用非常規方法巧解平衡問題

周 春

(江蘇省揚州中學,江蘇 揚州 225009)

1 用拉密定理巧解平衡問題

拉密定理內容為:如果在共點的同一平面內的三個力作用下,物體處于平衡狀態,那么各力的大小分別與另兩個力夾角的正弦成正比,如圖1,其表達式為:

圖1 拉密定理圖示圖2 例1題圖

例1 用三根輕繩將質量為m的物塊懸掛在空中,如圖2所示.已知繩ac和bc與豎直方向的夾角分別為45°和60°,則繩ac和繩bc中的拉力大小分別為( ).

答案:B.

本題也可用正弦定理、正交分解法求解,但顯然用拉密定理更為直接[1].

2 用三力匯交原理巧解平衡問題

一個物體受到三個力作用而處于平衡狀態,如果三個力不平行,則這三個力的作用線一定交于一點,通常稱為三力匯交原理.遇到三力以上的平衡問題,有時也可把某幾個力先合成,再用該結論解題[2].

例2兩平行直桿豎直放置,間距為d,一質量分布不均勻的繩子的長度大于d,兩端分別系在兩桿上,系結點位于同一水平線上,如圖3所示.已知系結處繩子與直桿之間的夾角分別為θ1和θ2,試求繩子重心到兩桿的垂直距離.

堅持早中晚三巡塘制度，尤其是臺風、暴雨、連續陰雨等極端天氣，更應全天候堅持巡塘，觀察魚池水質變化及魚的活動情況，發現問題及時采取處置措施。通常采用的魚病防治方法有潑灑法、懸掛法和內服法。堅持定期潑灑藥物，按時掛簍掛袋，間隔投喂藥餌，防治結合，嚴格管控，堅決杜絕病害發生。一般每間隔15～20d，全池潑灑氯制劑一次，魚病高發時期每間隔15d用出血寧、五黃粉等藥物拌餌或制成藥餌投喂，用量一般為投餌量的0.5%左右。同時打掃好池塘衛生，及時清除殘餌及池中雜物，漁具使用后應放在陽光下曝曬，并藥浴消毒，保持池塘環境衛生，消除治病因子。

圖3 例2題圖圖4 例2受力分析示意圖

3 用摩擦角巧解平衡問題

設兩接觸面間的靜摩擦因數為μ,則φ=arctanμ叫做摩擦角.如果可近似認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,則靜摩擦因數近似等于動摩擦因數.如圖5,摩擦角的幾何意義是:當兩接觸面間的靜摩擦力達到最大值時,最大靜摩擦力與支持力的合力R和接觸面法線間的夾角即為摩擦角.如圖6,設有物體A置于支撐面B上,B對A的支持力為N,B對A的摩擦力為f,顯然當N、f的合力R與法線的夾角α≤φ時,靜摩擦力不會超過最大靜摩擦力,則A、B之間不會發生相對滑動.

圖5 摩擦角圖示1圖6 摩擦角圖示2

例3 如圖7所示,長為l、質量為m的均勻桿一端支撐在豎直墻上,另一端由輕線吊著,線長等于桿長,墻與桿之間的動摩擦因數μ=0.3,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力.問:當角α在多大的情況下桿將處于平衡狀態?

圖7 例3題圖圖8 例3受力分析示意圖

4 用輔助圓巧解平衡問題

圓是十分對稱的數學圖形,它有很多特殊的數學規律,如果在平衡問題中隱含圓的相關規律,可以借助輔助圓,解題可能十分方便.

圖9 例4題圖

例4如圖9所示裝置,OQ桿豎直,OP桿水平,AC、BC兩根輕繩拉住一球,其中AC繩水平,現保持兩細繩間的夾角不變,若把整個裝置順時針緩慢轉過90°,則在轉動過程中,設AC繩的拉力為F1,BC繩的拉力為F2,下列說法中不正確的是( ).

A.F1先減小后增大

B.F1先增大后減小

C.F2逐漸減小

D.F2最終變為零

答案:A.

5 用微元法巧解平衡問題

微元法是分析、解決物理問題的常用方法,也是從部分到整體的思維方法.用該方法可以幫助我們用熟悉的物理規律迅速地加以解決一些復雜的物理問題,使所求的問題簡單化.在使用微元法處理問題時,需將整體分解為眾多微小的小段,這樣,我們只需分析這些微元,然后再將微元進行必要的數學方法或物理思想處理,進而使問題求解.

6 用力矩平衡巧解平衡問題

力矩表示力對物體作用時所產生的轉動效應的物理量,力與力臂(即轉軸到力的作用線之間的距離)的乘積稱為力矩M.我們知道,共點力作用下物體的平衡條件為F合=0,而一般物體的平衡條件則為F合=0且M合=0.

例6 如圖10所示,一光滑大圓環固定在豎直平面內,環上套著兩個小球A和B,A、B間由輕繩連接著,它們處于圖中所示位置時恰好都能保持靜止狀態.此情況下,B球與環中心O處于同一水平面上,A、B間的細繩呈伸直狀態,與水平線成30°夾角.已知B球的質量為m,求A球的質量是多少?

圖10 例6題圖圖11 例6受力分析示意圖

解析本題用力矩平衡解則更加簡便.對小球A、B及輕繩整體分析,受到重力mAg、mBg、大圓環對兩球的支持力NA、NB,如圖11所示.選圓心O為轉軸,由于NA、NB的力臂均為零,故二者力矩均為零,根據力矩平衡的條件M合=0,可得mAgRcos60°=mBgR,很方便地可以解得mA=2m,顯然比從F合=0角度解題簡便得多.

7 用虛功原理巧解平衡問題

在某給定瞬間,質點或質點系為約束所允許的無限小的位移稱為質點或質點系的虛位移,力在虛位移上做的功稱為虛功.一個原為靜止的質點系,如果約束是理想雙面定常約束,則系統繼續保持靜止的條件是所有作用于該系統的主動力對作用點的虛位移所作的功的和為零,這稱為虛功原理,有的參考書上稱為“元功法”.

圖12 例7題圖

例7 如圖12,質量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩,穿過半徑為R的滑輪,繩的兩端吊在天花板的兩個釘子上,兩釘間距離為2R.滑輪軸上掛一重物,重物與滑輪總質量為M,且相互間無摩擦.求繩上最低點C處的張力.

總而言之,雖然以上方法不是很常用,但在遇到用常規方法難以解決的平衡問題時,可以靈活選用合適的非常規方法求解,這對訓練學生的思維、拓寬學生的視野、加深對物理的理解也大有裨益.