模型意識在求解三角形最值(范圍)問題中的應用

林厚棟

(福清融城中學,福建 福州 350300)

解三角形中的最值(范圍)問題往往與平面解析幾何、三角函數、導數、基本不等式等相關知識加以交匯與融合,充分體現了新課標中“在知識的交匯處命題”的指導思想.此類問題較全面地考查學生的識別模型的能力、化歸與轉化能力以及運算求解能力等.破解此類問題的關鍵是要基于問題情境,依托圖形特征或目標問題導向,樹立模型意識,并以模型為導向,結合正余弦定理實施合理轉化,進而構建出具體的模型實現問題的求解.

1 策略剖析

解三角形本質上是在三角形內蘊方程(三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊)的基礎上,把試題設定的條件(方程)與內蘊方程建立起聯系,從而得到三角形的全部或者部分度量關系.而度量關系的形成,就需要對已知條件進行深度加工或對圖形中隱藏的內蘊特征進行挖掘,把情境問題模型化,以利于順利求解問題.解三角形中有關的最值(范圍)問題常見的解題路徑是: 直觀感知(直觀數式和直觀幾何圖形特征)、識別模式(建立已知和未知之間的聯系)、引入變量(邊或角)、建立模型、問題求解.

解三角形中的最值(范圍)問題,最根本的落腳點是樹立模型化思想,模型化思想的內涵包含函數模型的建立或者隱形的軌跡方程模型的確認,軌跡模型常有圓、橢圓、雙曲線等.在運用動點的軌跡方程模型中,首先要通過觀察發現三角形的邊與邊之間的數量關系,進而借助平面幾何的相關知識以及圖形的直觀意識,利用數形結合思想,直觀感知其軌跡方程中的圖形特征,借助化歸轉化等思想快速地實現問題的求解.

2 應用賞析

(1)寫出函數解析式S(x);

(2)求S(x)的最小值.

(2)由(1)知,

評注本題中以角為變量,利用正弦定理以及三角形的面積公式建立目標函數S(x)模型,通過三角恒等變換,求得函數S(x)的最值,并注意結合具體的圖形特征限制變量的取值范圍.

解法1設BC=x,則AC=2x,由面積公式得

①

根據余弦定理得

將其代入①式得

化簡可得(x-3)2+y2=8.

故點C的軌跡是一個圓(x-3)2+y2=8(y≠0).

圖1 解法2圖

解析由題知,sinB=-cosC>0.

解析設CD=2BD=2x>0,在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=x2+4+2x,

同理AC2=4x2+4-4x,

評注例3涉及的最值問題求解是基于構建以角為變量的函數模型,依托二倍角公式,并結合正弦定理的轉化,巧妙而簡明地利用基本不等式來確定對應的最值問題,回歸解三角形本質,使問題的求解變得自然順暢.例4問題中呈現的三角形給出了一條邊上一個三等分點到頂點的長度和一個特殊角,但這些條件是無法確定原三角形的大小和形狀的.因此就要求在理解三角形變化的過程中,依托已知條件CD=2BD,并結合問題目標,選取邊BD作為基本變量,以兩個三角形為載體,運用余弦定理,把問題轉化成函數的最值問題.

正如波利亞在《怎樣解題》中所提到的:沒有任何一道題是徹底完成了的,總會有些事情可以做[1].只有將立足模型與立意思想兩者交相融合,才能使問題的解決和素養的發展齊頭并進,才能將數學問題解答得更加“揮灑自如、甄于完美”,使學生對數學問題的本質理解得更加透徹,對問題中所蘊含的數學思想領悟得更加深刻,學生的思維品質亦能得到更好的發展,基礎知識得以進一步夯實,關鍵能力從中也得到顯著提高,最終促使學生數學核心素養真正落地.