從表征到深層理解 從思維到方法建構
——多視角破解幾何體體積問題

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校,陜西 漢中 723102)

立體幾何初步知識教學以從整體到局部、從具體到抽象為原則,培養學生的空間想象和數學運算能力.解決立體幾何體積問題,可將立體圖形轉化至平面圖形分析,借助學過的幾何法、坐標或者向量等數學工具尋找解題方向,從而解決問題.文章以近五年高考試題和模擬試題為例,從公式法、等體積法、分割法、補形法、函數法和向量法等幾個方面進行歸納分析,有利于幾何體體積問題中知識與方法的系統構建.

1 試題引入

題目(2021年全國乙卷數學文科18)如圖1,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM．

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

圖1 2021年全國乙卷數學文科第18題圖

2 第(2)問解法探析

解法2(平面直角坐標系視角)由(1)知AM⊥DB,所以kAM·kBD=-1．

圖2 平面直角坐標系視角圖

圖3 空間直角坐標系視角圖

又PD⊥底面ABCD,AM在平面ABCD內,

評注本題破題關鍵是求出矩形ABCD的邊長BC,解法1利用相似三角形求出矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法2建立平面直角坐標系,利用直線垂直的條件得到矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法3直接利用空間直角坐標系和空間向量的垂直的坐標運算求得矩形的邊長;解法4利用空間向量轉化求得矩形的邊長,所有解法中解法3最為簡捷,可見空間向量法在解決立體幾何問題中的優越性;解法5直接利用四點向量定理結論得出BC長度,此定理在解決線線角、線面角和二面角問題都有優越性,需要有足夠的知識儲備[1].

3 求體積問題方法歸納與例析

3.1 直接公式法

解法1 (體積公式視角)如圖4,由題意可知點P在平面ABC上的投影在∠BAC的角平分線AD上,記作O,即OP為三棱錐P—ABC的高.

圖4 例1解法1示意圖

評注本題考查三棱柱的幾何特征和體積,考查了基本分析求解能力.往年高考以直接考查公式的試題居多,比如2021年甲卷11題,全國Ⅱ卷第5題,2020年海南卷第13題,2018年全國Ⅰ卷第18題,天津卷文科第11題,2017年全國Ⅰ卷文科第18題,新高考Ⅱ卷文科18題.

3.2 等體積法

評注直接求體積不好求,可以轉變角度利用等體積法,等體積法常常解決點到平面的距離問題,是文科常考查的方法.

3.3 分割法

圖5 分割成正四面體圖圖6 例1解法4圖

例1解法4(對稱平分視角)如圖6,取BC中點D,連接PD,AD,則BC⊥PD,BC⊥PD.

所以BC⊥平面APD.

即△PAD為直角三角形.

評注根據對題中幾何體幾何特征的分析,解法3將分割出以a為棱長的正四面體,根據底面面積之比得出體積,解法4根據三棱錐的幾何特征,將三棱錐平分,剛好截面垂直棱,從而利用分割思想解決問題.

例2(2018年江蘇卷第10題)如圖7所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為____．

圖7 2018年江蘇卷第10題圖

評注解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的結構特征,可以判斷所求幾何體可以分割為兩個全等四棱錐,割補法求幾何體體積是比較常規的方法,比如多面體切割成錐體特別是三棱錐,需要有整體與局部結構的意識.

3.4 補形法

例1解法5(補成正四面體視角)延長AP到Q使得AQ=2a,連接QB,QC,則三棱錐Q—ABC是以2a為棱長的正四面體.可知點Q到平面ABC的距離是點P到平面ABC距離的2倍,則

評注解法5相當于是對解法3的一種優化處理,計算更加簡單.割補本來屬于同一個思想,分割是向內視角,補全是向外視角,但是大多數時候學生都是分割處理,向外的視角不易想到,為了強化此種意識,將割補分為兩類進行歸納總結.

例3(2019年Ⅰ卷理12題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

解法1 因為PA=PB=PC,△ABC為邊長為2的等邊三角形,所以P-ABC為正三棱錐.

所以PB⊥AC.

又E,F分別為PA,AB中點,

所以EF∥PB.所以EF⊥AC.

又EF⊥CE,CE∩AC=C,

所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC.

因為△ABC為邊長為2的等邊三角形.

又AB=BC=AC=2,

所以PA,PB,PC兩兩垂直.

評注本題考查學生的空間想象能力,可通過線面垂直定理,得到三條棱兩兩互相垂直的關系,進而得到側棱長,利用補全圖形法解決問題.求體積問題有時并非只考查一種方法,有可能公式法和等體積法以及割補法同時考查,需要綜合分析解決問題.常見的補全圖形比如正六邊形放在正方形中,將三棱柱補成平行六面體,三棱錐補成四棱錐或三棱柱或平行六面體,將圓錐放在圓柱體等熟悉的圖形中,從而利用整體和全局意識解決問題.

3.5 函數法

例4(2017年全國Ⅰ卷理16題)如圖8,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊△ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為____．

圖8 2017年全國Ⅰ卷理科第16題圖

解法1 連接OD交BC與點G,設D,E,F重合于點S,正三角形的邊長為x(x>0),則

則三棱錐的體積為

設f(x)=25x4-10x5,則f′(x)=100x3-50x4.令f′(x)=0,得x=0(舍)或x=2.

評注利用函數思想,確定函數變量,構造函數求立體幾何中的最值問題,特別是利用導函數求取最值,是一次精彩的綜合交匯.一般思路是首先要理清數量關系,然后將圖形和文字轉化為數學語言,建立函數模型,最后通過函數求其最值.

3.6 向量法

例5(2021年新高考Ⅰ卷第20題)如圖9,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

圖9 2021年新高考Ⅰ卷第20題圖圖10 例5解法1示意圖

解法1 (坐標向量視角)如圖10所示,以O為坐標原點,OA為z軸,OD為y軸,過點O垂直于OD的直線為x軸,建立空間直角坐標系O-xyz.

圖11 例15解法2示意圖

解法3 (二面角的平面角視角2)如圖12所示,EG⊥BD,垂足為點G．作GF⊥BC,垂足為點F,連接EF,則OA∥EG．

因為OA⊥平面BCD,所以EG⊥平面BCD,∠EFG為二面角E-BC-D的平面角．

因為∠EFG=45°,所以EG=FG．

由已知得OB=OD=1,故OB=OC=1．

圖12 例15解法3示意圖

解法4 (三正(余)弦定理視角)如圖9記∠EBD=α,∠EBC-β,∠DBC=30°,記二面角E-BC-D=θ．據題意,得θ=45°．對β使用三余弦定理公式,可得cosβ=cosα·cos30°.

①

使用三正弦定理公式,可得sinβsinθ=sinα.

②

評注本題的破題關鍵是求出OA長度,解法1通過建立空間直角坐標系將幾何問題代數化,體現向量的實用價值;解法2作為通性通法找到二面角的平面角,然后對幾何體的幾何特征進行研究;解法3對解法2對了優化,在本題中屬于比較好的方法;解法4中三正(余)弦定理是兩個優美的數學公式,在解題過程中如果使用得當會變得更加簡單[2].

當然解決此類問題的方法遠不止于此,還有平移法、相似比法、祖暅原理法和積分法等.建構主義認為,學生的學習從簡單階段出發,通過逐步滲透,創造出復雜規則或者高級規則的目的是為了解決一個或一類實際問題,然后進入結構化階段,將離散的圖式變得連續起來,再然后進入遷移階段,達到更為抽象的思維水平,呈現出豐富性、特殊性和發展性的特點.通過認知分析,找到合適的方法,甚至在不同的方法中進行對比分析,將其形成解決此類問題的解題思維體系,會解一類問題即能深層次理解題意,利用結構化思維解決問題.