采用m函數定義Sturm Liouville問題的廣義特征多項式

摘要：分析SturmLiouville問題的m函數對譜參數與端點的導數，以此推出譜參數分段單調性。通過m函數定義SturmLiouville問題廣義特征多項式，從而得出SturmLiouville問題譜對參數、邊界的導數簡短證明。

關鍵詞：m函數；SturmLiouville問題；廣義特征多項式

充分考慮SturmLiouville方程，在1910年H.Weyl將SturmLiouville方程劃分為極限圓型與極限點型，極限圓型值指的是任意λ∈C/R，SturmLiouville方程所有解都為平方可積；極限點型指的是對于任意λ∈C/R，方程有且只有一個解為平方可積。有研究人員在此基礎上設置了有效處理工具，也就是TitchmarshWeylm（λ）理論，利用m（λ）函數性質對奇異SturmLiouville問題譜問題進行討論，對于m（λ）函數具有重大研究意義。

在t=0點附加邊值條件：

y（0）sina-y’（0）cosa=0

-π/2<a≤π/2

以此構成SturmLiouville邊值問題，分析不同函數中的m（λ）函數比較定理。公式分別為Pro（q）和（1）q，以下給出結論：

充分考慮a=π/2時候的兩個奇異邊值問題Pro=（q1），Pro（q2），為右定且為極限點型，并且使所對應m（λ）函數作為m1（λ）與m2（λ）。-∞<λ0<λ1<…<λn<…為m1（λ）的極點；另外，-∞<u0<u1<…<un<…為m2（λ）的極點。

如果q1（t）≤q2（t），a.e.t∈（a，∞）

其次，（λk-1，λk）⌒（uk-1，uk）=（ξk-1，ξk）≠￠的時候，在k=0的時候，λ-1，u-1，ξ-1指的是-∞，那么（ξk-1，ξk）為必有的：

m1（λ）≥m2（λ）

1有限譜問題分析

微分算子指的是線性算子中使用比較廣泛的算法，也就是描述固體熱傳導問題的數學模型從而產生的SturmLiouville問題研究，因為實際使用背景，促進了微分算子譜理論的發展。經典SturmLiouville問題被廣泛使用，研究領域從正則問題轉變到奇異問題。一般來說，經典SturmLiouville問題或者高階微分方程解和解的擬導數在定義區間中為絕對連續函數，但是此條件有很多數學物理或者工程技術領域中的問題無法滿足，比如內部存在不連續性問題。此問題指的是微分方程解或者解的擬導數在微分算子定義區間中的發生間斷，為了解決此問題，要在不連續點處附加條件，也就是轉移條件。

簡單來說，SturmLiouville譜問題指的是通過譜數據得出算法的形式，此問題在數學、電子、物理和其他自然科學分支中使用。逆譜問題對于解決數學物理中非線性發展方程尤為重要，針對一般經典SturmLiouville問題來說，特征值個數是無窮盡的。但是有研究人員提出，在方程中系數滿足部分條件的時候，SturmLiouville問題存在有限個特征值。此類有限譜問題研究和矩陣特征值問題具有密切的關系，矩陣特征值問題為代數理論或者矩陣理論主要研究方向，此問題被廣泛應用到力學、光學、結構設計等方面。另外，部分特殊矩陣問題的使用前景更加廣泛，比如Jacobi矩陣在生物學中的使用背景就是物種遷移優化問題。針對矩陣特征值逆向問題來說，相關人員給出了逆矩陣特征值的問題起源與結論。無窮維矩陣特征值問題被廣泛應用到生物統計學中，還是代數問題中的主要研究方向，包括動力系統紅的熵、流、穩定性等。

以此認為，不連續SturmLiouville問題逆譜問題就是：針對兩組交錯實數，存在一類不連續SturmLiouville問題，使得到的給定兩組實數為SturmLiouville方程在不同兩組邊界條件中的特征值，使用的方法也就是Atinson型SturmLiouville問題和矩陣特征值問題等價性。

2逆結點問題

通過物理學角度分析，逆結點問題指的是在本征擺動過程中的一束光振幅為零的位置，對此束光的密度進行確定。逆結點利用特征函數節點對算子重構，一般特征函數零點可測，特征方程標準常數無法測量，所以可以通過結點作為數據重構邊界條件和勢函數。

McLaughlin屬于充分考慮一維Schrodinger方程逆結點的數學家，其證明只需要特征函數節點稠密子集就能夠對SturmLiouville問題進行確定的勢函數，從而得出唯一性定理，對兩個SturmLiouville問題進行考慮：

y（x）+［λ-qi（x）］y（x）=0，i=1，2

邊界條件為：

y（0）=y（1）=0

此問題為勢函數qi的第n個特征函數結節點，假設對于每個n能夠尋找j∈{1，2，…，n-1}，結節在公共集［0，1］中為稠密的，那么q1=q2，a.e.［0，1］。之后，Hald等人用同樣的方法使唯一性定理推廣到一般邊界條件中，并且創建重構算法。Yang使用McLaughlin方法對唯一性結論進行證明，并且得出逆結點問題的顯式解。

在20世紀50年代后，人們發現在很多工程領域中的SturmLiouville問題譜參數會出現在方程和邊界條件中。針對邊界條件帶參數SturmLiouville問題是通過熱力學、波動力學等偏微分方程中利用分離變量得出的，針對具備參數多項式邊界條件SturmLiouville問題，充分考慮：

-y（x）+q（x）y（x）=λy（x），x∈［0，1］

公式中q（x）為實值連續函數，節點稠密子集可唯一確定邊界條件參數和勢函數，但是并沒有給出利用節點重構。Freiling等人使參數邊界條件在任意實系數多項式，利用離散譜數據、Weyl函數重構算子，并且得出重構算法。另外，還得出帶參數邊界條件SturmLiouvlle問題特征函數漸進估計式。

以上述結論表示，假如在參數邊界條件中的整個區間節點稠密子集為唯一確定勢函數與邊界條件。因為Yang所證明的分離型邊界條件下部分區間中的結點信息對算子確定。

3m函數

假設v（x，λ）方程能夠滿足初始條件y（a）=1，y1（a）=h的解，那么通過常微分方程對于參數具備連續依賴性。定義xb處的WrylTitchmarshm函數：

m（λ；b）：=－v′（b，λ）v（b，λ）（1）

其中m（λ；b）為半純函數。

區間［a，b］為邊條件（1.2）與y（b）=0構成的自伴SturmLiouville問題譜為{λDn|n=0，1，…}，其中λDn為實數，并且為v（b，λ）的全部零點，也就是m（λ；b）的全部極點。

對于固定b，m（λ；b）為Herglotz的函數，指的是在上半復平面的半純函數：

∫ba（v（x，λ））v-（x，λ）－v'（x，λ）v-（x，λ））'dx=∫ba（v（x，λ））v-″（x，λ）－v″（x，λ）v-（x，λ））dx

=∫ba（v-（x，λ）［－v″（x，λ）+q（x）v（x，λ）］－v（x，λ）［－v-″（x，λ）+q（x）v-（x，λ）］）dx

=（λ－λ-）∫bav（x，λ））v-（x，λ）dx=2iλ‖v‖2L2［a，b］（2）

另一方面：

∫ba（v（x，λ））v-′（x，λ）－v′（x，λ）v-（x，λ））′dx=［v（x，λ）v-（x，λ）-v′（x，λ）v-（x，λ）］ba

=v（b，λ）v-（b，λ）－v′（b，λ）v-（b，λ）

=v（b，λ）v-（b，λ）（－v′（b，λ）v（b，λ）+v′（b，λ）v（b，λ））

=|v（b，λ）|2（m（λ；b）－m（λ；b））

=2i|v（b，λ）|2m（λ；b）（3）

通過以上公式得到：

m（λ；b）λ=‖v‖2L2［a，b］|v（b，λ）|2>0

因為Herglotz函數會被極點，留數和沿虛線軸趨于無窮時漸進性唯一確定，在對逆譜問題研究過程中為主要性質。

4主要結果

定理1：如果常數－ba∈（λDn，λDn+1），公式中的λDn與λDn+1指的是右端取Dirichlet邊條件的SL問題某相鄰特征值，記作為λD-1=—∞，那么：

λ0<λD0<λ1<λD1<…<λn-1<λDn-1<λn<λ-ba<λn+1<λDn<λn+2<…

如果常數-ba=λDn，也就是aλDn+b=0，那么：

λ0<λD0<λ1<λD1<…<λDn-1<λn<λ-ba=λn+1=λDn<λn+2<…

證明：因為函數m（λ）在區間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…）中連續，所以F（λ）在區間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）和（λDk+1，λDk）中也連續。通過a>0得知，－1aλ+b在（-∞，-ba）和（-ba，+∞）中單調遞增：

limλ→－ba－0－1aλ+b=+

（4）

另外，F（λ）區間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）和（λDk+1，λDk）中單調遞增，并且：

limλ→λDn+0F（λ）=－

（5）

所以此連續函數介值定理得到F（λ）在區間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）中有且只有一個零點，通過上述方程生成SL問題特征值。

如果-ba=λDn，那么1aλDn+b=

，m（λDn）=∞，已知-ba=λDn也是SL問題特征值，得證。

定理2：在區間［a，b］中充分考慮m（λ，b）函數，也就是y（t，λ，b）=y1（t，λ）+m（λ，b）y2（t，λ）為方程滿足a點邊界條件m（λ，b）y（a）-y′（a）=0，在b點滿足邊界條件y（b）=0的解，也就是：

λn（b）對固定n相關b的嚴格單減；

在λ∈（-∞，λ0（b））的時候，y（t，λ，b）在（a，b）中設置零點，在λ∈（-∞，λ0（b））的時候，y（t，λ，b）在（a，b）中的零點為k。

證明：先證明第一個部分：通過{λn（b）}定義得到y2（b，λn（b））=0，并且y2（t，λ）在a點能夠滿足y（a）=0，y’（a）=1。通過Prufer變換得知，y2（t，λn（b））處于a點輻角為0，在b點輻角為（n+1）π。假設b2>b1，因為y2（t，λn（b1））=0，y2（t，λn（b2））=0，所以（b1，λn（b1））=（n+1）π。

定理3：充分考慮a=π/2奇異的邊值問題Pro（q1），假設m1（λ）的極點可排列：

-∞<λ0<λ1<…<λn

另外，u（t，λ）=θ（t，λ）+m1（λ）ψ1（t，λ）為滿足方程初始條件的唯一平方可積解，那么在λ∈（-∞，λ0）的時候，u（t，λ）在（a，∞）中沒有零點。在λ∈（λk-1，λk）的時候，u（t，λ）在（a，∞）中零點有k個。

證明：在不同邊界條件中，相同方程特征值相互交錯，關系式為：

m（λ，a）=m（λ，β）+tan（β－a）1－tan（β－a）m（λ，β）（6）

通過此公式得到β=π/2，得出：

m（λ，a）=m（λ）+cota1－cotam（λ）（7）

在-β/2<a≤β/2，a≠π/2的時候，m1（λ）=tana的λ值就是Pro（q1）特征值。在a=π/2的時候，m1（λ）函數處于（-∞，λ0）還是從-∞遞增得到的。對任意所取的常數T，-∞<T<∞，在m1（λ）函數每個區間都有1個λ，m1（λ）=T。推出λk（0≤k≤n）為特征值，存在k個零點，之后通過T任意性得證。

定理3：對于固定h和實數a>0與b，{λn}+∞n=0與{λDn}+∞n=0為唯一確定q（x）

證明：通過定理1證明，得證。

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作者簡介：陸騫（1987—），男，漢族，江蘇無錫人，本科，講師，研究方向：高等數學、高職數學教育。