模型觀念下分析圖形結(jié)構(gòu),探尋解題路徑
——2023年溫州中考數(shù)學(xué)卷第24題解法探究與啟示

林 依, 易良斌

(1.杭州市澎揚(yáng)中學(xué),浙江 杭州 310015;2.杭州市上城區(qū)教育學(xué)院,浙江 杭州 310009)

在初中階段的數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中,中考數(shù)學(xué)試題發(fā)揮著特殊而又重要的作用.2023年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考命題堅(jiān)持素養(yǎng)立意,凸顯育人導(dǎo)向,正確反映新時(shí)代數(shù)學(xué)教育改革和學(xué)生發(fā)展的需要,考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法.其中第24題以圓為主圖,輔以相切的直角三角形為圖形背景,利用不同基礎(chǔ)模型有效尋得解題途徑,考查學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)及其原型

圖1

圖2

1)求CE的長(zhǎng)和y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

2)當(dāng)PH

(2023年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題第24題)

試題原型來自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(九年級(jí)下冊(cè))第43頁(yè)課后作業(yè)題第5題:

例2如圖3,DB為半圓的直徑,A為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AC切半圓于點(diǎn)E,BC⊥AC于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)F.已知AC=12,BC=9.求AO的長(zhǎng).

圖3

例2利用相切結(jié)合半圓與直角三角形兩個(gè)基本圖形,考查學(xué)生通過添加半徑,構(gòu)造相似圖形這一基礎(chǔ)模型的能力,并獲得比例式進(jìn)行求解計(jì)算.

例1在例2的基礎(chǔ)上,以同樣的幾何圖形為背景,進(jìn)一步拓展延伸,綜合考查了圓、直角三角形、相似三角形、直線與圓相切的概念、性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律,以及圖中部分線段長(zhǎng)度之間的函數(shù)關(guān)系.該題涉及分類思想、方程思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想,主要考查學(xué)生的推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、模型觀念等核心素養(yǎng)[1].

相較于第1)和第2)小題,第3)小題是該試題的難點(diǎn).學(xué)生容易理解NQ與PH之間的變量依存關(guān)系,但在求MN的長(zhǎng)度時(shí)需要探究變化過程中的不變量.學(xué)生往往會(huì)將“不變量”聯(lián)想到具體數(shù)值上,卻忽視了“不變量”也可能體現(xiàn)在確定的圖形中,而利用輔助線探究圖形的特殊性也是學(xué)生的薄弱點(diǎn).

2 解法探究

以圓和直角三角形為背景圖形的幾何問題可通過添加輔助線建立基本模型來形成解題思路.

模型1半弦直角構(gòu)建垂徑定理基本模型.

在圓內(nèi)與弦有關(guān)的問題,可以構(gòu)造弦心距、弦的一半和半徑所形成的直角三角形,如圖4所示.

圖4

方法1如圖5,聯(lián)結(jié)OQ,作OR⊥MQ于點(diǎn)R,可知RO=PH=x.

在Rt△APH中,HP∶AH∶AP=3∶4∶5(在前面小題的解答中已求得),且PH=x,可得

因?yàn)樗倪呅蜛PMC為平行四邊形,所以

MP=CA=1.

在Rt△ROQ中,

RQ2+RO2=OQ2,

從而

解得

故

評(píng)注NQ是半圓O的弦的一部分,PH的長(zhǎng)度等于弦心距,由此考慮構(gòu)造半徑、弦心距和弦的一半所形成的直角三角形的基本模型,尋得NQ與PH的數(shù)量關(guān)系,通過線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)換,順利解題.

模型2圓內(nèi)接直角三角形和直角三角形斜邊高模型.

圓內(nèi)出現(xiàn)直徑,可構(gòu)建直徑所對(duì)的圓周角,從而構(gòu)造直角三角形,如圖6所示.在直角三角形中構(gòu)造斜邊上的高線也是常見的基本模型,如圖7所示,從中也可提取許多關(guān)于線段和角的數(shù)量關(guān)系.

圖6

方法2如圖8,聯(lián)結(jié)AQ,BQ,作QG⊥AB于點(diǎn)G,可知

圖8

QG=PH=x,

在Rt△APH中,

即

由于AB是直徑,可知

∠AQB=∠QGB=90° ,

從而

于是

進(jìn)而

即

故

評(píng)注將線段PQ的長(zhǎng)度下移到線段AB上,利用直徑AB構(gòu)造Rt△ABQ,同時(shí)構(gòu)造斜邊AB上的高線QG,利用其中的相似三角形獲得等角、成比例線段等幾何關(guān)系,最終在線段AB上尋得含x的等量關(guān)系.

模型3雙平模型和12345模型[2].

圖9

方法3如圖8,聯(lián)結(jié)AQ,BQ,作QG⊥AB于點(diǎn)G,可知

QG=PH=x.

在Rt△APH中,

則△APQ是等腰三角形.由MN∥AB,可得

∠PAQ=∠PQA=∠QAB,

即AQ是∠PAB的平分線.在Rt△APH中,

HP∶AH∶AP=3∶4∶5,

根據(jù)12345模型可知

后續(xù)同方法2,略.

模型4利用半徑等腰三角形和菱形.

圓上的弦(非直徑)與弦的兩個(gè)端點(diǎn)和圓心連成的兩條半徑可以構(gòu)成等腰三角形,如圖11所示.菱形也可以看作由兩個(gè)等腰三角形拼接而成,如圖12所示.

圖11

方法4如圖13,聯(lián)結(jié)AQ,OQ,可知AO=OQ,延續(xù)方法3中證得的等角,得

圖13

∠PAQ=∠PQA=∠QAB=∠AQO,

從而

OQ∥AP,

于是四邊形AOQP是菱形,故

AP=AO,

即

解得

故

評(píng)注在方法3中發(fā)現(xiàn)△APQ為等腰三角形,且半徑AO是∠QAB一邊上的一部分,可以利用半徑AO在等腰△APQ的下方構(gòu)造半徑等腰三角形的基本模型.同時(shí),等腰△APQ和等腰△AOQ共用邊AQ,且PQ∥AO,因此可證得菱形AOQP.如此,可利用菱形的鄰邊相等獲得含x的最簡(jiǎn)等量關(guān)系.

模型5垂徑模型和等腰三角形兩腰高線模型.

如圖14所示是垂徑定理及其逆定理的基本模型,如圖15所示是等腰三角形兩腰上的高線相等的基本模型.

圖14

方法5如圖16,聯(lián)結(jié)AQ,OQ,其中OQ交BF于點(diǎn)R,聯(lián)結(jié)QB,作QG⊥AB于點(diǎn)G,可知

圖16

QG=PH=x.

由方法3,得

∠PAQ=∠PQA=∠QAB,

由垂徑定理可知

OQ⊥FB,

從而

因?yàn)镺Q=OB,即△OBQ是等腰三角形,且QG和BR是兩腰上的高,所以

QG=BR,

即

因此

3 教學(xué)啟示

通過上述的解題思考,對(duì)于日常教學(xué)有以下啟示.

3.1 熟悉基礎(chǔ)模型,熟練運(yùn)用模型

在日常教學(xué)中,教師需要幫助學(xué)生熟悉基本圖形的常用基礎(chǔ)模型.以圓為例,常見模型有垂徑定理模型、圓半徑所構(gòu)成的等腰三角形、弦心距所在的直角三角形等[3].在解決以圓為背景的幾何問題中,可以嘗試套用上述的常用模型,有助于尋找解題思路.

3.2 分析復(fù)雜圖形,剝離基礎(chǔ)模型

幾何問題的復(fù)雜性往往是多個(gè)基礎(chǔ)圖形疊加而成的,而學(xué)生不善于對(duì)其進(jìn)行剝離,從而產(chǎn)生解題障礙.教師在日常的教學(xué)中要注重對(duì)圖形的構(gòu)成過程進(jìn)行分析,引導(dǎo)學(xué)生快速識(shí)別其中的基礎(chǔ)圖形,從而能夠在復(fù)雜圖形中剝離出基礎(chǔ)模型.

3.3 善于添加輔助線,構(gòu)造基礎(chǔ)模型

在解決較復(fù)雜的幾何問題時(shí),有時(shí)需要輔助線的神來之筆.輔助線的添加往往能夠構(gòu)造出解題所需的基礎(chǔ)模型.在日常的教學(xué)中,需關(guān)注學(xué)生添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)積累,有助于學(xué)生在實(shí)際解題中產(chǎn)生合理聯(lián)想,快速找到解題思路.

3.4 注重問題關(guān)聯(lián),發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

幾何問題是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的有效載體,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Α⒅庇^想象能力、分析和解決問題的能力有著不可替代的作用.特別是推理能力的培養(yǎng),需要借助適切的典型試題.借助問題變式,聯(lián)結(jié)方法,打通一類問題,讓學(xué)生的認(rèn)知更加全面且深刻.因此,在平時(shí)的教學(xué)中,教師要專注問題關(guān)聯(lián),探索解法的自然生成,從而有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).