A4紙的學問

文／趙維坤

今天，我們來研究A4 紙中蘊藏的數學知識。A4 紙的形狀是長方形，其核心問題是長與寬之間的數量關系。長與寬的和是半周長，長與寬的積是面積，而長與寬的比值是我們今天要研究的對象。

用目測的方法估算A4 紙長與寬的比值是最常用的方法，但可能誤差較大。既然“看”不行，那就“量”和“算”，利用刻度尺，度量A4 紙的長與寬，并計算長與寬的比值，結果精確到0.001。

通過計算，我們發現得到的比值在1.414 附近，從而引發猜想：A4 紙長與寬的比可能是。雖是無理數，卻是一個準確值，要驗證這一猜想，顯然度量的方法已不再適合，因此，我們需要另辟蹊徑。

我們可以通過折紙的方式進行驗證，將A4 紙按圖1方式折疊，易知△ABE為等腰直角三角形。設AB=1，則有BE=。再折疊，如圖2 所示，發現折痕BE與BC恰好重合，從而說明A4紙的長是。

圖1

圖2

利用研究A4 紙的經驗，我們發現，A3 紙與A4 紙具有相同的規律：長與寬的比都是，即形狀相同，大小不同。實際上，將A3 紙沿著長邊的中垂線對折，折疊后的圖形就是A4紙。

其實，保持A3、A4 紙相同的長寬比，我們可以等比例地放縮打印的文檔或圖片，這樣的設計可以為工作和生活提供很大的便利。但為何設計的是這個比值，而不是其他比值呢？

這樣，我們就需要研究其他的A型紙。

反過來，兩張A6 紙拼成了一張A5 紙，兩張A5 紙又拼成了一張A4紙，以此類推，還可以拼出A3、A2、A1紙，最終拼出A0紙。

事實上，工廠生產紙張便是通過不斷切割A 型紙較長對邊中線，逐步得到各類A 型紙。這樣的設計可以最大限度地節約資源，避免邊角料的浪費。

通過查閱A 型紙國際標準尺寸表（如表1），這張初始的A0 紙的長與寬為何設置成這樣的數值呢？通過計算兩者的乘積：1189×841=999949mm2，改用m2做單位后，發現原來A0紙的面積大約是1m2。

表1

生活中常見的紙除了A 型紙，還有B 型紙和K 型紙，它們的長與寬的比值還是嗎？如果不是，又具有什么樣的關系呢？同學們可以自己嘗試著探索。