有載二端口網(wǎng)絡(luò)幾何分析法及其應(yīng)用

陳希有 齊 琛 李冠林 牟憲民 陳建輝

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,大連 116023)

在電氣、電子工程中,很多問(wèn)題可以抽象成二端口網(wǎng)絡(luò)模型加以研究,例如濾波器、阻抗變換電路、PID調(diào)節(jié)電路、非接觸電能傳輸系統(tǒng)、選頻網(wǎng)絡(luò),等等。因此,二端口網(wǎng)絡(luò)的任何分析方法,都具有廣泛的應(yīng)用對(duì)象。解析分析法和數(shù)值分析法,是目前普遍采用的兩種方法。二者共同弊端是,當(dāng)某參量發(fā)生改變時(shí),難以直觀地看出二端口網(wǎng)絡(luò)的主要電氣量是如何聯(lián)動(dòng)變化的,這給預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)不便。解析幾何是一種借助于解析式進(jìn)行圖形研究的幾何學(xué)分支。它采用數(shù)值的方法來(lái)定義幾何形狀,并從中提取數(shù)值的信息。人類對(duì)事物的認(rèn)知特點(diǎn)是,習(xí)慣接受用圖形表達(dá)的信息,而費(fèi)解于用復(fù)雜公式和數(shù)據(jù)串表達(dá)的信息。據(jù)此,本文參照文獻(xiàn)[1],結(jié)合我國(guó)習(xí)慣,向讀者引介一種用復(fù)平面解析幾何原理,分析有載二端口網(wǎng)絡(luò)的方法。文中以等效負(fù)載阻抗模即|ZL|為自變量,通過(guò)一張平面圖形,便可獲得包括輸入電流、輸出電流與電壓、輸入功率、輸出功率,以及傳輸效率在內(nèi)的當(dāng)前信息和變化趨勢(shì)。該原理擴(kuò)展了二端口網(wǎng)絡(luò)的分析方法,并能促進(jìn)復(fù)變函數(shù)和解析幾何在電路分析中的應(yīng)用。

1 輸入電流及其映射軌跡

有載二端口網(wǎng)絡(luò)如圖1所示,其中負(fù)載復(fù)阻抗ZL=|ZL|ejφL。根據(jù)教科書(shū),二端口網(wǎng)絡(luò)傳輸參數(shù)方程用T矩陣表示為[2]

圖1 有載二端口網(wǎng)絡(luò)

(1)

圖1的輸入阻抗為

(2)

(3)

(4)

為了獲得上述系數(shù)的物理意義,再依次計(jì)算以下各量。

令式(4)中|ZL|→∞,得到輸出端口開(kāi)路時(shí),輸入端口電流為

(5)

再令式(4)中|ZL|=0,得到輸出端口短路時(shí),輸入端口電流為

(6)

上述電流之差為

(7)

在輸入電壓和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)一定的條件下,上述電流在復(fù)平面上有固定的長(zhǎng)度和方向。

根據(jù)方程(1),輸入端口處于短路狀態(tài)時(shí),從輸出端口看進(jìn)去的等效阻抗為

(8)

(9)

式中,

(10)

圖2 電流的映射軌跡及I2和U2的幾何讀取

(11)

利用弦長(zhǎng)和圓周角可以求出這個(gè)圓弧的半徑,結(jié)果是

(12)

2 I2與U2的幾何讀取

由傳輸參數(shù)方程求得輸出電流為

(13)

(14)

可見(jiàn),I2的大小正比如圖2中的線段l1。

由于U2=|ZL|I2,所以,為了能夠從線段長(zhǎng)度上得到U2的大小,需要尋找ZL與已知相量的關(guān)系。為此,由式(9)得

(15)

(16)

3 阻抗|ZL|和輸入功率P1的幾何讀取

如果已知I1,可以通過(guò)圖中線段的長(zhǎng)度,確定所需要的|ZL|,數(shù)學(xué)上相當(dāng)于求逆映射。根據(jù)式(12)和(16),將|ZL|寫(xiě)成

(17)

圖3 |ZL|和P1的幾何圖

(18)

再根據(jù)式(17)、(18),|ZL|可以用線段長(zhǎng)度表達(dá)如下:

(19)

(20)

4 輸出功率P2和傳輸效率η的幾何讀取

根據(jù)式(14)和式(16),輸出平均功率可以寫(xiě)成

(21)

由于圖4中ΔI1oI1I1s和ΔI1oa2I1有一個(gè)公共角即∠I1sI1oI1,并且∠I1oI1I1s與∠I1oa2I1相等(都等于弦切角∠I1sI1oI1),所以ΔI1oI1I1s∽ΔI1oa2I1,故

圖4 P2和η的幾何讀取

(22)

將式(8)、式(22)代入式(21)得,

(23)

根據(jù)輸出和輸入功率的讀取公式,即式(23)和式(20),得效率表達(dá)式為

(24)

(25)

(26)

將式(25)、式(26)代入式(24)得

(27)

(28)

圖4中存在相似直角三角形,即Δefh∽Δekc,因此

(29)

將式(29)代入式(28),結(jié)果再代入式(27)得

(30)

5 在非接觸電能傳輸系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

非接觸電能傳輸(Contactless Power Transmission,CPT),是指不通過(guò)導(dǎo)線或?qū)w連接,利用某種場(chǎng)或波,在一定距離內(nèi)實(shí)現(xiàn)電能的有效傳輸。

圖5 感應(yīng)耦合CPT系統(tǒng)簡(jiǎn)化電路模型

從電路模型上看,CPT系統(tǒng)可以抽象成有載二端口網(wǎng)絡(luò),如圖5所示。利用電路理論,可以很容易求出二端口網(wǎng)絡(luò)的某種參數(shù)方程。這樣,對(duì)CPT系統(tǒng)電氣性能的分析,就變成了對(duì)該有載二端口網(wǎng)絡(luò)的分析。

基于本文第2至4節(jié)的解析幾何分析原理,本文設(shè)計(jì)了“非接觸式電能傳輸系統(tǒng)的幾何分析法”軟件[4]。可以選擇四種阻抗補(bǔ)償結(jié)構(gòu),針對(duì)每種結(jié)構(gòu),都能用幾何圖形描繪出等效負(fù)載阻抗及其他元件參數(shù)變化時(shí),主要電氣量的聯(lián)動(dòng)變化趨勢(shì)。軟件設(shè)計(jì)了許多交互內(nèi)容,可以通過(guò)交互窗口設(shè)置元件參數(shù),幾何分析法軟件交互操作主窗口如圖6所示。

圖6 幾何分析法軟件交互操作主窗口

當(dāng)ZL設(shè)置為電阻(在CPT系統(tǒng)中總是希望得到電阻性負(fù)載),從初始的10 Ω,按照30 Ω的步進(jìn)量變到250 Ω,可以得到如圖7所示的圖像。由圖7可見(jiàn),隨著負(fù)載阻抗模的增大,輸入電流沿著圓弧逐漸上移,輸入電流值逐漸減小,輸出電流也逐漸減小,輸出電壓則逐漸增大;輸入有功功率先增大到一個(gè)最大值后,又很快下降;輸入無(wú)功功率逐漸減小,開(kāi)始減小得很快,之后較慢;輸入側(cè)功率因數(shù)角先減小后增大。

圖7 |ZL|步進(jìn)變化時(shí)CPT系統(tǒng)電氣量的聯(lián)動(dòng)變化

圖8 φL步進(jìn)變化時(shí)CPT系統(tǒng)電氣量的聯(lián)動(dòng)變化

6 結(jié)語(yǔ)

在電路分析中,除了使用各種解析法和數(shù)值法外,還可以有條件地使用包括解析幾何在內(nèi)的各種圖解法,這是因?yàn)榘凑乙?guī)律變化的電壓和電流,可以變換為復(fù)數(shù)的電壓相量和電流相量,這些相量都對(duì)應(yīng)著復(fù)平面的有向線段。當(dāng)電路某參量發(fā)生變化時(shí),這些相量就會(huì)隨之變化,即數(shù)學(xué)意義上的映射。根據(jù)映射的幾何圖形進(jìn)行分析,可以很直觀地看出各電氣量之間牽一發(fā)而動(dòng)全身的聯(lián)動(dòng)關(guān)系。這樣可以促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新,并促進(jìn)復(fù)變函數(shù)在電路分析中的應(yīng)用。