彈簧振子類試題數(shù)據(jù)設計的自洽性研究

何崇榮 張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第一中學 湖北 武漢 430300)

彈簧振子是高中階段的一個重要物理模型,借助該模型可以考查牛頓運動定律、動量和能量等高考主干知識.然而在命制彈簧振子類試題設計數(shù)據(jù)時容易想當然,造成數(shù)據(jù)不自洽.下面結合具體的兩個案例,分別給出單彈簧振子和雙彈簧振子類試題數(shù)據(jù)設計是否自洽的論證方法.

1 彈簧連一物體的單振子

【例1】如圖1(a)所示,在傾角為37°足夠長的粗糙斜面底端,一質量m=1 kg的滑塊壓縮著一輕彈簧且鎖定,但它們并不相連,滑塊可視為質點.t=0時解除鎖定,計算機通過傳感器描繪出滑塊的v-t圖像如圖1(b)所示,其中Oab段為曲線,bc段為直線,在t1=0.1 s時滑塊已上滑x=0.2 m的距離(取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).則( )

圖1 例1題圖

A．滑塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1

B．滑塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2

C．t=0.4 s時滑塊的速度大小為1.0 m/s

D．0～0.1 s內彈簧彈力做功4 J

解析：由題意可知,滑塊在t1=0.1 s時與彈簧分離,之后沿斜面向上做勻減速,根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

由圖1(b)可知

于是解得

μ=0.5

在0～0.1 s內,根據(jù)動能定理有

解得

W=4 J

滑塊沿斜面下滑過程,根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ-μmgcosθ=ma2

滑塊與彈簧分離后,沿斜面向上運動時間t3,則

vb=a1t3

t=0.4 s時滑塊的速度

v=a2(t-t3)

解得

v=2 m/s

所以正確選項為D.

疑問：題目給出的條件是否存在不自洽問題?

滑塊沿斜面向上的運動為簡諧運動,以平衡位置為原點,沿斜面向上為正方向,設t=0時滑塊距離彈簧原長處的距離為d,振幅為A,周期為T,則滑塊偏離平衡位置的位移

x=-Acosωt

速度

v=ωAsinωt

其中

t1=0.1 s時,滑塊位移

x1=-Acosωt1=d-A

(1)

滑塊速度

vb=ωAsinωt1

(2)

已知

d=0.2 mt1=0.1 s

vb=2 m/sT>0.1 s

可以求出A與ω,具體求解如下.

由式(1)得

將其代入式(2)得

(3)

物體在平衡位置時

mgsinθ+μmgcosθ=κx1=κ(d-A)

(4)

解得

代入數(shù)據(jù),結合T>0.1 s,利用式(3)由數(shù)值計算可得

ω=23.3 rad/s

此時A=0.118 m,μ=4.815,而根據(jù)圖1(b)中的bc段可得μ=0.5,兩者相矛盾,所以題目數(shù)據(jù)設計不自洽.

也可以通過圖1(b)中bc段的條件:t1=0.1 s時,vb=2 m/s;t2=0.2 s時,vc=1 m/s,來驗證0.1 s內物體運動距離d是否等于0.2 m,具體驗證如下:

設0.1～0.2 s內滑塊加速度大小為a,根據(jù)牛頓第二定律有

a=g(sinθ+μcosθ)=10 m/s2

(5)

聯(lián)立式(1)、(2)、(4)、(5)解得

(6)

(7)

代入數(shù)據(jù),結合T>0.1 s,利用式(6)由數(shù)值計算可得ω=18.35 rad/s,此時d=0.143 m.這與題目給出d=0.2 m相矛盾,說明數(shù)據(jù)設計不自洽.

改進方案：要么不用給出在t1=0.1 s時滑塊已上滑距離d(題目中用x表示)的值,就用字母表示,這樣計算0～0.1 s內彈簧彈力做功用d表示即可.或者通過已知t1=0.1 s時vb=2 m/s,t2=0.2 s時vc=1 m/s,這些條件計算出d的值,設置d=0.14 m,兩種處理都可以確保題目數(shù)據(jù)嚴謹自洽.

2 彈簧連兩物體的雙振子

【例2】(2022年高考全國乙卷)如圖2(a),一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接,靜止在光滑水平面上:物塊B向A運動,t=0時與彈簧接觸,到t=2t0時與彈簧分離,第一次碰撞結束,A、B的v-t圖像如圖2(b)所示.已知從t=0到t=t0時間內,物塊A運動的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運動的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達到的最高點與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ=0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內.求:

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù).

圖2 例2題圖

解析：略.

疑問：題目已知從t=0到t=t0時間內,物塊A運動的距離為0.36v0t0,這個數(shù)據(jù)的設計是否嚴謹?接下來我們作具體的研究.

設彈簧原長為l0,勁度系數(shù)為κ,A、B的質量分別為mA和mB,以B與彈簧接觸時的位置為坐標原點O,建立如圖3所示的一維坐標系.

圖3 光滑水平面上雙彈簧振子

解：對A,根據(jù)牛頓第二定律有

-F=-κ(xA-xB-l0)=mAaA

(8)

對B,根據(jù)牛頓第二定律有

F=κ(xA-xB-l0)=mBaB

(9)

分析A相對B的運動,A相對于B的位移

x=xA-xB

(10)

A相對于B的加速度

a=aA-aB

(11)

A相對于B的速度

v=vA-vB

聯(lián)立式(8)～(11)得

令

則

a=-ω2(x-l0)

所以A相對于B做簡諧運動

x-l0=Acos(ωt+φ)

v=-ωAsin(ωt+φ)

初始條件t=0時

x=l0v=-vB0<0

則

Acosφ=0 -ωAsinφ=-vB0

所以

vB0=ωA

v=-vB0cosωt

根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律有

mBvB0=mBvB+mAvA

A相對B的速度

v=vA-vB=-vB0cosωt

解得

由圖2(b)可知

T=4t0vB0=1.2v0

A、B分離時

vA=2v0vB=0.8v0

于是可得

mB=5m

vA=v0(1-cosωt)

從t=0到t=t0時間內,物塊A運動的距離為

所以題目設計A運動距離為0.36v0t0是很嚴謹?shù)?不存在數(shù)據(jù)不自洽.

上面推導兩物體運動規(guī)律時,采用學生容易接受的地面參考系來研究,推導出兩者間的相對運動為簡諧運動.我們也可以在系統(tǒng)質心系中研究兩物體的運動情況,這里不具體展開.

3 總結

我們在命制彈簧振子類試題設計數(shù)據(jù)時不能想當然,要根據(jù)動力學方程得出物體的運動規(guī)律,然后恰當?shù)卦O計數(shù)據(jù).如果涉及的動力學方程求解比較困難,可以借助數(shù)學軟件進行數(shù)值求解或模擬.這種方法對于其他問題數(shù)據(jù)設計也是適用的,比如機車啟動問題、含彈簧系統(tǒng)的能量問題、電磁感應中動力學及能量問題等等.