2023年全國高考數學甲卷理科導數題解法探究

蔣依格 馬紹文

(云南師范大學,云南 昆明 650504)

高考導數含參問題壓軸題是一個經典的問題,文章具體闡述應用不同思想方法來解答2023年全國高考數學甲卷理科導數壓軸題,旨在為高中數學一線教師提供教學參考.

1 試題呈現

(1)當a=8時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

2 試題解析

2.1 第(1)問解法探索

分析第(1)問是求函數的單調性.解決此類問題一般利用導數求單調區間,或者利用換元簡化計算再求單調區間.

對f(x)求導并化簡,得

令f′(x)>0,則2cos2x-1>0.

令f′(x)<0,則2cos2x-1<0.

解數學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這種方法就是換元法.換元法在導數中有很好的運用,很多復雜的導數問題需要用到換元法[1].

對f(x)求導并化簡,得

又因為sin2x=1-cos2x,

2.2 第(2)問解法探索

分析第(2)問主要考查含參不等式恒成立時參數的取值范圍.解決此類問題本質就是解含參不等式,而解不等式通常是先研究對應的方程的根,因此圍繞f′(x)根的分布,結合函數圖象自然就產生了分類討論的標準.討論時要注意分類需不重不漏,對參數的所有可能取值都要討論到,對應結論相同時參數范圍要合并.整個解題過程充分體現了分類與整合數學思想方法的應用,也體現了函數與方程、化歸與轉化及數形結合的思想方法在解題中的應用.

令cos2x=t,t∈(0,1),化簡得,

又因為t∈(0,1),所以只需判斷分子的正負.

令c(t)=2t3+t-3,求導得

c′(t)=6t2+1>0.

則c(t)在(0,1)上單調遞增,c(t)min=c(0)=-3;c(t)max=c(1)=0,c(t)∈(-3,0),c(t)<0.

則u′(t)<0,可得u(t)在(0,1)上單調遞減.

因為u(1)=3,所以u(t)>u(1)=3.

所以f(x)>sin2x(0

綜上,若f(x)

點評移項構造函數是一個常規方法,本題中對構造的函數h(x)=f(x)-sin2x求導判斷其單調性,在求導的過程中較為繁瑣,需要不斷構造新的函數,最后結合函數圖象進行分類討論,在討論中采用反證法排除a>3的情況,即可得到a的取值范圍為a≤3.

對F(x)求導,得

得F′(0)=a-3<0,解得a<3.

現判斷a=3時,f(x)

令cos2x=t,t∈(0,1),得

故a=3時,f(x)

綜上,若f(x)

函數是整個高中數學的一條主線,導數是研究函數的有力工具,“函數與導數”又是高考數學的重要內容之一,故筆者立足于2023年全國高考數學甲卷理科導數壓軸題,研究其解題方法,希望給予師生啟發.數學考試的特點體現了數學研究對象的特點,而高考數學試題具有概念性強、充滿思辨、量化突出、解法多樣等顯著特點.“解法多樣”就是通常說的一題多解,它有利于考生發揮各自的特點,靈活解答,真正顯現水平.因此,教師在教學過程中應幫助學生從不同角度進行觀察和分析,引導學生抓住條件和結論之間的聯系,進而開拓學生的解題思路,激發其解題興趣,提升其發散思維能力.