非等譜的導數非線性薛定諤方程的雙Wronskian解

林清芳,李 琪

(東華理工大學理學院,330013,南昌)

0 引言

非均勻介質中帶導數的非線性薛定諤方程模型可由非等譜發展方程描述[1-2],該模型在離子體、非線性光學和空間凝聚態物理領域具有廣泛的應用,正是在現實需求下,求解非等譜的導數非線性薛定諤方程十分有意義。文獻[3]將反散射變換運用于非線性導數薛定諤方程。范恩貴由聯系廣義Kaup-Newell 譜問題導出DNLSI、DNLSII、DNLSIII方程,以及這些方程的統一式Kundu 方程[4],并通過達布變換導出一個非線性Schr?dinger方程的孤子解[5]。翟雯[6]運用Hirota方法求得了廣義帶導數的非線性Schr?dinger方程的精確解。寧同科[7]基于文獻[8-9]的Wronskian技巧解得了非等譜sine-Gorden方程,非等譜非線性Schr?dinger方程的雙Wronskian解。Zhao等[10]求解了非等譜AKNS方程的孤子解并對該方程進行了非局域約化,進而得到約化后方程的孤子解。Li等[11]利用Hirota方法導出了一類具有導數的一般非線性薛定諤方程的多孤子解。本文是運用Wronskian技巧求解文獻[12]導出的非等譜的導數非線性薛定諤方程,并將求解得到的雙Wronskian解與文獻[12]所求解的孤子解進行一致性檢驗。

本文將考慮一個廣義非等譜的導數非線性薛定諤方程[12]如下:

(1)

其所對應的譜問題:

(2)

時間發展式為:

(3)

其中,q=q(t,x),r=r(t,x)位勢函數,λ為譜參數,與x無關。

1 方程(1)的孤子解

作變量替換[1,6,11]

(4)

雙線性導數形式可化為:

設f(t,x),g(t,x),s(t,x)與h(t,x)是關于參數ε的級數,

(5)

已知[12],取ε=1,則單孤子解為:

(6)

雙孤子解為:

(7)

2 方程(1)的雙Wronskian解

定理:雙線性導數方程(5)有雙Wronskian解:

(8)

其中,φj(x,t),ψj(x,t)滿足條件:

φj,x=kj(t)φj,φj,t=2xφj,xx+αφj,x,ψj,x=-kj(t)ψj,ψj,t=-2xψj,xx-βψj,x,

(9)

對φj,t,ψj,t進行對x求l(行數)階偏導,則應有:

(10)

證明:1)計算雙Wronskian行列式f,g,s,h對x的導數,得:

2)依據式(10)、(11)計算出雙Wronskian行列式f,g,s,h對t的導數,得:

將f,g,s,h及對x,t的導數代回雙線性形式5(a)中,并且有恒等式:

(11)

由行列式的性質:

①設aj(j=1,2,…,N)是N維列向量,γj≠0(j=1,2,…,N)是N個實常數,則

(12)

其中γaj(γ1a1,j,γ2a2,j,…,γNaN,j)T。

②設D為N×(N-2)矩陣,a,b與c都是N維列向量,則:

|D,a,b||D,c,d|-|D,a,c||D,b,d|+|D,a,d||D,b,c|=0.

(13)

根據恒等式(12),及行列式的性質(13)、(14)對式5(a)進行化簡得:

根據引理,因此式5(a)進一步有:

同理可得,雙Wronskian 解(9)滿足式5(b)。

類似地,將f,g,s,h及對x,t的導數代回雙線性形式5(c),根據行列式性質(13)、(14)及恒等式:

(14)

式5(c)化簡為:

又根據引理,式5(c)進一步得:

同理,雙Wronskian 解(9)滿足5(d)。

綜上,雙Wronskian行列式滿足雙線性導數形式,所以:

(15)

3 解的兩種表示的一致性

(16)

當N=2,M=2時,類似有k3=-l1,k4=-l2,此時計算f2,g2,s2,h2,并將其帶入(4),取:

(17)

該解與(8)對比,兩解形式一致。

故猜想當N=M時,Hirota形式的N-孤子解與雙Wronskian解是一致的。

4 結束語

本文在運用Hirota方法求解非等譜的導數非線性薛定諤方程得到N-孤子解的基礎上,采用Wronskian行列式技巧,進一步得到了該方程的雙Wronskian解,并探討了Hirota方法和Wronskian行列式表示解的一致性。在后續的研究工作中,將對該方程進行雙Wronskian解約化,導出Matveev解、Complexiton 解、混合解等更多其他形式解,及研究方程的對稱與無窮守恒律。