重構靜電場中電場強度的求解方法

張玉霞

(山東省北鎮中學)

通過對近幾年高考題的研究發現,高考試題的命制大多能夠“追本溯源”.這就要求在日常教學中要重視課本“本源”,探究考核內容的本質,并關注問題的創新性,提升對問題的重構意識.那么,關于靜電場中電場強度的求解方法,它們的“本源”在哪里呢? 創新思維又是如何在問題的重構過程中得以體現的呢?

1 溯源——建模型、悟方法

溯源1(人教版新教材必修第三冊P24)如圖1所示,電荷量為q的點電荷與均勻帶電薄板相距2d,點電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心,若圖中A點的電場強度為0,求帶電薄板產生的電場在圖中B點的電場強度.

圖1

方法探析本題求解均勻帶電薄板在周圍空間某點的電場強度,要求學生靈活運用所學知識解決新問題.A點的電場強度為均勻帶電薄板和點電荷q分別在A點產生的電場的疊加,由此可間接求出均勻帶電薄板在A點的電場強度,然后根據A、B兩點關于薄板的對稱性,確定帶電薄板在B點的電場強度.

方法總結1)物理知識:電場強度的矢量疊加規律和點電荷的場強公式;2)解題技巧:均勻帶電薄板在周圍空間的電場分布具有對稱性.

溯源2(人教版新教材必修第三冊P14)可以證明,一個半徑為R的均勻帶電球體(或球殼)在球的外部某點產生的電場,與一個位于球心、電荷量相等的點電荷在同一點產生的電場的電場強度相同(如圖2).

圖2

2 方法重構——多思考、重歸納

方法1 對稱法

例1(2020年全國Ⅱ卷)如圖3所示,豎直面內一絕緣細圓環的上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷.a、b為圓環水平直徑上的兩個點,c、d為豎直直徑上的兩個點,它們與圓心的距離均相等.則( ).

圖3

A.a、b兩點的場強相等

B.a、b兩點的電勢相等

C.c、d兩點的場強相等

D.c、d兩點的電勢相等

沿豎直方向將圓環分割成無窮個小段,關于水平直徑對稱的兩小段構成等量異種點電荷模型,在等量異種點電荷連線的垂直平分線上各點場強方向垂直于平分線向下,根據對稱性可知a、b兩點的場強大小相等,選項A 正確;取無窮遠處電勢為零,在等量異種點電荷的垂直平分線上各點電勢均為零,故a、b兩點的電勢相等,選項B 正確;沿水平方向將圓環分割成無窮個小段,關于豎直直徑對稱的兩小段構成等量同種點電荷模型,在等量同種點電荷的垂直平分線上各點場強方向垂直于連線向下,根據對稱性可知c、d兩點的場強大小相等,選項C 正確;在等量異種點電荷模型中,距離正點電荷近的點電勢高,故φc＞φd,選項D 錯誤.答案為A、B、C.

方法總結1)建模型:無限分割環狀帶電導體,將其轉化為等量點電荷模型;2)物理知識:等量點電荷在其連線的中垂線上的電場、電勢的分布特點.

方法2 疊加法

例2如圖4所示,均勻帶電圓環所帶電荷量為Q,半徑為R,圓心為O,P為垂直于圓環平面中心軸上的一點,OP＝L,試求P點的電場強度.

圖4

如圖5所示,將圓環看成由n個小段組成,當n相當大時,每一小段都可以看成點電荷,其所帶電荷量,由點電荷電場強度公式可求得每一小段帶電體在P處產生的電場強度為E＝.由對稱性可知,各小段帶電體在P處產生的電場強度E的垂直于中心軸的分量Ey相互抵消,而其軸向分量Ex之和即為帶電圓環在P處的電場強度EP,則有

圖5

方法總結1)建模型:將帶電圓環無限分割,轉化為“點電荷”模型;2)物理知識:運用電場強度矢量分解與合成的方法,求得n個“點電荷”在P點產生的電場的合場強.

方法3 補償法

例3如圖6 所示,在半球面AB上均勻分布正電荷,總電荷量為q,球面半徑為R,CD為通過半球面頂點與球心O的軸線,在軸線上有M、N兩點,OM＝ON＝2R.已知M點的電場強度大小為E,則N點的電場強度大小為( ).

圖6

左半球面AB上的正電荷在M點產生的電場等效為帶＋2q的整個球面的電場和帶－q的右半球面的電場的合電場,則,E′為帶電荷量為－q的右半球面在M點產生的電場強度的大小.帶電荷量為－q的右半球面在M點產生的電場強度大小與帶＋q的左半球面AB在N點產生的電場強度大小相等,則選項A正確.

方法總結1)補償法:“無中生有”,將均勻帶電的半球面補充完整,形成均勻帶電球殼,建立帶電球殼模型;2)物理知識:均勻帶電球殼模型的場強公式和場強的疊加規律及左右半球殼的對稱性.

方法4 等效法

例4一無限大接地導體板MN前面放有一點電荷＋Q,它們在周圍產生的電場可看作在沒有導體板MN存在的情況下,由點電荷＋Q與其像電荷－Q共同激發產生的.像電荷－Q的位置就是把導體板當作平面鏡時,電荷＋Q在此鏡中的像點位置.如圖7所示,已知＋Q所在位置P點到金屬板MN的距離為L,a為OP的中點,abcd是邊長為L的正方形,其中ab邊平行于MN.則( ).

圖7

A.a點的電場強度大小為

B.a點電場強度大小大于b點電場強度大小

C.b點的電場強度和c點的電場強度相同

D.一正點電荷從a點經b、c運動到d點的過程中電勢能的變化量為零

由題意可知,點 電荷＋Q和金屬板MN周圍空間的電場與等量異種點電荷產生的電場等效,如 圖8 所 示.所以a點的電場強度,選項A 錯誤;由圖8中電場線的疏密可知Ea＞Eb,選項B正確;圖8中b、c兩點的電場強度方向不同,選項C錯誤;由于a點的電勢大于d點的電勢,所以一正點電荷從a點經b、c運動到d點的過程中電場力做正功,正電荷的電勢能減小,選項D 錯誤.

圖8

方法總結將一種分布規律未知的電場等效或轉化為分布規律已知的電場,即用等效的思想將未知模型轉化為已知模型.

在日常教學中應重視課本“本源”,善于“借題發揮”,創設新情境,重構新問題,多思考、多研討、多歸納,拓展思維空間,從而培養學生的創新思維能力,實現知識和方法的重構.

(完)