解析幾何之“三定”問題解題策略的探究

李俊麗

(山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué),山西 臨汾 041000)

圓錐曲線一直是考查解析幾何知識的重要載體,縱觀近幾年的高考試題,圓錐曲線的大題較多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,題目的設(shè)計常常緊扣解析幾何研究的兩條主線:一是根據(jù)條件利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;二是以不同曲線與直線的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計題目,結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)進(jìn)一步研究直線方程、斜率、弦長、圖形面積等,比如“中點(diǎn)弦”問題、定點(diǎn)、定值、定直線問題、范圍與最值問題、探索性問題等.

1 題型與方法探究

1.1 點(diǎn)在定直線上的問題

(1) 求C的方程;

(2) 記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2, 過點(diǎn) (-4,0) 的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限, 直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明: 點(diǎn)P在定直線上.

所以b2=c2-a2=16.

(2)方法1 (通性通法)由題意可知直線MN不與y軸垂直,設(shè)直線MN的方程為x=my-4,M(x1,y1),N(x2,y2),

(4m2-1)y2-32my+48=0.

其判別式Δ=32(8m2+6)>0,

由A1(-2,0),A2(2,0),得

兩式聯(lián)立消去y,得

由M,N,(-4,0)三點(diǎn)共線得

化簡,得(t1-t2)(t1t2+3)=0,t1≠t2.

所以t1t2=-3.

所以kMA1=-3kNA2.

1.2 直線過定點(diǎn)的問題

(1)求E的方程;

成品：發(fā)酵液體飼料需要保證的有益指標(biāo)包括pH值、乳酸、乳酸菌，需要控制的有害指標(biāo)包括乙酸、尸胺、大腸桿菌、沙門氏菌。劉金萍等[14]研究表明，為了減少或者限制飼料中的沙門氏菌，有必要維持乳酸濃度為300 mol/l，維持適當(dāng)?shù)膒H值（pH值≤4.5）。覃春富等[15]研究指出，通過氣味和觀察色澤可以判斷液體飼料各階段的發(fā)酵效果（見表4）。

②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時,設(shè)直線MN方程為y+2=k(x-1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

(3k2+4)x2-6(k2+2k)x+3k2+12k=0.

其判別式Δ>0,

所以直線HN方程為

將點(diǎn)(0,-2)代入化簡得6(y1+y2)+3y1·y2-2(x1+x2)-(x1·y2+x2·y1)+12=0.

①

綜上可得直線HN過定點(diǎn)(0,-2).

1.3 定值問題

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,點(diǎn)D為垂足．證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值．

x2+4x+2y2+4y=0.

設(shè)直線MN的方程為mx+ny=4,

x2+x(mx+ny)+2y2+y(mx+ny)=0.

即(1+m)x2+(2+n)y2+(m+n)xy=0.

代入直線MN方程中得n(y-x)-3x-4=0.

2 總結(jié)反思

2.1 對解析幾何“三定”問題解法的思考

解析幾何解答題中的“三定”問題,是一類高考常考題型,這類題目的核心解題方法是“坐標(biāo)法”.解題過程一般是設(shè)出直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立消元合理變形,利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換求解.另外,還可以利用平移坐標(biāo)系法、巧設(shè)曲線系方程或參數(shù)方程求解,方法靈活,綜合性強(qiáng).這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、方程、整體代換的思想,主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、推理論證、運(yùn)算求解能力.

2.2 對解析幾何問題教學(xué)的思考

2.2.1重視基礎(chǔ),深化核心知識教學(xué)

解析幾何問題思維量和運(yùn)算量大,在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)堅持把教學(xué)重心放在對關(guān)鍵能力提升、學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展具有支撐作用的基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想方法上,要引導(dǎo)學(xué)生在深刻理解基本概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,弄清知識的來龍去脈,把握知識的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建整體知識體系.

2.2.2注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和能力的培養(yǎng)

解析幾何問題的綜合性很強(qiáng),在復(fù)習(xí)的過程中要注重數(shù)形結(jié)合、整體代換、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提升其數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象方面的學(xué)科核心素養(yǎng).