例談桿球問題中機械能守恒的判定*

譚小虎 李秋明 韓小雪 馬 穎

(廣州大學物理與材料科學學院 廣東 廣州 510006)

機械能守恒定律是高中物理的重要內容,課標明確要求學生要理解機械能守恒定律,能用機械能守恒定律分析生產生活中的有關問題[1].

桿球問題是高中物理教學中常見的習題類型,該模型中桿的彈力是否做功無法直觀判斷,導致學生在判定桿球系統機械能是否守恒時存在一定的困難.此外,在桿球問題的處理中,常常會默認桿球系統機械能守恒,而后對其他問題進行求解[2],并不從學生對機械能守恒條件的基本認識出發,對系統機械能是否守恒展開討論并予以嚴謹證明.綜上,桿球問題在一定程度上成了學生學習和理解機械能及其守恒定律的障礙.

本文以兩個典型的桿球問題為例,針對常見的桿球問題情境,先運用剛體力學知識對問題進行分析和研究[2],明確問題情境中各個力做功的情況,據此判定桿球系統機械能守恒,而后嘗試從高中物理的角度給予嚴謹證明,深化學生對機械能守恒定律和桿球問題的理解.

1 機械能守恒的條件

在慣性參考系中,質點系所受外力做的功與系統內非保守力做的功的總和等于質點系機械能的增量[3],即當質點系所受外力和非保守內力做功為零時,其機械能的增量為零,此時機械能守恒,因此明確何種力為非保守力是判定機械能是否守恒的基礎.為了可以簡易地判斷常見的力是否為非保守力,趙凱華編著的《新概念物理教程:力學》[4]給出了保守力的一些充分條件:

(1)對于一維運動,位置x單值函數的力是保守力,例如服從胡克定律的彈性力;

(2)對于一維以上的運動,大小和方向都與位置無關的力是保守力,例如重力;

(3)凡是有心力都是保守力.

普通高中物理教科書中關于機械能守恒有如下敘述,在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能與勢能可以相互轉化,而總的機械能保持不變[5].

綜上,本文研究對象是一個不包含彈簧的桿球系統,該系統機械能守恒的條件可以認為是只有重力做功.下文將以此條件作為機械能守恒的判定依據.

2 桿球問題中機械能守恒的判定

【例1】如圖1所示,長為2L的質量不計的輕桿,一端與O點鉸接,輕桿可繞著O點在豎直平面內無摩擦轉動,桿的中點和另一端均固定有質量為m的可視為質點的小球,將桿分為L1和L2兩部分.現將桿拉至水平位置并無初速度釋放,忽略空氣阻力.問:從輕桿開始下擺到下擺至豎直位置的過程中,輕桿和小球組成的系統機械能是否守恒?

圖1 例1示意圖

在下擺的過程中,若輕桿對小球的彈力方向始終沿桿,一直與小球速度方向垂直,則輕桿彈力不做功,桿球系統中只有重力做功,該系統機械能守恒.但輕桿彈力是否沿桿還有待分析.

在高中階段,認為帶有鉸鏈的可以在一定范圍內自由轉動的輕桿,其彈力方向一般沿桿[6].顯然,圖1中輕桿的轉動并不完全自由,L1桿的運動除受鉸鏈約束外,還受到小球和L2桿的約束,同樣,L2桿也受到了L1桿和小球的約束,若僅僅因為L1桿鉸接于O點便認定L1桿和L2桿彈力的方向均沿桿,未免過于牽強.下面,將分別從剛體力學和高中物理兩個角度對上述問題展開分析.

(1)剛體力學角度分析

桿球系統的轉動慣量為

J=mL2+m(2L)2=5mL2

(1)

設某時刻,輕桿與小球已經下擺了θ的角度,此時系統的角加速度為α,由轉動定律得到此時的角加速度

mgLcosθ+mg·2Lcosθ=5mL2α

(2)

(3)

擺角θ的取值范圍為0～90°,可知α>0,兩小球處于加速的狀態.

由于不確定兩桿彈力方向是否沿桿,即不確定兩桿彈力是否存在切向分量,故假設L1桿對球1存在切向彈力F1,L2桿對球1和球2存在切向彈力分別為F2和F3.其中L2桿質量不計,可認為它不具有加速度而處于受力平衡狀態,因此假設F2和F3方向相反、大小相等,即

F2=F3

(4)

系統所受切向力的示意圖如圖2所示,其中3個切向彈力的方向均為假設.

圖2 例1切向受力示意圖

設球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,兩球正在加速,因此它們的切向加速度均垂直于輕桿向下.結合式(3)對球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1-F2=ma1=

(5)

mgcosθ+F3=ma2=m·2Lα=

(6)

聯立式(4)～(6)得

(7)

3個切向彈力均為正值,可知圖2中切向彈力方向假設正確.

由圖2可知,F1和F2始終與球1運動方向相反,F3始終與球2運動方向相同.設3個切向彈力在此運動過程中的總功為W,該總功計算如下

(8)

可見輕桿切向彈力對兩球所做的總功為零,即在此過程系統中只有重力做功,該系統機械能守恒.

(2)高中物理角度分析

設某時刻,桿球系統下擺了θ的角度,其中θ為微小角度,可得桿球系統在此過程中處于加速的狀態,即兩球此時的切向加速度均垂直于輕桿向下.

設球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,利用微元法對a1和a2的大小關系展開分析,兩球做圓周運動的過程中,球2線速度大小始終是球1線速度大小的兩倍,在極短時間內,可認為兩球均做勻加速直線運動,得到

a2=2a1

(9)

切向受力示意圖如圖2所示,其中3個切向彈力的方向均為假設.

為分析3個切向彈力之間的關系,將L1桿和L2桿視為整體進行分析.忽略它們的質量,可知它們不具有加速度,因此它們在小球切向彈力的作用下處于杠桿平衡狀態,由杠桿平衡原理及牛頓第三定律可得

(F1+F2)L=F3·2L

(10)

聯立式(4)和式(10)得

F1=F2=F3

(11)

對球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1-F2=ma1

(12)

mgcosθ+F3=ma2

(13)

聯立式(9)、(11)、(12)、(13)得

(14)

由于θ的取值范圍為0～90°,可知cosθ>0,即3個切向彈力均為正值,圖2中切向彈力方向假設正確.

觀察圖2可知,F1和F2始終與球1的運動方向相反,F3始終與球2運動方向相同.利用微元法展開分析,以Δs表示球1在極短時間內的位移,則球2的位移為2Δs,設3個切向彈力在極短時間內的總功為W,該總功計算如下

W=-F1Δs-F2Δs+F3·2Δs=

(15)

在極短時間內,輕桿切向彈力對兩球所做總功為零,由微元法可知在運動全過程中輕桿切向彈力的總功也為零,系統中只有重力做功,該系統機械能守恒.

【例2】如圖3所示,質量不計的直角形支架兩端分別連接著可視為質點的質量為m和2m的小球1和2,支架的兩直角邊長度分別為2L和L,支架可繞著O點在豎直平面內無摩擦轉動,開始時,長度為2L的直角邊位于水平位置,由靜止釋放,忽略空氣阻力.問:從支架開始轉動到轉動90°的過程中,支架與小球組成的系統機械能是否守恒?

圖3 例2示意圖

(1)剛體力學角度分析

支架與小球組成的系統的轉動慣量為

J=m(2L)2+2mL2=6mL2

(16)

設某時刻,系統已經下擺了θ的角度,此時系統的角加速度為α,由轉動定律得到此時的角加速度

mg·2Lcosθ-2mgLsinθ=6mL2α

(17)

(18)

假設支架施加給球1的切向彈力為F1,施加給球2的切向彈力為F2.切向受力示意圖如圖4所示,其中切向彈力的方向均為假設.

圖4 例2切向受力示意圖

設球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,對球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1=ma1=

(19)

F2-2mgsinθ=2ma2=

(20)

由式(19)和式(20)得

(21)

(22)

由于θ的取值范圍為0～90°,得兩個切向彈力均為正值,圖4切向彈力方向假設正確.

由圖4可知,F1始終與球1的運動方向相反,F2始終與球2運動方向相同.設兩個切向彈力在此運動過程中的總功為W,總功的計算如下

(23)

可見支架切向彈力對兩小球所做的總功為零,即在此過程系統中只有重力做功,該系統機械能守恒.

(2)高中物理角度分析

設某時刻,支架與小球已經下擺了θ的角度,其中θ為微小角度,可得桿球系統在此過程中處于加速的狀態,即兩球此時的切向加速度均垂直于輕桿向下.

以a1和a2分別表示球1和球2的切向加速度.利用微元法對a1和a2的大小關系展開分析,兩球做圓周運動的過程中,球1線速度大小始終是球2線速度大小的兩倍,在極短的時間內,可認為兩球做勻加速直線運動,可得

a1=2a2

(24)

切向受力示意圖如圖4所示,切向彈力的方向均為假設.對球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1=ma1

(25)

F2-2mgsinθ=2ma2

(26)

聯立式(25)和式(26)得

F1+F2=mg(cosθ+2sinθ)

(27)

為分析兩個切向彈力之間的關系,隔離支架進行分析.忽略支架質量,可知它不具有加速度,因此它在小球切向彈力作用下處于杠桿平衡狀態,由杠桿平衡原理及牛頓第三定律可得

F1·2L=F2L

(28)

聯立式(27)和式(28)可得

(29)

(30)

由于θ的取值范圍為0～90°,得兩個切向彈力均為正值,圖4切向彈力方向假設正確.

由圖4可知,F1始終與球1的運動方向相反,F2始終與球2運動方向相同.利用微元法展開分析,以2Δs表示球1在極短時間內的位移,則球2的位移為Δs,設兩個切向彈力在極短時間內的總功為W,總功計算如下

W=-F1·2Δs+F2Δs=

(31)

可見在極短時間內,支架切向彈力對兩小球所做總功為零,由微元法可知在運動全過程中支架切向彈力的總功也為零,系統中只有重力做功,該系統機械能守恒.

誠然,在學生經歷除機械能以外的諸如電能、內能等其他形式能量知識的學習以后,他們能夠判斷本文的桿球情境中不存在非機械能的能量轉化,可從能量守恒的角度直接判定系統機械能守恒,但桿球系統機械能守恒的判定問題不應留待后期解決.高中物理教學中的每一階段都有其階段性的教學和培養目標,桿球問題出現在學生只掌握牛頓運動定律和機械能相關知識的階段,教師就應當從學生的現有知識基礎出發尋求合適的教學思路.

3 結束語

本文先運用基礎較好的學生能夠理解的剛體力學知識分析、解決桿球系統中機械能守恒的判定問題,雖然剛體力學角度的分析難度較大,但為高中物理角度分析的展開提供了思路.而后從所有學生的知識基礎出發,從高中物理的角度重新分析并解決桿球系統中機械能守恒的判定問題,整個分析過程僅使用微元法、杠桿平衡原理和牛頓運動定律等知識,比較適合高中教學,有利于鞏固學生已學知識,培養科學思維.希望本文的分析過程能夠為桿球問題的教學提供一定的參考.