)致一些學(xué)生甚至青年教師們產(chǎn)生困惑:這種利用矩陣運(yùn)算列寫電路方程的過程,還不如憑觀察列寫來得簡(jiǎn)單。因此,影響了對(duì)這部分內(nèi)容教與學(xué)的積極性。只有極少數(shù)學(xué)生,會(huì)在研究生階段的網(wǎng)絡(luò)分析與綜合課程中,能夠進(jìn)一步理解矩陣形式電路方程的數(shù)學(xué)推演優(yōu)勢(shì)[4],大部分學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的目的性不甚明了。

本文在科研中制作了多層特斯拉線圈,用于研究諧振式電能傳輸。在建立線圈的電路模型以后,需要對(duì)其進(jìn)行多種分析。該模型包含眾多互感支路,經(jīng)簡(jiǎn)化后,可以作為矩陣形式電路方程具體應(yīng)用的很好案例,從而加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)電路方程矩陣形式目的性的理解,喚起求知欲望。

特斯拉線圈能夠利用線圈的分布參數(shù)產(chǎn)生諧振。在特斯拉無線電能傳輸?shù)恼撐闹惺褂昧舜司€圈[5]。因此,這樣的案例也可讓學(xué)生了解特斯拉及特斯拉線圈在電氣與信息時(shí)代所發(fā)揮的基礎(chǔ)作用,潛移默化中提高了對(duì)偉大發(fā)明家的敬仰之情。

1 多層特斯拉線圈及其電路模型

本文制作的多層特斯拉線圈如圖1所示。線圈骨架為PVC管。低壓繞組只有一層,位于最外層,采用利茲線且非緊密纏繞。高壓繞組有7層,位于低壓繞組層內(nèi)。

(a) 實(shí)物圖

由上述結(jié)構(gòu)可知,多層特斯拉線圈各層之間均存在自感、互感,以及導(dǎo)線電阻;層與層之間存在電容。但高、低壓繞組之間,由于絕緣紙較厚,且低壓繞組匝數(shù)很少,因此高、低壓繞組之間的電容相對(duì)較小,本文忽略不計(jì)。當(dāng)不關(guān)心特斯拉線圈內(nèi)部電磁行為時(shí),可以用集中參數(shù)元件來近似表示上述分布參數(shù),由此得到如圖2所示的多層特斯拉線圈正弦穩(wěn)態(tài)電路模型。

圖2 多層特斯拉線圈正弦穩(wěn)態(tài)電路模型

根據(jù)纏繞工藝進(jìn)行合理簡(jiǎn)化,即均勻化。低壓繞組每層等效電阻為R1、等效電感為L(zhǎng)1;低壓繞組與高壓繞組每層之間的耦合系數(shù)均為k1、互感為M1。高壓繞組每層等效電阻均為R2、等效電感均為L(zhǎng)2,彼此之間的耦合系數(shù)均為k2、互感均為M2。上述參數(shù)的具體量值,可以通過計(jì)算或仿真來獲得,本文將在仿真分析中直接給出結(jié)果。

特斯拉線圈用于電能變換與傳輸時(shí),高壓繞組要接負(fù)載或另一特斯拉線圈的高壓繞組。但為了建立模型的等效電路,在分析時(shí)暫用電壓源置換負(fù)載,如圖2中的。

2 網(wǎng)孔電流方程的建立

由于模型中含有多個(gè)互感,宜使用以電流為變量的方法列寫方程。為使方程個(gè)數(shù)盡可能少,宜采用網(wǎng)孔電流法。但是,當(dāng)使用觀察法列寫網(wǎng)孔電流方程時(shí),由于存在諸多互感,網(wǎng)孔之間的互阻抗很容易被漏掉或重復(fù),或者發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤。使用矩陣運(yùn)算列寫網(wǎng)孔電流方程,則可避免這些問題,這是因?yàn)榉治稣咧恍韬?jiǎn)單地寫出網(wǎng)孔-支路關(guān)聯(lián)矩陣、支路阻抗矩陣和支路電壓源列向量,其余步驟都交給程序,按矩陣運(yùn)算來建立方程。

畫出圖2的網(wǎng)絡(luò)線圖,如圖3所示,它包含16條支路,8個(gè)網(wǎng)孔。因此網(wǎng)孔-支路關(guān)聯(lián)矩陣有8行16列,如式(1)所示。

圖3 電路模型(圖2)的網(wǎng)絡(luò)線圖

(1)

讓支路電壓和支路電流具有關(guān)聯(lián)的參考方向,它們的列向量分別記作

(2)

(3)

式中的Zb具有分塊矩陣形式:

(4)

其中左上角對(duì)應(yīng)電壓源支路和電感支路的分塊,是10行10列的對(duì)稱矩陣,如式(5)所示。對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)支路阻抗;非對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)支路之間的互感阻抗。即

(5)

對(duì)應(yīng)電容支路的右下角分塊是對(duì)角矩陣:

ZC=diag[ZC2,ZC2,ZC2,ZC2,ZC2,ZC2]

(6)

式中,ZC2=1/jωC2。

圖2中只有1、2支路含理想電壓源,因此支路電壓源列向量為,

(7)

再設(shè)待求的網(wǎng)孔電流列向量為,

(8)

根據(jù)KCL和KVL的網(wǎng)孔-支路關(guān)聯(lián)矩陣形式,不難得到用矩陣運(yùn)算表示的網(wǎng)孔電流方程[6]:

(9)

其中系數(shù)矩陣稱為網(wǎng)孔阻抗矩陣,記作DZbDT=Zm,它的非對(duì)角線元素便是網(wǎng)孔之間的互阻抗。

網(wǎng)孔電流可通過網(wǎng)孔阻抗矩陣的逆并用下式來求得:

(10)

求出網(wǎng)孔電流后,還可以繼續(xù)分析其他感興趣的問題,以此彰顯矩陣形式電路方程的數(shù)學(xué)推演優(yōu)勢(shì),為矩陣形式的電路方程找到應(yīng)用場(chǎng)景。選幾個(gè)方面示范如下。

3 網(wǎng)孔電流對(duì)電路參數(shù)的靈敏度

靈敏度反映了電路特性對(duì)電路參數(shù)變化的敏感程度,用偏導(dǎo)數(shù)表示。靈敏度分析是電路分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容[7-8]。使用矩陣形式的電路方程很容易計(jì)算各種靈敏度。

假設(shè)發(fā)生變化的參數(shù)是p(例如自感系數(shù)、耦合系數(shù)等),將網(wǎng)孔電流方程(9)對(duì)參數(shù)p求偏導(dǎo)數(shù)(矩陣對(duì)p的偏導(dǎo)數(shù),等于該矩陣各元素對(duì)p的偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣,只需告訴學(xué)生這一規(guī)則即可):

(11)

由上式求得網(wǎng)孔電流對(duì)參數(shù)p的靈敏度為,

(12)

4 二端口阻抗參數(shù)矩陣Z的計(jì)算

圖4 特斯拉線圈的二端口網(wǎng)絡(luò)模型

根據(jù)圖2,網(wǎng)孔1、2的網(wǎng)孔電流同時(shí)也是圖4的端口電流,因此二端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)方程可以表述成:

(13)

在方程(10)求解后,式(13)中電壓和電流都是已知量,待求的是阻抗矩陣的4個(gè)元素。但兩個(gè)方程不足以求出4個(gè)元素,為此,改變端口外接電壓源,計(jì)算改變后的端口電流。由于是線性電路,所以端口電壓與端口電流仍滿足阻抗參數(shù)方程:

(14)

聯(lián)立(13)和(14)便可求出阻抗參數(shù)矩陣元素。為便于使用計(jì)算機(jī)程序求解,以阻抗參數(shù)矩陣元素為待求量,將方程(13)和(14)合寫成如下形式:

(15)

簡(jiǎn)記為

(16)

據(jù)此求得由阻抗參數(shù)矩陣元素組成的列向量:

(17)

由Zp的計(jì)算結(jié)果得到圖4的T形等效電路,如圖5所示,圖中各阻抗分別為

圖5 特斯拉線圈的T形等效電路

(18)

5 阻抗參數(shù)矩陣對(duì)電路參數(shù)的靈敏度

由阻抗參數(shù)矩陣可以確定網(wǎng)絡(luò)的許多特性,因此分析阻抗參數(shù)矩陣的靈敏度,是分析其他特性靈敏度的基礎(chǔ)。

將式(16)兩邊對(duì)參數(shù)p求偏導(dǎo)數(shù)得

(19)

因此,由阻抗參數(shù)矩陣元素組成的列向量Zp對(duì)參數(shù)p的靈敏度可按下式計(jì)算:

(20)

6 有載電壓增益

在建立T形等效電路之后,將T形等效電路的端口2接入負(fù)載ZL,根據(jù)電路理論的米爾曼定理和分壓公式,便可獲得用等效電路參數(shù)表示的電壓增益解析表達(dá)式,結(jié)果如下:

(21)

(22)

此時(shí)電壓增益靈敏度可以通過網(wǎng)孔電流的靈敏度來得到:

(23)

7 仿真分析

7.1 網(wǎng)孔電流仿真

表1 網(wǎng)孔電流仿真結(jié)果

第1個(gè)網(wǎng)孔為低壓繞組網(wǎng)孔,繞組匝數(shù)最少,因此電流最大。

7.2 網(wǎng)孔電流對(duì)耦合系數(shù)的靈敏度仿真

將耦合系數(shù)k1視為發(fā)生微小變化的參數(shù)p。式(12)中支路阻抗矩陣Zb對(duì)k1的偏導(dǎo)數(shù)寫成分塊矩陣形式就是:

(24)

根據(jù)式(5)列出的子矩陣ZL,它對(duì)k1的偏導(dǎo)數(shù)矩陣為10行10列對(duì)稱矩陣:

(25)

另一子矩陣因?yàn)椴缓琸1,所以偏導(dǎo)數(shù)為零矩陣,即

(26)

表2 網(wǎng)孔電流對(duì)耦合系數(shù)k1靈敏度

網(wǎng)孔4、6、8為層間等效電容電流,靈敏度為0,表明這些電流不受耦合系數(shù)k1的影響。

7.3 阻抗參數(shù)矩陣及靈敏度仿真

從表1可知,端口電流為

(27)

因此,圖5所示的T形等效電路中各阻抗分別為

(28)

由式(20)計(jì)算阻抗參數(shù)矩陣對(duì)耦合系數(shù)k1的靈敏度,仿真結(jié)果如下:

(29)

可見?Z22/?k1=0,這是因?yàn)閆22是當(dāng)端口1開路時(shí),從端口2看進(jìn)去的等效阻抗,顯然與高、低壓繞組之間的耦合系數(shù)k1無關(guān)。仿真結(jié)果與客觀事實(shí)相符。

7.4 有載電壓增益及靈敏度仿真

特斯拉線圈在諧振時(shí)有很大的電壓增益,并且增益與負(fù)載阻抗有關(guān)。利用式(21)或(22)可以對(duì)增益的頻率特性進(jìn)行仿真。選擇5種純阻性負(fù)載,分別是20 kΩ、40 kΩ、60 kΩ、80 kΩ和100 kΩ,得到增益的幅頻特性,如圖6所示。隨著負(fù)載電阻的增加,電壓增益變得越來越陡峭,但峰值對(duì)應(yīng)的頻率基本不變,約為24.2 kHz。

圖6 有載電壓增益的幅頻特性

8 結(jié)語

將矩陣形式的電路方程應(yīng)用到特斯拉線圈分析中,可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)矩陣形式電路方程實(shí)用性的認(rèn)識(shí),并激發(fā)教師在科研中努力提煉教學(xué)案例,為抽象的電路理論內(nèi)容找到具體的應(yīng)用對(duì)象,做到學(xué)有所用。