導數與函數圖象

杜軍利

【摘? 要】? 本文從導數的實際意義、單調性、極值點三個角度出發，結合高考真題，闡述導數問題在高考中是如何考查的.通過針對性的甄別函數圖象的練習，提升我們對導數問題的進一步認識.

【關鍵詞】? 導數；單調性；極值點

導數是研究函數的性質與形態的一個強有力的工具，在解決函數的單調性問題，求函數的極值、最值問題時應用極為方便．而根據函數的以上性質我們很容易作出函數的簡圖．縱觀近幾年高考試題，各地高考試卷中對這方面的考查是層出不窮．

1? 導數的實際意義

導數反映了函數在定義域內每一點處的變化快慢程度．

例1? （2008全國卷Ⅰ）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖象可能是（詳情見圖1）（? ?）

分析? 汽車的行駛路程s是時間t的函數，在經歷啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，其行駛速度經歷由小變大，速度不變，由大變小的變化趨勢，由此結合圖象，選擇（A）．

2? 單調性的判斷

對于可導連續函數來說，在某一區間則函數在該區間單調遞減，反之，函數在該區間單調遞增．

例2? （2008山東卷）函數的圖象是（詳情見圖2）（? ?）

分析? 首先，可以判斷出所給函數是偶函數，所以排除（B）（D）．其次，所給函數的導函數，而在上所以在該區間上原函數單調遞增，同理，在上原函數單調遞減．所以選擇（A）．

3? 極值點的判斷

函數在某點處的導數值且在左右兩側的單調性相異，則是函數的極值點．反之，若只有則不是函數的極值點．

例3? （2006天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（詳情見圖3）（? ?）

（A）1個.? ? ? ? ? ?（B）2個.

（C）3個.? ? ? ? ?  （D）4個.

分析? 函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖3所示，可以看出在區間內，有三個變號零點，其中只有一個零點對應的函數值，左負右正，即函數在開區間內極小值點有且只有1個，故選（A）．

4? 針對性訓練

例4? 已知函數y=f（x），其導函數的圖象如圖4，則（? ?）

（A）在區間內遞減.? ? （B）在處取得最大值.

（C）在區間內遞減.? ? （D）在處取得最小值.

例5? 已知函數的圖象如圖5所示，那么（詳情見圖5）（? ?）

（A）.? ?（B）.

（C）.? ?（D）.

例6? 若函數的圖象的頂點在第四象限，則函數的圖象是（詳情見圖6）（? ?）

例7? （2007浙江卷）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（詳情見圖7）（? ?）

例8? （2005江西卷）已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），的圖象大致是（詳情見圖8）（? ?）

例9? （2008福建卷12）已知函數，的導函數的圖象如下圖，那，的圖象可能是（詳情見圖9）（? ?）

5? 結語

總之，近年來高考函數圖象題雖然變化很多，但不管怎么考，萬變不離其宗，都是通過函數圖象的“形”的特點，來間接考查函數的相關性質．綜合以上分析，這類問題的解題策略簡單地概括為：看圖象，運用導數，看函數性質（單調性、奇偶性、對稱性、極值、最值等）．靈活地運用這些解題策略，就能作出正確的判斷和選擇．