利用“弦長(zhǎng)公式”巧解帶電粒子有界磁場(chǎng)問題

尹建剛

(貴州省興義市第五中學(xué))

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)中重難點(diǎn)內(nèi)容之一,而有界磁場(chǎng)問題更是難點(diǎn)中的難點(diǎn).帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著較高的要求,學(xué)生普遍反映解題難度較大.本文通過幾何圓半徑和弦長(zhǎng)的關(guān)系,巧妙構(gòu)建“弦長(zhǎng)公式”解題方法,思路清晰、操作簡(jiǎn)單,可有效規(guī)避傳統(tǒng)解題方法中“定圓心”“找半徑”等復(fù)雜幾何關(guān)系,提高解題效率,達(dá)到事半功倍的效果.

1 “弦長(zhǎng)公式”簡(jiǎn)介

如圖1所示,設(shè)圓弧半徑為R,弦AB長(zhǎng)為l,圓心角為θ,弦切角為α,速度偏轉(zhuǎn)角為φ,由幾何知識(shí)有2α＝θ＝φ,則,故,得弦長(zhǎng)AB為l＝2Rsinα,此即弦長(zhǎng)公式.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑,則弦長(zhǎng)表達(dá)式為.

圖1

2 典型例題分析

2.1 利用弦長(zhǎng)公式直接求質(zhì)量

例1如圖2所示,在垂直于紙面向外且分布在x軸上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩質(zhì)量不同而電荷量相同的粒子,從O點(diǎn)以相同的速度沿與x軸正方向成α＝60°角射入x軸上方磁場(chǎng),從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子的質(zhì)量為m1,從b點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子的質(zhì)量為m2.若另一與上述兩質(zhì)量不同而電荷量相同的粒子以相同速率與x軸正方向成α＝30°角從O點(diǎn)射入x軸上方磁場(chǎng),從ab的中點(diǎn)c射出磁場(chǎng)(重力作用不計(jì)),則該粒子質(zhì)量為( ).

圖2

根據(jù)題干條件,由弦長(zhǎng)公式可知

由幾何關(guān)系有

選項(xiàng)D 正確.

2.2 利用弦長(zhǎng)公式直接求比荷

例2如圖3所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi),方向垂直于紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一帶正電的粒子經(jīng)電壓U加速后從靜止開始運(yùn)動(dòng),沿平行于x軸方向射入磁場(chǎng);一段時(shí)間后沿著垂直于x軸的方向在OP邊上某點(diǎn)射出.坐標(biāo)原點(diǎn)為O點(diǎn),N點(diǎn)在y軸上,OP與x軸的夾角為30°,不計(jì)粒子重力,已知粒子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)與進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)之間的距離為d.求:帶電粒子的比荷.

圖3

如圖4所示,設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,加速后的速度大小為v.由動(dòng)能定理有,得

圖4

由速度偏轉(zhuǎn)角等于弦切角的2倍,可以推出弦切角為45°,由弦長(zhǎng)公式有,得

2.3 利用弦長(zhǎng)公式直接求磁感應(yīng)強(qiáng)度

例3如圖5所示,兩相對(duì)放置的豎直擋板,長(zhǎng)度、間距均為l,同一水平面上的M點(diǎn)和P點(diǎn)位于擋板邊緣處,在該水平面上方分布有一勻強(qiáng)電場(chǎng),方向豎直向下,電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E;兩擋板間有一大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂直紙面向外.一電荷量為q(q＞0)、質(zhì)量為m的粒子以大小為v0的速度從電場(chǎng)中某處水平向右進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng),然后恰好從P點(diǎn)處進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)過程中擋板與粒子沒有發(fā)生碰撞,從邊緣Q和N間射出磁場(chǎng).粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°,粒子重力大小不計(jì).求:

圖5

(1)P點(diǎn)到發(fā)射位置的距離;

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍.

(1)把進(jìn)入磁場(chǎng)的速度分解為水平方向上的v0和豎直方向上的vy,由幾何知識(shí)有.由牛頓第二定律有Eq＝ma,在豎直方向上有,vy＝at,在水平方向上有x＝v0t,聯(lián)立上述各式得P點(diǎn)到發(fā)射位置的距離

(2)如圖6所示,由題意知,當(dāng)帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí),由粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°,知此時(shí)弦切角為60°,弦長(zhǎng)lPQ＝l,由(1)問得入射速度,再由弦長(zhǎng)公式直接表示為,得.

當(dāng)帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí),由幾何關(guān)系知弦切角為15°,弦長(zhǎng),代入弦長(zhǎng)公式有,其中

將之代入上面的表達(dá)式化簡(jiǎn)得

磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍為B1＜B＜B2,即

3 總結(jié)

綜上所述,在有界磁場(chǎng)中,“弦長(zhǎng)公式”為學(xué)生解決問題提供了一種很好的思路.運(yùn)用“弦長(zhǎng)公式”法,只需要知道粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng)的“進(jìn)場(chǎng)點(diǎn)”和“出場(chǎng)點(diǎn)”,再借助圓心角、速度偏轉(zhuǎn)角關(guān)系找到弦切角,最后通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系就可以直接求解相關(guān)的物理量,從而有效規(guī)避常規(guī)解題步驟中“畫軌跡”“定圓心”“找半徑”“找相關(guān)物理量”“列方程”等相對(duì)復(fù)雜的操作,大幅簡(jiǎn)化解題步驟,提高解題效率.“弦長(zhǎng)公式”法是一種值得大力推廣的好思路、好辦法.

(完)