不等量異種點電荷電場的數字化研究

高嘉麟

(中山市龍山中學 廣東 中山 528400)

1 問題的提出

在高中物理中,有一道考查不等量異種點電荷電場的題目.

【例題】如圖1(a)所示,Q1、Q2為兩個固定點電荷,其中Q1帶正電,它們連線的延長線上有a、b兩點．一帶正電的試探電荷以一定的初速度沿直線從b點開始經a點向遠處運動,其速度-時間圖像如圖1(b)所示．則下列說法正確的是( )

圖1 例題題圖

A．在Q1、Q2之間放置一個點電荷,該點電荷可能處于平衡狀態

B．從b到a場強逐漸減小,且a點場強為零

C．b點右側電勢逐漸升高

D．在Q1左側的連線延長線上存在場強為零的點

分析：根據題目條件,不難判斷出Q2一定帶負電,且電荷量Q1>Q2．由點電荷電場線的特點之一——電場線從無限遠出發,終止于負電荷,學生容易誤認為存在一條電場線從無限遠經a、b兩點指向Q2,從而誤選C．本題正確選項為B．在高中物理教科書中,給出了等量異種點電荷的電場線分布,但鮮有涉及不等量異種點電荷電場的性質,特別是兩點電荷連線延長線上電勢與電場強度的變化情況．于是,我們運用Mathematica軟件,數值分析一對不等量異種點電荷的電勢與電場強度在空間中的分布情況,直觀了解其電場的特點．

2 不等量異種點電荷電勢的空間分布

設空間中存在兩個不等量異種電荷,電荷量分別為Q1與-Q2,且Q1>Q2>0,它們相距2個單位長度．建立空間直角坐標系,正電荷Q1坐標為(-1,0,0),負電荷Q2坐標為(1,0,0)．根據點電荷電勢的計算公式,空間中一點(x,y,z)的電勢可表示為

(1)

為方便運算,我們做無量綱化處理,取kQ1=2,kQ2=1．首先研究兩個點電荷連線上電勢的分布,如圖2所示．圖3為連線上負電荷附近的U-x圖像,從圖3可以看出,在負電荷右側,電勢先升高后降低．

圖2 不等量異種點電荷連線上U-x圖像

圖3 連線上負電荷附近的U-x圖像

進一步研究不等量異種點電荷在xOy平面內的等勢線分布(圖8),以及在三維空間內的等勢面形狀(圖4)．可以直觀地看出,對應的零等勢面是一個球面[1-2],而U=0.3的等勢面則像一個“癟了的球面”．

圖4 三維空間等勢面分布圖

3 不等量異種點電荷電場強度的空間分布

電場強度等于電勢的負梯度,可以計算電場強度在空間直角坐標系的3個分量[3]分別為

(2)

圖5 不等量異種點電荷電場強度大小分布圖

圖6 連線上正電荷左側電場強度大小E-x圖像

圖7 連線上負電荷右側電場強度大小E-x圖像

圖8 xOy平面內等勢線分布及電場強度方向

圖9 xOy平面內電場線分布

4 結束語

研究不等量異種點電荷的電場特點,特別是兩點電荷連線上電勢和電場強度的變化規律具有實際應用意義．通過Mathematica軟件繪制U-x圖像、三維等勢面圖像、E-x圖像以及電場強度矢量圖,可以直觀清晰地了解其分布特點．通過數值計算,可以準確找到電場強度零點的位置．本文的研究方法可以推廣到其他模型的電場．這也凸顯了科學計算工具在高中物理教學研究中的重要作用．