挖掘試題育人價(jià)值 發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)
——以“黃金分割”為例

李 卓

(杭州市開元中學(xué),浙江 杭州 310008)

幾何直觀素養(yǎng)的形成與發(fā)展有助于提升學(xué)生運(yùn)用圖形描述、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力.初中階段圖形與幾何領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上,從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理;強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究圖形;強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合,用代數(shù)方法研究圖形.由此可見,初中階段對(duì)于學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的要求很高.幾何直觀素養(yǎng)與推理能力、空間想象能力等其他核心素養(yǎng)之間具備整體性的協(xié)同發(fā)展特征,聯(lián)系緊密.本文通過分析黃金分割試題,闡述如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖形的本質(zhì)特征,從圖形特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá),提升復(fù)習(xí)課的整體性和高效性.

1 黃金分割及其學(xué)習(xí)價(jià)值

黃金分割被稱為“最美麗”的幾何比率,被廣泛應(yīng)用于建筑、繪畫、雕刻等領(lǐng)域.不同版本的教材均設(shè)置了黃金分割的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容,如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(八年級(jí)下冊(cè))中設(shè)置了“黃金比和建筑”相關(guān)內(nèi)容,浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(九年級(jí)上冊(cè))中設(shè)置了“建筑中的美與黃金分割”等內(nèi)容[1].

黃金分割的美內(nèi)蘊(yùn)于其發(fā)現(xiàn)的背景圖形,同時(shí)外化為具有類似數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的生物空間[2].數(shù)學(xué)中有許多具有黃金比的幾何圖形,如黃金三角形、黃金矩形等.黃金三角形是具備特殊角的等腰三角形,一類是頂角為36°的等腰三角形,它的底邊與腰之比為黃金比;另一類是頂角為108°的等腰三角形,它的腰與底邊之比為黃金比.黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比滿足黃金比.黃金圖形因具有良好的圖形結(jié)構(gòu)和線段比例,在主題學(xué)習(xí)中經(jīng)常被采用.

初中階段主要以平面幾何圖形為研究對(duì)象,學(xué)生需學(xué)習(xí)幾何圖形自身固有的性質(zhì)和圖形之間的關(guān)系,即研究構(gòu)成幾何圖形的要素之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系中的不變規(guī)律以及探索不同圖形之間的聯(lián)系(如圖1).

圖1

黃金分割不僅是研究線段之間的比例關(guān)系,還可以在相似三角形、特殊平行四邊形、圓等幾何圖形中研究相等關(guān)系和相似關(guān)系等.通過研究復(fù)雜圖形中的黃金分割,可以將零散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來,有效整合數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,準(zhǔn)確把握學(xué)科核心內(nèi)容和核心任務(wù)[3],提升學(xué)科核心素養(yǎng).

2 數(shù)學(xué)試題中“黃金分割”的呈現(xiàn)形式及特征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)提出,義務(wù)教育階段的學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)要求以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體,在形成與發(fā)展“四基”的過程中發(fā)展抽象能力、幾何直觀、推理能力等核心素養(yǎng),從學(xué)生熟悉的生活與社會(huì)情境,以及符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中,經(jīng)歷“三會(huì)”的完整過程,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運(yùn)用、實(shí)踐探索活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累.正因?yàn)槿绱?以黃金分割為背景的試題也在中考中屢見不鮮.

筆者以近幾年杭州數(shù)學(xué)中考中以黃金分割為背景的試題進(jìn)行討論與分析.

2.1 “開門見山”式

“開門見山”式試題是指在幾何圖形中直接或者顯性地具備黃金圖形結(jié)構(gòu)的題目.學(xué)生可以借助黃金圖形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究,如例1和例2中圖形均蘊(yùn)含了黃金三角形.

例1如圖2是一張矩形紙片ABCD,點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,把△DCE沿直線DE折疊,使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處,聯(lián)結(jié)DF,EF.若MF=AB,則∠DAF=______.

圖2

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

解法1如圖2,聯(lián)結(jié)DM,易知

DM=MC=AM.

因?yàn)镸F=AB,所以

MF=DC=DF.

設(shè)∠DAC=x,則

∠DMF=∠MDF=2x, ∠DFC=∠DCF=4x.

在Rt△ADC中,

∠DAC+∠DCF=90°,

即

x+4x=90°,

得

x=18°,

故

∠DAF=18°.

解法2設(shè)元過程同方法1,略.在△MDC中,

∠DMC+∠MDC+∠MCD=180°,

即

2x+4x+4x=180°,

得

x=18°,

故

∠DAF=18°.

評(píng)注此題在矩形背景下通過折疊進(jìn)一步得到更多的對(duì)應(yīng)角和線段相等,從而滿足較多的關(guān)于角和線段的等量關(guān)系.事實(shí)上,△MDC和△DCF均是頂角為36°的黃金三角形,因此具備十分良好的結(jié)構(gòu)特征.若學(xué)生能發(fā)現(xiàn)黃金圖形,則能更加快捷地得到解題的突破口.

圖3

(2022年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

解如圖3,根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)和折疊的意義,易知

AD=ED,CE=CO,BE=BC.

設(shè)∠B=x,則

∠OCB=x, ∠DAE=∠DEA=2x,

∠BEC=∠BCE=2x.

在△BEC中,

∠BEC+∠BCE+∠B=180°,

即

x+2x+2x=180°,

得

x=36°,

故

∠B=36°.

聯(lián)結(jié)OD,易得

AD=ED=EO.

易知△BEC,△OEC,△ADE均為黃金三角形,從而

于是

評(píng)注此題以圓形為背景,通過圓心角定理和圓周角定理等得到許多相等的角.借助折疊的軸對(duì)稱性又可以得到對(duì)應(yīng)角相等,故此題中有較多的等腰三角形.通過第1)小題求得的36°角,可以發(fā)現(xiàn)△BEC,△OEC,△ADE均為黃金三角形,因此第2)小題求BC與AD的比值可以通過兩次相似變換得到,即兩次利用黃金比.這樣的解題路徑自然流暢,學(xué)生能根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征充分挖掘圖形中不同線段之間的緊密聯(lián)系.

2.2 “抽絲剝繭”式

“抽絲剝繭”式試題是指圖形中不能直接得到黃金圖形,但在給定條件下滿足黃金分割的題目.例如,例3在給定條件tanα=tan2β下,可知點(diǎn)E為AF的黃金分割點(diǎn).

例3第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1 700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖4,在由4個(gè)全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,聯(lián)結(jié)BE.設(shè)∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1∶n,tanα=tan2β,則n=

圖4

( )

A.5 B.4 C.3 D.2

(2023年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第10題)

解法1設(shè)AE=1,EF=x,則

BF=1,AF=1+x.

從而

進(jìn)而

于是

x2=1+x.

由題意,得

故

n=3.

解法2設(shè)AE=a,AF=b,則

BF=a,EF=b-a.

從而

進(jìn)而

得

ab=(b-a)2,

即

a2+b2=3ab.

由題意,得

故

n=3.

解法3設(shè)正方形EFGH的面積為S1,正方形ABCD的面積為S2,4個(gè)全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)的面積均為S.

設(shè)AE=a,AF=b,則

BF=a,EF=b-a.

從而

進(jìn)而

即

ab=(b-a)2,

于是

S1=2S,

得

S2=S1+4S=6S,

即

故

n=3.

解法4由題意,得

從而

于是

EF2=AF·BF.

由題意知AE=BF,從而

EF2=AF·AE,

即點(diǎn)E為AF的黃金分割點(diǎn).

設(shè)EF=x,則

由勾股定理,得

從而

故

n=3.

評(píng)注此題以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”為背景,貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活.解法1和解法2都是先設(shè)線段的長(zhǎng)度為未知量,進(jìn)而表示出相關(guān)角度的正切值,再根據(jù)大正方形和小正方形的面積關(guān)系得到等量關(guān)系,利用消元的方法進(jìn)行計(jì)算.解法3是從弦圖中大正方形、小正方形和直角三角形的面積關(guān)系出發(fā),借助完全平方公式的恒等變形進(jìn)行分析,兩個(gè)正方形的面積均可以用直角三角形進(jìn)行表示,進(jìn)而解決問題.解法4則是從條件tanα=tan2β出發(fā),通過等式變形后得到點(diǎn)E為AF的黃金分割點(diǎn),從而發(fā)現(xiàn)圖形中多處線段成黃金比.教學(xué)時(shí)需要充分挖掘圖形中線段之間的關(guān)系,讓學(xué)生感悟不同解題路徑的聯(lián)系與區(qū)別,從而更有序地進(jìn)行思考,提升學(xué)力.

2.3 “循序漸進(jìn)”式

“循序漸進(jìn)”式試題是指可通過相似三角形、三角函數(shù)等方法得到相應(yīng)的線段比例關(guān)系,再通過線段的轉(zhuǎn)化得到特殊的線段比例關(guān)系,然后根據(jù)定義得到黃金分割的題目.

例4如圖5是一張矩形紙片,點(diǎn)E在邊AB上,把△BCE沿直線CE對(duì)折,使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處,聯(lián)結(jié)DF.若點(diǎn)E,F,D在同一條直線上,AE=2,則DF=______,BE=______.

圖5

(2020年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

解法1設(shè)BE=x,由折疊和矩形的性質(zhì)可知

EF=x,DC=AB=2+x,

且

∠DCE=∠CEB=∠CED,

得△DCE為等腰三角形.則

DE=DC=2+x,DF=2.

由△CDF∽△AEF,得

即

解得

故

解法2由題意得

AE=DF=2,DE=DC.

由△AEF∽△CDF,得

進(jìn)而

DF2=EF·DE,

即點(diǎn)F為DE的黃金分割點(diǎn),因此點(diǎn)E為AB的黃金分割點(diǎn),得

故

解法3DF的求解同解法2,下面求BE.由題意得

AD=CF,DE=DC.

由△ADF∽△ACD,得

即

AD2=AC·AF,

進(jìn)而

CF2=AC·AF,

從而點(diǎn)F為DE的黃金分割點(diǎn),于是

又

得

故

評(píng)注解法1通過設(shè)未知線段BE為x,利用矩形和折疊的性質(zhì)得到相等的線段和角,再借助相似三角形得到線段之間的等量關(guān)系,從而解出x的值.解法2和解法3借助不同的相似三角形性質(zhì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E,F分別為相應(yīng)線段的黃金分割點(diǎn),從而根據(jù)黃金比得到未知線段的長(zhǎng)度.此題中有多個(gè)直角三角形,而且均是相似三角形,故可以在發(fā)現(xiàn)黃金分割點(diǎn)的基礎(chǔ)上,利用三角函數(shù)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化,也能較容易地得到未知線段的長(zhǎng)度.

3 教學(xué)啟示

3.1 挖掘圖形特征,關(guān)注復(fù)習(xí)課的整體性

圖形與幾何的復(fù)習(xí)不能停留在單一的知識(shí)點(diǎn)上,要注重知識(shí)之間的聯(lián)系,從知識(shí)的整體和結(jié)構(gòu)入手,挖掘復(fù)雜圖形中蘊(yùn)含的圖形特征,轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的代數(shù)表達(dá)(如圖6).例如,上文提及的幾道歷年中考真題,黃金分割蘊(yùn)含在三角形、矩形、正方形、圓等圖形之中,需要學(xué)生能通過這些圖形的性質(zhì)以及折疊等條件發(fā)現(xiàn)相互之間的聯(lián)系,做到“圖形在變、方法不變、結(jié)論類似”,從而有效提高幾何復(fù)習(xí)的整體性.

圖6

3.2 開展主題學(xué)習(xí),提升復(fù)習(xí)課的綜合性

《課標(biāo)》要求通過主題學(xué)習(xí),設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部不同領(lǐng)域或者單元之間的綜合學(xué)習(xí),學(xué)生在真實(shí)情境中面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù),能發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題.幾何復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)圍繞黃金分割開展主題學(xué)習(xí),可以讓學(xué)生感悟從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出真實(shí)情境中的問題,用數(shù)學(xué)的思維綜合地、有邏輯地分析問題、解決問題,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值,發(fā)展實(shí)踐創(chuàng)新能力.

3.3 融入數(shù)學(xué)文化,發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值

黃金分割是經(jīng)久不衰的數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容,是數(shù)與美的結(jié)合點(diǎn),體現(xiàn)了優(yōu)美的幾何直觀和豐富的代數(shù)內(nèi)涵的統(tǒng)一,從古至今在各個(gè)領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用.通過數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的深度融合[4],讓學(xué)生感悟古人的智慧與創(chuàng)造,有助于正確引導(dǎo)學(xué)生的價(jià)值觀,增強(qiáng)其文化自信與民族自豪感,真正發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.