斜率為定值的弦中點軌跡方程問題

王玉慶

【摘要】斜率為定值的弦中點軌跡方程問題是圓錐曲線軌跡方程中一類經典的題型，常借助根與系數的關系、點差法、坐標轉換法來解答.

【關鍵詞】圓錐曲線；斜率為定值的弦中點

考查圓錐曲線中點軌跡方程的題型有很多種，本文以一道題為例，單獨討論斜率為定值的弦中點軌跡方程問題的三種常用方法.

題目? 已知橢圓x22+y2=1的弦AB所在的直線的斜率是2，求AB中點M的軌跡方程.

方法1? 借助根與系數的關系

在解析幾何中直線和曲線相交于兩點是最經典的題型，主要考查二次方程韋達定理的應用，其中韋達定理描述的是在一元n次方程中根與系數的關系[1].

解? 設弦所在的直線為y=2x+b，

由y=2x+b，x22+y2=1，

消去y，得到9x2+8bx+2b2－2=0，

Δ=8b2－4×9×2b2－2>0，

即b2<9，所以－3<b<3，

設點Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB的中點M（x，y），

則x1+x2=－8b9，所以x=x1+x29，

所以弦中點坐標滿足x=－4b9，y=2x+b，

消去參數b，得到中點M的軌跡方程為x+4y=0－43.

評析? 已知直線的斜率是2，很容易設出直線方程y=2x+b，然后聯立直線方程和圓錐曲線方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，再借助韋達定理和中點特征，即可求解.該題目借助根與系數的關系主要考查韋達定理的應用，一般解題框架是：

（1）將直線方程代入曲線方程；

（2）分析主要目標，合理轉化；

（3）代入韋達定理，整體求解.

方法2? 點差法

點差法是設出兩端點坐標，并分別代入圓錐曲線得到兩個方程后相減，得到弦中點坐標與弦所在直線斜率的關系，然后再求解.它的特點是巧代斜率，回避運算量較大的韋達定理[2].

解? 設點Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB中點Mx，y，

則x212+y21=1，①

x222+y22=1，②

①-②得x212+y21－y22=0，

即y1－y2x1－x2·y1+y2x1+x2=－12，③

因為x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1－y2x1－x2=2，

所以③式可化為2·y2，即x+4y=0.

解方程組x+4y=0，x22+y2=1，

得到直線x+4y=0和橢圓x22+y2=1的交點為－43，43，

所以所求點M的軌跡方程是

x+4y=0－43.

評析? 設端點Ax1，y1，Bx2，y2和中點Mx，y，將A，B坐標代入曲線方程，并將得到的兩個方程相減得到關于x1，y1，x2，y2的斜率表達式；再借助中點具有的特性，實現消去參數x1，y1，x2，y2，最終得到中點軌跡方程.

方法3? 坐標轉換法

坐標轉換法是從一種坐標系統變換到另一種坐標系統的過程.它的主要思想是將中點坐標Mx，y轉移到已知圓錐曲線上，考慮基本方法是引入參數t，u，設弦的端點Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，這樣，弦AB的中點Mx，y就轉移到圓錐曲線上，將A，B的坐標代入已知曲線方程中，得到關于t，u，x，y的關系式，再依據弦的已知性質，消去t，u就得到所求軌跡方程[3].

解? 弦AB的端點Ax+t，y+u，B（x－t，y－u），則弦AB的中點Mx，y，且KAB=ut，

因為Ax+t，y+u，Bx－t，y－u在橢圓曲線上，

所以x+t22+y+u2=1，①x－t22+y－u2=1，②

②-①整理得到u2y，又KAB=2，所以x+4y=0.

因為點M只能在橢圓內部，直線x+4y=0與橢圓相交于－43，43，

所以所求點M的軌跡方程是x+4y=0－43.

評析? 設弦兩端點坐標Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，則中點Mx，y即轉換到橢圓曲線上；將端點坐標代入已知橢圓方程中，兩式相減整理得到u2y，再借助已知斜率求解得到方程；最后結合中點只能在橢圓內部，得到交點坐標，最終整理得到完善的軌跡方程.

結語

雖然求解已知斜率動弦中點的軌跡方程難度較大，但是仔細分析已知條件，找到合適的方法，卻可以大大簡化運算量，提高解題速度.

參考文獻：

[1]韋興洲.圓錐曲線切點弦中點的軌跡方程＼.中學數學，2016（03）：66-67.

[2]俞世平.弦的中點軌跡方程＼.中學生數學，2020（17）：7-8.

[3]超龍.巧用參數法，求圓錐曲線弦中點的軌跡方程＼.語數外學習（高中版上旬），2020（12）：39.