活用化曲為直法解帶電粒子在電場中的運動問題

胡躍躍

(山東省滕州市第一中學)

帶電粒子在電場中的運動問題是高考中的熱點題型,年年必考,考查形式靈活多變,計算量較大,是很多學生比較頭疼的題型之一.歸納發現,帶電粒子在電場中的運動可以歸為兩大類型,即帶電粒子在電場中加速或偏轉運動和在涉及重力或磁場力作用的復合場中運動.學生之所以覺得題目難度大,是因為這類題目中帶電粒子做的大多是曲線運動,而學生最擅長分析的往往是直線運動.既然如此,我們不妨使用“化曲為直法”來解題.

1 帶電粒子在電場中加速或偏轉運動

如果帶電粒子是在勻強電場中做加速運動,我們可以用牛頓運動定律求解,也可以使用動能定理求解;而對于偏轉問題,通常采用平拋運動的解題策略,該策略的核心就是“化曲為直”,相信大家都比較熟悉,當然,如果可以使用動能定理,那么解題會更加便捷.

例1如圖1 所示,一個可以產生多種正離子(質子、氘核、氚核及氦核等)的粒子源被放置在加速電場的左側,產生的正離子以極低速度進入加速電場,經過加速后的正離子從小孔S處沿偏轉電場的極板A、B的中心線射入.已知加速電場的電壓為U1,極板A、B的長度為L,極板A、B距離為d,偏轉電場的電壓為U2.若正離子能從極板A、B間射出(正離子的重力不計),則下列選項正確的是( ).

圖1

B.不同粒子在滿足題目條件的情況下,運動軌跡完全重合

C.不同粒子在滿足題目條件的情況下,從偏轉電場射出時的速度相同

D.不同粒子在滿足題目條件的情況下,在兩個電場中運動的時間相同在加速電場中可使用動能定理快速求出正離子的末速度,而在偏轉電場中,需根據類平拋運動的規律逐項列式驗證.

設正離子的電荷量為q,質量為m,從加速電場射出時的速度為v,根據動能定理得

將正離子在偏轉電場中的運動分解為沿極板方向的勻速直線運動和沿垂直極板方向的勻加速直線運動,則沿極板方向有L＝vt,沿垂直極板方向有y＝,由牛頓第二定律得.因為正離子能從偏轉電場射出,所以要滿足:.

設正離子在偏轉電場中沿極板方向運動距離x耗時t′,沿垂直極板方向的位移為y,有x＝vt′,y＝,結合上述結果,可得

由上式可知,正離子在偏轉電場中運動的軌跡與離子的比荷無關,所以選項B正確.

由上面的分析可知,正離子垂直極板的分速度為

由速度的合成可得正離子射出偏轉電場時的速度大小為

根據該式可知,正離子射出偏轉磁場的速度與比荷有關,因此選項C錯誤.

設加速電場的寬度為s,則正離子在加速電場中運動的時間.正離子在偏轉磁場中運動的時間,則正離子從進入加速電場到射出偏轉電場所用時間為t3＝t1＋t2＝.可見,不同正離子通過兩個電場所用時間與比荷有關,所以選項D 錯誤.

小結雖然本題是一道選擇題,但想要得到正確答案,計算量并不比一道計算題少.題目同時考查了帶電粒子在電場中的加速和偏轉問題,需要我們靈活運用牛頓運動定律、運動的合成與分解、動能定理等知識,且有較強的邏輯推理能力.

2 帶電粒子在涉及重力或磁場力作用的復合場中運動

復合場是常見的題目情境.由于高中階段研究的問題多為勻強電場、勻強磁場,復合場這類看似復雜的情境中卻包含著最簡單的本質,即帶電粒子受到多個恒力作用,因此,我們可以運用熟悉的運動學知識加以分析,將曲線運動轉化為熟悉的直線運動的合成,解題思路就變得清晰了.

例2如圖2 所示,在方向水平向右、電場強度E＝3×105N?C－1的勻強電場中,有一個傾斜角為53°的斜面底端與一個豎直放置的光滑絕緣的半圓軌道接觸.圖中O點為半圓軌道的圓心,A、B點分別是半圓軌道的上下端點.有一個質量m＝0.4kg、電荷量q＝＋1.0×10－5C的小球(可視為質點)以初速度v0＝10m?s－1從斜面上某點以垂直斜面的方向射出,小球恰好從A點進入半圓軌道.重力加速度g取10m?s－2,則( ).

圖2

A.小球從射出到運動到A點過程做類平拋運動

B.小球運動到A點時速度大小為12.5m?s－1

C.小球第一次在半圓軌道上運動過程中會在某處脫離軌道

D.小球第一次在半圓軌道上運動過程中對軌道的最大壓力大小為33.5N

以小球為研究對象,其從起點運動到A點過程中對其受力分析如圖3所示.小球受重力和水平向右的電場力作用,根據力的合成及幾何知識可得F＝5 N,方向沿斜面向下,所以小球從射出到運動到A點過程做類平拋運動,建立如圖3所示的直角坐標系,在x軸方向小球做勻速直線運動,有vx＝v0＝10m?s－1.

圖3

小球從出發點到A點過程中偏轉的角度為37°,根據幾何知識可得在A點時小球的速度

如圖4所示,圖中C點代表小球運動過程中等效的最低點,即在C點處小球對軌道的壓力最大,因為在A點時小球恰好進入軌道,即在A點未脫離軌道,則在其他位置也不會脫離半圓軌道.

圖4

在A點對小球應用牛頓第二定律得,從A點運動到C點過程中,根據動能定理可得

在C點有.聯立各式解得FN＝27N.

綜上可知選項A、B正確.

小結本題是動能定理和圓周運動、平拋運動的綜合,解題關鍵是找準各個過程遵循的物理規律.該題的化曲為直的方法主要體現在小球從出發點到A點的過程中類平拋運動的應用,尤其是對選項D 的分析,繞過了復雜的運動過程,直接應用動能定理使得問題變成從A點到C點的點對點過程,解題難點在于找到等效重力勢能最低點.

化曲為直是一種化陌生為熟悉的常用解題思路和方法,我們要通過總結和遷移以做到靈活應用.

(完)