一道導數零點差試題的命制歷程

盧依婷, 董泉發

(杭州第二中學錢江學校,浙江 杭州 311215)

函數是高中數學階段的一個重要內容,我們常用導數研究其單調性、極值點、最值等問題.函數的零點問題是高考的熱點之一.其中,在有明顯凹凸變化趨勢的一些超越函數中衍生出了一類試題——零點差問題.

下面筆者展示浙江省杭州第二中學學術節命題比賽中命制的一系列函數與導數試題及其探究歷程.

1 試題與分析

(提示:e-0.2≈0.818 73.)

此題主要考查導數的計算、應用、幾何意義,以及利用導數探討函數單調區間和極值的方法,考查靈活應用導數工具分析、解決零點之間的相互關系的遷移能力,考查利用切線或曲線放縮對問題進行簡化的化歸與轉化思想,考查數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養,體現了綜合性、應用性與創新性.

函數g(x)的圖象如圖1所示,由

圖1

知,可通過二次曲線縮小左側零點x1、切線放大右側零點x2得到新零點x3,x4.

下證x4>x2.令h(x)=g(x)-m(x),則

即

g(x)>m(x),

故

g(x2)>m(x2).

又

g(x2)=m(x4),

則

m(x4)>m(x2),

由m(x)單調遞增可知x4>x2.

其與y=a的交點橫坐標記為

同理構造函數t(x)=g(x)-n(x),則

t′(x)=g′(x)-n′(x)

由t?(x)在(0,1)上恒大于0,知t″(x)在(0,1)上單調遞增,且

從而t″(x)在(0,1)上存在唯一零點x0,且x0∈(0.5,0.8),滿足

又函數y=ex0-1(4x0+1)+2x0在(0.5,0.8)上單調遞增,可知

故t′(x)有正有負,令t′(a1)=0(其中0.5

t(1)=t(0)=0,

故在區間(0,1)上,t(x)>0.即

g(x)>n(x),

故

g(x1)>n(x1).

又

g(x1)=n(x3),

則

n(x1)>n(x3),

由n(x)在(0,1)上單調遞減可知x1>x3.

2 設想與命題

在上述試題的命題過程中,筆者經歷了“構思—模仿—創新”的心路歷程,目標明確,過程曲折,終得定稿.

2.1 命題溯源

一方面,源于教材.在人教A版《普通高中教科書·數學》(以下統稱“教材”)(選修第二冊)“導數的概念及其幾何意義”中,提到切線的其中一個應用“以直代曲”.此外,在教材“導數的運算”一節的探究與發現中,拓展了牛頓法求解方程的近似解.實際上,估計零點距離的本質就是用簡單的函數擬合復雜的函數對象,將難以求出的零點可視化.

另一方面,源于實際.近期,數次聯考(如寧波市九校高三聯考、三湘名校高三聯考等)都考查了零點差.2023年3月,蕭山中學開展的學術節也選取了該內容作為交流主題.該內容有較強的綜合性,且有較大的可塑性,適合作為考點.

2.2 命題思路

在試題命制的過程中,筆者主要考慮兩個問題:如何選擇函數,以及如何設置問題.

2.2.1 構造函數

在函數的選擇方面,需借助幾何畫板軟件構造函數,追求函數結構的簡潔美,且具有明顯的凹凸性.首先,從零點差問題中常見的冪函數、對數函數、指數函數這3類入手.雖然從圖象上看,3類函數的凹凸性很明顯,但是選擇用冪函數和指數型函數構造,能夠降低在代數運算上的困難.其次,筆者設想構造的函數零點最簡化,即為0,1.零點需冪函數部分控制,即(x2-x),因此初次構造的函數為g(x)=ex+1(x2-x).但在研究這個函數的過程中,發現極值點帶根號,于是再次嘗試優化函數的形態.

為得到零點和極值點雙美的函數,筆者化零點兩定為一定一動,將冪函數部分改成一般函數ax2+bx,同時將g(x)變成eax+b(ax2+bx),其導函數為

eax+b[ax2+(2a+b)x+b].

由于只關注(0,+∞)上的極值點,因此只需滿足

2.2.2 設置問題

文獻[1]提出,命題可從提問方式、題設條件、綜合程度上調整難度.

設置的問題需入口寬,能控制平均分在4分左右(滿分12分),即大多數學生可得到基礎分;設置的問題須有梯度,能選拔人才,即所提的問題是遞進的,彼此間存在層次上的聯系;此外,須緊扣數學核心素養,綜合考查多種數學思想、方法和數學能力.

第1)小題分析:根據以上命題原則,就函數的圖象特征可提出關于單調性、極值、零點、切線的問題,如①討論函數g(x)的單調區間;②討論函數g(x)的極值;③若函數g(x)=m有兩個解,求m的取值范圍;④求函數g(x)在x0處的切線方程.上述問題均可作為試題的第1)小題,不僅考查了利用導數研究函數單調性、極值,而且可為第2)小題研究函數的零點差做鋪墊.

第2)小題分析:考查目標明確,零點差問題有切線、割線、二次曲線放縮3種模式.實際上,該類問題的解答步驟是程序化的:第1步,在得到使得函數與直線有兩個零點的參數范圍后,觀察函數的單調性和凹凸性;第2步,判斷用切割線方程或者二次曲線方程放縮;第3步,構造函數并根據其單調性判斷出切割線或二次曲線與函數之間的位置關系;第4步,將函數的零點放縮為切割線或二次曲線對應的零點[2].

目前,該類命題通常選擇某一種模式放縮兩邊零點(見圖2～4),弊端是學生容易形成思維定式,按部就班.筆者思考:能否反套路,采用不同放縮形式估計零點差,但又不那么刻意.

圖2

圖5

2.3 命題反思

基于該命題思路,筆者改變了目標結構和提問方式得到2個變式.

方向1“零點差”→“零點商”.

變式1已知函數g(x)=ex+1(x2-x).

1)討論g(x)的單調區間;

將零點差問題變成零點商問題,難度更上一層樓.若學生有較強的遷移能力,則能夠發現零點商的本質也是零點的放縮,撥開云霧見月明.既可以直接將零點x2放大,x1縮小,也可以將兩邊取對數化成

化歸為零點差的問題.

方向2“零點差”→“零點和”.

此處,筆者借鑒了2021年全國數學新高考Ⅰ卷函數壓軸題的命題思路,看似是零點和,考查極值點偏移,實際上右側不等式也可用切割線放縮處理.

例2已知函數f(x)=x(1-lnx).

1)討論f(x)的單調性;

(2021年全國數學新高考Ⅰ卷第22題)

方向3造臺階.

(提示:e-0.2≈0.818 73.)

原題難度較大,若增設一問,證明二次函數處于曲線下方,則能夠給學生搭建臺階,提醒學生可向二次曲線放縮方面思考,從而降低思維難度.

3 命題感悟

命題不僅要追求題目的簡潔美,還要盡可能保證關鍵要素的簡潔美,目標函數可以在考點確定后再調整.成熟的考點未必沒有創新之處可開發,突破思維定式、拒絕套路有利于學生思維的發展.在教學時,我們要重視學生基本的運算能力和概念的掌握,多引導學生親身經歷一類問題的解決過程,滲透問題解決時所用的思想方法與本質,必要時可借助幾何畫板軟件等工具進行輔助,同時也要善于總結和反思,提高效率.