高觀點下的高考數學試題探析

昝彩虹 廖家鋒

【摘? 要】? 微積分、矩陣、泰勒公式等高等數學內容已經明確列入高中選修課程中，在新課標的背景下，數學高考趨勢也在發生變化，深入分析高考題目，發現許多題目是以高等數學為背景來命制.從“高觀點”的視角來剖析高考題，高維度理解題目，方知命題思路.本文以2022年全國甲卷（理）第12題和新高考全國Ⅰ卷第7題為例，分析泰勒公式在高考題中的應用.

【關鍵詞】? 高觀點;高中數學;泰勒公式

1? 高觀點的內涵

高觀點是指利用高等數學中的知識、思想以及方法來分析初等數學的命題思路或者進行試題的理解與解決，又或者以高等數學為背景來命制初等數學題目.

2? 定理呈現

對于一般初等函數，設其在點處存在直至階導數，由這些導數構造一個次多項式，稱為函數在點處的泰勒多項式，的各項系數稱為泰勒系數[1].

3? 高考再現

例1? （全國甲卷（理）第12題）已知則（? ?）

（A）.? ?   ?（B）.? ? ?（C）.? ? ? （D）.

該題中學的常規解法是構造函數和不等式放縮，這兩種方法是本題的常規思路，對于學生來說思維難度大，短時間內求解有一定的難度.但從高觀點的角度來分析此題，運用泰勒公式進行求解，此題從高思維難度變為低思維的運算.

高觀點視角下分析此題，運用泰勒公式進行求解.

和的泰勒展開式分別是

，

這是“天然”的放縮不等式.

此題而言，（表示誤差），

則；

（表示誤差），

則；

從而得到.若在泰勒公式的背景下，此題難度大大降低，觀點高，落點低[2].

例2 （新高考全國Ⅰ卷第7題）設，則（? ?）

（A）.? ? ? ?（B）.? ? ? ?（C）.? ? （D）.

該題的中學常規解法是構造函數和比較法.例1已經闡述構造函數的難點，那么對于比較法而言，首先對進行變形，，然后作差再構造函數進行求解，即算和，從而得到三者之間的大小關系.該方法的難點在于學生要對進行合適的變形，而且要構造適合的函數，這兩個方面對學生的思維要求很高.

在泰勒公式背景下來分析，和的泰勒展開式分別為

，

.

對此題而言只需取其中三項即可，（表示誤差），

則；

；（表示誤差），

那么，

所以.

從上述兩道高考題中，發現若運用泰勒公式來解決這類比較大小的選擇題，可以大大降低題目難度.但因這不是嚴格的證明，所以是高效解決這類選擇題的方法.

4? 命題思路

以上述兩道高考題為例，為何題目中出現和，從何而來？該數不是任取，而是命題老師通過泰勒展開式計算而得到，該題命題思路就源于泰勒展開式.在高考題中證明不等式放縮的思路很多都來源于泰勒展開式.例、2020新高考Ⅰ卷21題的第（2）問，若，求的取值范圍.該題就是以和的泰勒展開式為背景，從而設計出一個求解參數的取值范圍的問題.

5? 課本溯源

有人認為用泰勒公式來解此題，屬于超綱內容，但事實并非如此.在2019年人教A版數學必修第一冊256頁第26題中介紹了和的泰勒展開式，得到，試用計算工具計算的值，并與上述結果比較.因此在教材中是有明確提出常用的泰勒公式.

6? 結語

新課標強調要加強中學與大學的銜接，并且教材上不管是課后習題還是閱讀材料也會出現高等數學的相關內容，高考題的命制一般會有大學教授的參與，因此很多高考題的命題思路和背景都與高等數學有關.泰勒展開式的應用不僅上述類型的題目，高考壓軸題中的命題思路很多都來源于泰勒展開式.

如今的高考不再以全面覆蓋知識為目的，側重考查各種能力，考查學生各種數學核心素養的發展，不追求知識的覆蓋面，而追求知識網絡的交匯點.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：髙等教育出版社，2013.

[2]白志鋒.評析高考數學試題中的高觀點題[J].數學通報，2002（08）：37-39.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：50-60.