任意線性荷載下懸臂梁半逆解法研究

易 超

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院,四川成都 610031)

0 引言

懸臂梁在土木工程中有著廣泛應(yīng)用,如房屋結(jié)構(gòu)中的挑梁,基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)中的擋土樁,邊坡加固中的抗滑樁等均可看做懸臂梁[1]。材料力學(xué)基于平衡方程、物理方程和平面假定給出了常見(jiàn)短梁的計(jì)算結(jié)果[2],但由于把梁假設(shè)為縱向纖維受拉的桿件,無(wú)法得到其內(nèi)部應(yīng)力分布和變形情況,忽略了擠壓應(yīng)力的存在。彈性力學(xué)[3-4]給出了在集中荷載和均布荷載作用下懸臂梁的彈性力學(xué)解;南忠俊[5]、張琦躍[6]分別給出了矩形截面梁在受到純二次和四次分布荷載時(shí)的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力解,但其求解模型中荷載在梁上最小值為0,在實(shí)際應(yīng)用中往往很少出現(xiàn)這種情況,更多情況是呈梯形分布的荷載;劉鴻[7]計(jì)算基坑中雙排抗滑樁位移時(shí)將其看做立起來(lái)的懸臂梁,采用彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)法分別求出矩形分布荷載和三角形分布荷載對(duì)樁產(chǎn)生的位移后再疊加的計(jì)算方法,計(jì)算過(guò)程較為繁瑣。而針對(duì)懸臂梁在任意線性荷載作用下的該如何采用彈性力學(xué)半逆解法求解,尚無(wú)學(xué)者提出。

1 理論推導(dǎo)

1.1 確定應(yīng)力函數(shù)

采用彈性力學(xué)半逆解法求解受荷變形問(wèn)題,關(guān)鍵在于如何選取既滿足相容方程又滿足邊界條件的應(yīng)力函數(shù)[8]。隨著受荷形式的愈趨復(fù)雜,應(yīng)力函數(shù)的選取也愈困難,對(duì)受多項(xiàng)式分布荷載的狹長(zhǎng)截面梁通常取應(yīng)力函數(shù)為多項(xiàng)式形式[9]。

設(shè)有模型如下(為便于計(jì)算,按平面應(yīng)變問(wèn)題考慮且不計(jì)體力):

圖1 推導(dǎo)模型

梁長(zhǎng)為d,梁高為h,上邊緣受到大小為q(x)=q+kx的分布力作用,根據(jù)材料力學(xué)理論很容易得到橫截面上的正應(yīng)力為式(1)。

(1)

式中:M(x)為彎矩;Iz為橫截面慣性矩;

對(duì)于給定的梁Iz為常數(shù),因此將上式看成一個(gè)與x有關(guān)的函數(shù)和與y的函數(shù)的乘積。在彈性力學(xué)中有式(2)。

(2)

積分之后得到的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為數(shù)項(xiàng)關(guān)于x和y的函數(shù)乘積之和,形如式(3)。

(3)

式中:n為分布荷載的次數(shù)。

因此本文可選取應(yīng)力函數(shù)為式(4)。

φ(x,y)=x3f3(y)+x2f2(y)+xf1(y)+f0(y)

(4)

式中:f3(y)、f2(y)、f1(y)、f0(y)為關(guān)于y的待定函數(shù),應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足相容方程

并且x在區(qū)間[0,d]上滿足,所以與x有關(guān)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)等于零,可求得各待定函數(shù)為式(5)～式(8)。

f3(y)=Ay3+By2+Cy+D

(5)

f2(y)=Ey3+Fy2+Gy+H

(6)

(7)

(8)

將式(5)～式(8)代入式(4)得應(yīng)力函數(shù)為式(9)。

φ(x,y)=x3(Ay3+By2+Cy+D)+

(9)

1.2 應(yīng)力求解

根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與各應(yīng)力分量之間的關(guān)系,得到各應(yīng)力分量為式(10)～式(12)。

(6Ax3+6Ex2+Jx+M)y+2Bx3+2Fx2+Kx+N

(10)

2(Ey3+Fy2+Gy+H)

(11)

(12)

式(10)～式(12)中A～L為待定系數(shù),可根據(jù)應(yīng)力邊界條件確定。

主要邊界條件為:

當(dāng)x=0時(shí),梁左端為次要邊界,力的分布形式未知,可用圣維南原理放松

主要邊界條件應(yīng)當(dāng)精確滿足,即x的各次項(xiàng)系數(shù)為0,根據(jù)上述邊界條件可建立13個(gè)方程,應(yīng)力函數(shù)中共有13個(gè)待定系數(shù),將所有方程聯(lián)立可解得所有待定系數(shù)如下:

對(duì)于右端固定端邊界,根據(jù)彈性理論,對(duì)于一個(gè)平衡體,如果物體內(nèi)部滿足平衡微分方程,在精確滿足主要邊界條件,以保證解的有效性的前提下,僅需滿足部分力的邊界條件時(shí),剩余部分邊界條件在積分意義下可自動(dòng)滿足,因此可無(wú)需驗(yàn)證。

將所求得的待定系數(shù)的值代入式得到各應(yīng)力分量如式(13)～式(15)。

(13)

(14)

(15)

1.3 位移求解

根據(jù)彈性力學(xué)物理方程和幾何方程可得到水平位移、豎向位移的計(jì)算式和剪應(yīng)力的相等關(guān)系為式(16)～式(18)。

(16)

(17)

(18)

式(16)～式(18)中:E為彈性模量;μ為泊松比;u、v分別為x、y方向的位移見(jiàn)式(19)、式(20)。

所以

(19)

(20)

將式代入式得到式(21)。

(21)

將式左右兩邊分別看成是關(guān)于x、y的函數(shù),并令其左右兩邊相等等于一個(gè)常數(shù)ω,則得式(22)、式(23)。

(22)

(23)

對(duì)式積分得到式(24)、式(25)。

(24)

(25)

因此懸臂梁內(nèi)任意一點(diǎn)的位移為式(26)、式(27)。

(26)

(27)

令y=0,可得到撓度方程為式(28)。

(28)

2 結(jié)果討論

在本推導(dǎo)模型中,由于按照平面應(yīng)變問(wèn)題考慮,截面寬度取為一個(gè)單位寬度,根據(jù)材料力學(xué)理論, 梁的彎矩和剪力分別為

懸臂梁在受任意線性荷載分布荷載下材料力學(xué)應(yīng)力解為式(29)。

(29)

若規(guī)定撓度向下為正,可得到材料力學(xué)中的撓度方程為式(30)。

(30)

對(duì)比式可知,材料力學(xué)解的σx、τxy分別為對(duì)應(yīng)彈性力學(xué)應(yīng)力解得第一項(xiàng),彈性力學(xué)中其余項(xiàng)為修正項(xiàng);σy為擠壓應(yīng)力,與材料力學(xué)結(jié)果完全不一致,這是因?yàn)樵诓牧狭W(xué)中作了縱向纖維受拉的假定,忽略了擠壓應(yīng)力的存在,因此,這也在預(yù)料之中[10-11]。

對(duì)比式可知,對(duì)于撓度方程,材料力學(xué)的解答均能在彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)解答中找到與之對(duì)應(yīng)的項(xiàng),材料力學(xué)中對(duì)撓度計(jì)算采用了簡(jiǎn)化處理的方法且沒(méi)有考慮到泊松比對(duì)變形的影響,彈性力學(xué)解將泊松比考慮進(jìn)去,對(duì)結(jié)果行了修正,式剩余的四項(xiàng)正為彈性力學(xué)的修正項(xiàng)。相比于材料力學(xué)解答結(jié)果,彈性力學(xué)解答不僅能得到撓度方程,也能得到物體內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力與變形,這在解決與其他物體接觸時(shí)的變形協(xié)調(diào)問(wèn)題時(shí)相比于材料力學(xué)更具有優(yōu)勢(shì)。

此外,在式中若分別令k=0和q=0可得到懸臂梁分別在均布荷載和三角形荷載下的各應(yīng)力和位移解,相較于僅受均布荷載或三角形荷載下懸臂梁的彈性力學(xué)解,本文推導(dǎo)結(jié)果適用性更廣,如在工程中遇到懸臂梁受梯形分布、三角形分布或均布荷載的情況時(shí)無(wú)需重新推導(dǎo),可直接適用。

3 算例

某懸臂梁長(zhǎng)5 m,橫截面高0.8 m,彈性模量為E=210 MPa,泊松比μ=0.2,在梁上受到q(x)=(6+2x) kN/m的分布力作用,為簡(jiǎn)化計(jì)算在此不考慮重力作用。

根據(jù)本文所得結(jié)果與材料力學(xué)所得結(jié)果計(jì)算出撓度方程w、切應(yīng)力τxy、固定端的正應(yīng)力σx以及自由端擠壓應(yīng)力σy方程,并與ABAQUS有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析如表1、圖2～圖6所示。

表1 各方程對(duì)比

圖2 位移云圖

圖3 撓度變化

圖4 中性軸線剪力

圖5 固定端水平正應(yīng)力與梁高變化

圖6 自由端擠壓應(yīng)力

將理論結(jié)果與有限元結(jié)果繪制在同一圖中梁的撓度,材料力學(xué)計(jì)算結(jié)果最大,有限元結(jié)果居中,應(yīng)用本文方法計(jì)算結(jié)果最小,但三者在自由端最大誤差在3 mm以內(nèi),滿足要求;對(duì)于梁中性軸上的剪力,與材料力學(xué)結(jié)果基本一致,僅相差一個(gè)0.01 kN的修正項(xiàng),有限元計(jì)算結(jié)果最小,三者誤差在1%以內(nèi),滿足工程設(shè)計(jì)要求;對(duì)于固定端的正應(yīng)力,材料力學(xué)結(jié)果最大,有限元計(jì)算結(jié)果最小、應(yīng)力函數(shù)法計(jì)算結(jié)果居中,與材料力學(xué)結(jié)果相比多了一項(xiàng)62.5y3,但相對(duì)誤差很小,兩者沿梁高方向正應(yīng)力曲線基本完全重合;對(duì)于擠壓應(yīng)力,材料力學(xué)中將其忽略為零,這顯然與實(shí)際情況不符,本文方法計(jì)算出擠壓應(yīng)力沿梁高呈三次曲線分布,中性軸以上較有限元結(jié)果稍偏大,中性軸以下較有限元結(jié)果稍偏小,整體分布規(guī)律一致。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)懸臂梁在工程中應(yīng)用廣泛,材料力學(xué)解答無(wú)法得到其內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力和變形,從材料力學(xué)理論與彈性力學(xué)受力邊界條件進(jìn)行分析,提出了任意線性荷載下懸臂梁的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。

(2)根據(jù)邊界條件對(duì)未知量進(jìn)行求解得到了相應(yīng)的應(yīng)力和位移表達(dá)式并與材料力學(xué)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析,表明材料力學(xué)中的撓度、正應(yīng)力、切應(yīng)力在本文推導(dǎo)的結(jié)果中都能找到與之對(duì)應(yīng)項(xiàng),本文結(jié)果在材料力學(xué)結(jié)果之上多出了修正項(xiàng)。

(3)材料力學(xué)結(jié)果沒(méi)有考慮擠壓應(yīng)力,本文方法求得擠壓應(yīng)力沿梁橫截面高度呈三次曲線分布,大小與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。

(4)選取一個(gè)實(shí)際案例分別應(yīng)用材料力學(xué)結(jié)論、有限元和本文推導(dǎo)結(jié)果分別計(jì)算出撓度、剪力、固定端正應(yīng)力和自由端擠壓應(yīng)力分布形式,并將3種方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提應(yīng)力函數(shù)和求解結(jié)果的優(yōu)越性和可行性。