基于強混偏差樣本的各向異性回歸函數小波估計的相合性分析

陳 佳

(四川文理學院 數學學院,四川 達州 635000)

0 引言

設{(Xi,Yi),i=1,2,…,n}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的同分布隨機變量,其密度函數為:

(1)

x∈[0,1]d

(2)

1 各向異性小波理論和Besov空間

tτx=(tτ1x1,…,tτdxd);tτc=(tc)τ

定義指標集:

定義:

(3)

(4)

構成L2(Rd)的一組標準各向異性小波正交基,因此對任意的f∈L2(Rd)

(5)

(i)f∈Lp(Rd),

備注1:此定理蘊含著

(6)

假設回歸函數r(x)屬于H>0的Besov球,即

2 各向異性小波估計量

對模型給出一些假設,構造小波估計器,給出樣本強混的定義。

定義2[12]:設{Xi,i∈Z}是嚴平穩的隨機向量序列

對模型給出一些假設:

H1:存在常數c1>0,使得infh(x)≥c1,x∈[0,1]d

H2:ρ滿足ρ∈L(Rd)∩L∞(Rd)。

H3:對任意(x,y)∈[0,1]d×R,存在常數0

H4:序列{(Xi,Yi),i=1,…,n}的強混系數滿足α(k)≤λe-c4k,其中λ>0,c4>0。

H5:設f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)為(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(k≥1)的密度函數,f(X1,Y1)為(X1,Y1)的密度函數,存在常數c5>0,使得?(x,y,x′,y′)∈[0,1]d×R×[0,1]d×R。

其中,hk(x,y,x′,y′)=f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(x,y,x′,y′)-f(X1,Y1)(x,y)f(X1,Y1)(x′,y′)。

給出回歸函數r(x)的小波估計量:

(7)

其中:

(8)

(9)

由H1～H3可知定義是明確的,此估計量是r(x)的一個無偏估計,從引理2可得到證實。

=αjτ;k

另一方面:

Φjτ;k(x)f(x,y)dxdy=αjτ;k

為證明主要結論,還需引用以下引理,其詳細證明可參考文獻[10]。

3 主要結果

主要結果及相應證明如下:

證明:易知

(10)

只需估計式右側的隨機項和偏差項,先估計偏差項,利用Holder不等式和(θ)條:

根據式(6),當n→∞時,j→∞,則:

(11)

根據Φjτ;k的緊支性和(θ)條件可得:

注意到|Λjτ|～2|jτ|,利用引理5可得:

(12)

結合定理得證。

備注2:從定理的結論可以看到,當1≤p≤2空間為各向同性時(即s1=s2=…=sd=s),則s(d)=s與各向同性空間中的結果一致[7]。

4 結束語

小波獨特的局部時頻分析功能能夠描述各向異性的Besov空間。小波方法被廣泛應用于回歸函數的估計問題,針對強混條件下帶噪聲各向異性回歸估計模型,在各向異性Besov空間中構造了線性小波估計器,討論估計器在Lp(1≤p<∞)風險意義下的相合性,為各向異性Besov空間研究回歸函數的估計提供了理論指導。