分割法與合成法求電場強度

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心)

對于勻強電場中平行于電場線的平面內的三個點,如果已知各點處的電勢,或者已知帶電粒子分別經過各點時的動能,或者已知帶電粒子分別沿兩條線段運動過程中電場力做的功,那么可求出電場強度的大小和方向.對這類問題有兩種不同的解答方法,即電勢差分割法與場強分量合成法.

1 方法歸納

方法依據:勻強電場中的任意一條直線上的電勢降落規律相同,兩點之間的電勢差跟距離成正比.

1)電勢差分割法.首先選擇三個點中電勢最高點為參考點,以參考點為起點,確定兩條線段;再計算每條線段兩端的電勢差,根據電勢差數值的特點均勻分割線段;然后在兩條線段上尋找兩個等勢點,連接一條等勢線;最后畫出一條電場線,計算沿電場線方向某一線段的長度,求出場強大小和方向.

2)場強分量合成法.首先分別算出兩條相互垂直線段兩端的電勢差;再計算電場強度在兩個相互垂直方向的分量;最后利用矢量合成法求出合場強的大小和方向.這種方法的關鍵是如何計算某一方向的場強分量,需利用一個結論,下面進行定量推導論證.

如圖1所示,在勻強電場中與電場線平行的平面內有一條線段AB,線段AB的長度為LAB,與電場線的夾角為β,利用場強公式可知線段AB兩端的電勢差UAB＝Ed＝E?LABcosβ＝Ecosβ?LAB,即UAB＝EABLAB,或者.

圖1

這表明,在勻強電場中任意兩點間的電勢差等于這兩點連線上的場強分量與這兩點間的距離之積.換言之,在勻強電場中任意兩點間的電勢差與這兩點間的距離之比等于電場強度在這兩點連線上的分量,這就是場強分量結論.

值得注意的是,對于勻強電場,雖然可以求出任一方向上的場強分量,但不能分解為任意夾角的兩個分量,而只能按兩個相互垂直的方向進行分解,即正交分解.或者說,兩個方向的場強分量夾角必須為直角,否則不遵循平行四邊形定則.因此,只要求出場強在某一方向的分量,那么另一個分量的方向就已經確定了.同理,對于點電荷在勻強電場中受到的電場力也只能進行正交分解與合成,只有兩個分量相互垂直,各分量的效果才互不關聯、互不影響.或者說,一個力在與之垂直的方向上不做功,則兩個相互垂直的恒力各自做功是獨立的.這如同重力,只能進行正交分解與合成,當物體沿斜面下滑時,無論斜面傾斜角如何變化,重力的兩個分力都相互垂直,夾角不可能為鈍角或銳角.

在勻強電場中場強處處相同,空間任一點的場強都可分解為相互垂直的兩個分量,而且同一方向的分量處處相同,即Ex＝Ex1＝Ex2＝…＝Exn,Ey＝Ey1＝Ey2＝…＝Eyn,則合場強為.

2 方法應用

下面對有關的物理問題利用電勢差分割法與場強分量合成法求電場強度.

例1(2021年湖南卷)如圖2所示,圓心為O的圓處于勻強電場中,電場方向與圓平面平行,ab和cd為該圓直徑.將電荷量為q(q＞0)的粒子從a點移動到b點,電場力做功為2W(W＞0);若將該粒子從c點移動到d點,電場力做功為W.下列說法中正確的是( ).

A.該勻強電場的場強方向與ab平行

B.將該粒子從d點移動到b點,電場力做功為0.5W

C.a點處的電勢低于c點處的電勢

D.若只受電場力,從d點射入圓形電場區域的所有帶電粒子都做曲線運動

根據做功情況可知,沿線段ab方向電勢逐漸降低,沿線段cd方向電勢逐漸降低.利用電場力做功的公式W＝qU可知,兩條直徑對應的電勢差之比為Uab∶Ucd＝2∶1.對于O、b、d三點,O點的電勢最高,可作為參考點,由此確定兩條線段,即兩條半徑Ob和Od,對應的電勢差之比為UOb∶UOd＝2∶1.據此可將線段Ob均分為兩份,設中點為e,則點e與d是等勢點,連接de得到一條等勢線,如圖3所示.可以證明,△Oed為直角三角形,則等勢線de垂直于線段ab,因此電場線沿ab方向,選項A 正確.將該粒子由d點移動到b點,等效于從e點移到b點,電場力做功0.5W,選項B正確.過c點作等勢線cf,由于a點電勢高于f點,可知a點電勢高于c點,選項C錯誤.若帶電粒子沿與電場線平行方向射入,則粒子做直線運動,選項D 錯誤.

圖3

本題解題關鍵是利用電場力做功的情況來判斷電勢的變化情況,并得出兩個電勢差的關系.為了在兩條線段上尋找等勢點,需在三個點中選擇電勢最高的點作為參考點.該題雖然不必求解場強,但需利用電勢差分割法確定電場線的方向.

例2勻強電場中一個三角形的頂點為A、B、C,AB的長度是1cm,D點是AB的中點,如圖4 所示,已知電場線平行于三角形ABC所在平面,A、B、C三點處的電勢分別為14V、6V 和2V.設場強大小為E,一電荷量為1.0×10－6C 的正點電荷從D點移動到C點,電場力做的功為W,則( ).

圖4

A.W＝8×10－6J,E＞8V?m－1

B.W＝6×10－6J,E＞6V?m－1

C.W＝8×10－6J,E≤8V?m－1

D.W＝6×10－6J,E≤6V?m－1

線段AB的中點D處的電勢為φD＝10V,可知UDC＝8V,所以正點電荷從D點移動到C點的過程中電場力做的功為W＝8×10－6J.由題意知,A點處電勢最高,以A點為參考點,線段AB和AC對應的電勢差分別為UAB＝8V,UAC＝12V,因此可把線段AB二等分,AC三等分,如圖5所示,可知G點與D點是一對等勢點,電勢為φG＝10V,根據電場線垂直于等勢面,可畫出一條電場線.設兩個相鄰的等勢面間距為Δd,可知電場強度為由于,故E＞8V?m－1,選項A 正確.

圖5

本題解題關鍵是求中點的電勢以及三等分點的電勢來確定一條等勢線.不必求出場強的具體數值,只需利用場強公式判斷場強的取值范圍.

例3如圖6所示,在勻強電場中畫一個等腰直角三角形,三角形平面平行于電場線.已知三角形的直角邊長為10cm,頂點A、B、C的電勢分別為5 V、20V 和2V.試在圖中畫出一條電場線,求出場強的大小和方向.

圖6

方法1利用電勢差分割法

由于B點電勢最高,則可作為參考點,以B點為起點,確定兩條線段BA和BC.分別計算每條線段兩端的電勢差,UBA＝15V,UBC＝18V.二者之比為UBA∶UBC＝5∶6.可把線段BC均分為兩份,設中點為D,把線段BA均分為5份,設五分之三分點為F,如圖7所示.可知UBD＝UBF＝9V,那么D點與F點為等勢點,連接線段DF,得到一條等勢線.過B點作線段DF的垂線,標明方向,得到一條電場線,與等勢線相交于G點.對于直角三角形FBD,斜邊長度為,利用兩種方法計算直角三角形的面積可知線段BG的長度為.已知UBG＝UBD＝9V,可知場強大小為.場強方向跟BC邊的夾角滿足,即電場線的傾斜角為.

圖7

這種方法的解題關鍵是以電勢最高點為參考點,在有共同起點的兩條線段上尋找一對等勢點,確定一條等勢線,再過特殊點確定一條電場線.在計算線段BG的長度時,利用了計算直角三角形DBF面積的兩種方法.此外,也可利用各直角三角形中三角函數關系來計算線段BG的長度.

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方法2利用場強分量合成法

分別計算兩個相互垂直方向的電勢差UBC＝18 V,UBA＝15V.可知場強分量大小EBC＝180V?m－1,EBA＝150V?m－1.利用勾股定理可知場強大小

這種方法的解題關鍵是找到兩條相互垂直的線段,分別求出兩個方向的場強分量.

例4(2017年新課標全國卷Ⅲ)一勻強電場的方向平行于xOy平面,平面內a、b、c三點的位置如圖8所示,三點的電勢分別為10V、17V、26V.下列說法正確的是( ).

圖8

A.電場強度的大小為2.5V?cm－1

B.坐標原點處的電勢為1V

C.電子在a點的電勢能比在b點低7eV

D.電子從b點運動到c點,電場力做功為9eV

方法1利用電勢差分割法由題意知c點處電勢最高,線段ca、cb對應的電勢差分別為Uca＝16V,Ucb＝9V.如圖9所示,可把線段ca平均分為4等份,每份長度為2cm,對應的電勢差為4 V;把線段cb平均分為3等份,每份的長度為2cm,對應的電勢差為3V.由于數字4與3的最小公倍數為12,則可在線段ca上取3等份,ce＝6cm,Uce＝12V;延長線段cb至f點,使得bf＝2cm,可知cf＝8cm,Ucf＝12V.e、f兩點為等勢點,連接ef為一條等勢線,可知ef＝10cm.

圖9

過c點畫一條直線垂直于ef,得到一條電場線.設電場線與等勢線的交點為g,利用兩種方法計算直角△ecf的面積,可知,因此電場強度為.

由此可知選項A 正確.根據“長度相等的平行線段兩端的電勢差相等”可知,坐標原點處的電勢為1V,選項B正確.電子在a點的電勢能比在b點的高7eV,選項C錯誤.電子從b點運動到c點,電場力做的功為W＝eUbc＝9eV,選項D 正確.答案為A、B、D.

在對線段ca與cb進行均勻分割后,為了找到等勢點,需延長線段cb,具有一定的技巧性;在計算電場線方向線段長度時,需利用兩種方法計算直角三角形的面積.此外,還有一種方法,即在線段ca上找到一點b′與點b處的電勢相等,使得Ucb′＝9V,需根據同一直線上兩點之間的電勢差跟距離成正比計算線段cb′的長度以及利用勾股定理計算線段bb′的長度,推導過程比較煩瑣.

方法2利用場強分量合成法

在已知三點中,c點電勢最高,計算兩個垂直方向的電勢差分別為Uca＝16V,Ucb＝9V.可知場強在x、y軸方向的分量大小分別為,,則合場強大小為E＝,選項A 正確.其他選項的判斷同方法1.

在計算兩個相互垂直方向的場強分量大小時,無須考慮數值中帶有負號,但若計算場強分量,則需考慮數值帶負號,用來表示方向.

例5如圖10所示,4 個點a、b、c、d分布在圓O上,ab＝5cm,cd＝8cm,∠bac＝60°,勻強電場的方向平行于圓所在的平面.已知點a、b、d的電勢分別為φa＝46 V,φb＝21V,φd＝10V.求該勻強電場的方向以及場強的大小.

圖10

由題意知Oa＝ab＝5cm,則ac＝10cm.a點電勢最高,連接線段ad,構成直角三角形,如圖11 所示.由于cd＝8cm,可知ad＝6cm,∠dac＝53°.需均勻分割線段ad與ab,以尋找等勢點.線段ad兩端的電勢差為36V,線段ab兩端的電勢差為25V.可將線段ad均分為6等份,每小段對應的電勢差為6V,可知Uae＝30V.把線段ab均分為5等份,每小段對應的電勢差為5V.數字5與6的最小公倍數為30,則可在線段ad上取5 等份,Uae＝30 V,對線段ab延長1cm 至點f,可知Uaf＝30V.因此點e、f是一對等勢點,連接線段ef得到一條等勢線.

圖11

下面利用假設法確定電場線的方向.

假設ac⊥ef,則形成兩個直角三角形,用不同方法分別計算公共直角邊的長度為

由于所得兩個數值相等,因此“假設”成立,即ac⊥ef.可知電場線沿ac方向,從點a指向c.

對于線段af,兩端的電勢差為Uaf＝30V,在電場線方向的長度為l＝0.03m,可知場強大小為

要注意兩個等勢點不一定都在線段上,有時可能位于延長線上.雖然在尋找等勢點時也可以再把線段ae平分,中點g與線段ab的五分之三分點h是一對等勢點,但是在作圖方面不理想.對于電場線方向的確定,關鍵是利用假設法來證明ac⊥ef.

綜上可見,對有關“勻強電場中三個點的電勢求場強”一類問題,通常可有兩種求解方法,其一是電勢差分割法,需對共同起點的兩條線段進行均勻分割,由此求出等勢點,畫出等勢線和電場線,即可求出場強大小和方向;其二場強分量合成法,實際上是正交分解法,即由相互垂直的兩條線段對應的電勢差求出場強的兩個相互垂直的分量,利用矢量直角三角形求出場強的大小和方向.第一種方法普遍適用于有關各種三角形頂點的電勢問題;第二種方法只適用于有關直角三角形頂點的電勢問題,若沒有直角三角形,則需作某一線段的垂線,即輔助線,確定兩個相互垂直的方向.兩種方法繁簡不同,例如,對于例1、2、5的解答,利用電勢差分割法比較簡單,但不適用于場強分量合成法;對于例3、4的解答,利用場強分量合成法比較簡單,而利用電勢差分割法則難度較大.總之,需對各種不同的物理問題進行具體分析,靈活選擇合適的方法,可使問題迎刃而解.

(完)