有理數定義爭論之我見

摘"要：最新修編的人教版初中數學教材將有理數的定義，由之前的“整數和分數統稱為有理數”改為“可以寫成分數形式的數稱為有理數”。但是，新定義并不比舊定義嚴謹、好懂。由此，根據給數學概念下定義的常用方法、基本原則，從數學科學和數學教學的角度，分析各種有理數定義的合理性與局限性。最后，建議教材下次修編時把有理數的定義改為：兩個整數比的數叫作有理數。并說明：按照約簡后分母是否為1的標準，有理數被分成整數和分數。

關鍵詞：中學數學；有理數；數學概念；定義；函數

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》修編的人教版初中數學教材（以下簡稱“新教材”）將有理數的定義，由之前的“整數和分數統稱為有理數”改為“可以寫成分數形式的數稱為有理數”，在中小學數學教育界引起了一波爭論。對此，教材主編的解釋是：之前的定義不夠嚴謹。^［1］本文就此談談筆者的一些想法，就教于各位方家。

一、 新舊教材的有理數定義之爭

舊定義“整數和分數統稱為有理數”有何不嚴謹？

是整數和分數沒有區別？其實，分數的產生有三個路徑。一是均分的需要：把整體1平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數就是分數。二是除法的需要：正整數M除以正整數m，結果不是整數時，就需要用分數Mm來表示，如11÷3=113=3+23。三是度量的需要：度量一個比度量單位還小的對象時，為了使度量更精確，需要把一個度量單位再等分成若干份，以其中的一份為新的度量單位——分數單位，如110、1100、160等。分數產生的這三個路徑說明，分數不是整數，其分母不等于1。

是有理數不能分成整數和分數？其實，數學概念分類（即邏輯學中的劃分）的標準不是唯一的，只要滿足四個條件即可：（1） 劃分必須是相稱的；（2） 每一次劃分只能用一個根據；（3） 劃分的子項必須互相排斥；（4） 劃分不能越級。對有理數，按照約簡后分母是不是1的標準，可以分成整數（整數可以看成是分母為1的分數）和分數；按照正負性質的標準，可以分成正有理數、負有理數和零，等等。這些分類完全符合概念劃分的4個條件。

實際上，新定義中的“可以寫成分數形式”這一表述是不清楚的，因此不嚴謹。首先，什么叫“可以寫成”？怎么判斷“可以寫成”“不可以寫成”？“你不可以寫成”不代表 “別人也不可以寫成”。其次，學生會問老師：什么叫作“分數形式”？“分數形式”是數學概念嗎？“分數形式的數”是不是像分數那樣的數？整數是不是像分數那樣的數？2可以寫成42，它是不是像分數那樣的數？42是不是分數？2是不是分數？……

如此看來，新教材中有理數的定義反而更不嚴謹，更容易引起這些誤解：整數和分數沒有區別，分數包含整數。而且，新教材中有理數的定義更不利于教學：教學時，教師還要解釋很多諸如“什么是分數形式？”“π2是不是分數形式？”的問題。這違反了數學大道至簡的原則。

二、 給數學概念下定義的常用方法

內涵法。給數學概念下定義，最常用的方法是內涵法，即“種+類差”：被定義的概念（類）=最鄰近的上位概念（種）+類差。“類差”就是被定義的概念在它最鄰近的上位概念里區別于其他類概念的本質屬性。例如，“鄰邊相等”的“平行四邊形”叫作“菱形”；“按一定順序排列”的“一列數”叫作“數列”；“無限不循環”的“小數”叫作“無理數”。

外延法。內涵法的局限是，最鄰近的上位概念的邊界不可能無限擴大，最終只能回到原始概念。為了克服這一局限性，在數學上還使用揭示概念外延的方法來給概念下定義：被定義的概念=類概念+類概念+類概念+…。例如，有理數和無理數統稱為實數；圓、橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線。我國的老教材以及現在各種版本新教材中的絕大多數，都延用這種簡明的揭示外延的方式來給有理數下定義：整數和分數統稱為有理數。

構造法。構造法也叫發生定義法，即通過被定義概念反映對象的發生過程或形成的特征描述來揭示被定義概念的本質屬性的定義方法。它是一種特殊的“種+類差”方法。定義中的類差是描述被定義概念的發生過程或形成的特征，而不是揭示被定義概念特有的本質屬性。例如，平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。由于初中沒有集合的概念，為了便于學生理解，只能用一個不嚴謹、不精確的非數學概念：軌跡。但是，到了高中，學生學習了“集合”，還把橢圓定義為“平面上到兩個定點的距離之和為定值（該定值大于兩點之間的距離）的點的軌跡”，就不太合適了：應該把“軌跡”改為“集合”。要講曲線與方程之間的關系——充要條件，就應該定義“曲線”為“點集”。如此，求曲線的方程實質上就是求該曲線上任意一點的坐標滿足的關系式。為此，需要建立直角坐標系，設出點的坐標，抓住該曲線上的點滿足的幾何不變性，將此幾何性質代數化得出方程，最后說明這個方程就是所求的曲線方程。^［2］由此，可以培養學生數學思維的精確性和嚴謹性。

規定法。對有些概念，不易揭示它的內涵，就以客觀實踐為基礎，直接指出它的外延，將其規定下來。如此定義概念的方法叫作規定法。例如，零指數、負指數以及零的階乘的定義，規定：a⁰=1（a≠0）；a^-m=1a^m（a≠0）；0！=1。教學用規定法定義的概念時，一要講好如此規定的必要性，二要講好如此規定的合理性^［3］，否則學生會覺得數學不講道理：想怎么規定就怎么規定，想怎么令就怎么令，想怎么設就怎么設。

三、 數學定義的基本原則

數學定義的基本原則有：

（1） 定義必須是相稱的：定義的內容必須與所定義的概念相符，不能出現定義過寬或過窄的情況。（2） 定義不得循環：定義項不能直接或間接地包含被定義項，以避免出現同語反復或循環定義的邏輯錯誤。（3） 定義一般不用否認形式：定義應該使用肯定的語句形式，避免使用否定形式，因為否定形式只能說明概念不具有某些屬性，不能直接說明它具有什么屬性。但是，考慮到學生認知的因素，對那些內涵無法揭示、學生難以理解的概念，在數學教育界，允許降低嚴謹性和精確性，使用否定語來定義概念。例如：無限不循環小數叫作無理數。（4） 定義應當是確定的、簡明的：定義應該明確且簡潔，避免使用含混不清或復雜的表述。上述分析已經表明：“可以寫成分數形式的數稱為有理數”這一定義不符合此條原則。

根據以上原則，這里進一步分析人教A版高中數學教材中函數的定義：一般地，設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作y=f（x），x∈A。

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數的值域（range）。

首先，“設A、B是非空的實數集”有兩個缺陷：（1） 學生很容易認為A、B都是實數集R。（2） 在數學上，函數分為實變函數（以實數為自變量）和復變函數（以復數為自變量），因此，之前很長一段時間內使用的高中數學教材說的都是“A、B是非空的數集”；這里把“非空的數集”修改為“非空的實數集”，就犯了定義過窄的錯誤；從聯系、統一的角度看，到了高中，還把函數分成當下（高中）的和未來（大學）的，不利于引領學有余力的學生進一步學習，不利于拔尖創新人才的培養。

其次，把“對應法則f”修改為“對應關系f”更是很不恰當的：函數就是一種對應關系，怎么能用“對應關系”來定義“對應關系”？這不是循環定義嗎？學過現代數學的人都知道，關系的定義是：設A、B是任意兩個集合，R是笛卡兒積A×B的一個子集，則稱R為集合A到集合B的關系。而函數則是集合A到集合B的一個關系F，它是序對的集合， 其中不含有第一元相同而第二元不同的序對。^［4］

再次，“稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數”更是讓人云里霧里：憑空而降的“f：A→B”是什么東西？它是函數的種概念嗎？它只是一串符號啊！

相比之下，北師大版高中數學教材中函數的定義就更恰當一些：

給定實數集R中的兩個非空數集A和B，如果存在一個對應關系f，使對于集合A中的每一個數x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就把對應關系f稱為定義在集合A上的一個函數，記作y=f（x），x∈A。其中集合A稱為函數的定義域，x稱為自變量，與x值對應的y值稱為函數值，集合{f（x）|x∈A}稱為函數的值域。

實際上，理解函數概念應該抓住以下幾個標準：（1） 函數是兩個非空數集之間的一種對應關系——在一個集合中任意取定一個數，總可以在另一個集合中找到唯一確定的數與它對應；（2） 函數概念中兩個變量的符號不是固定不變的；（3） 函數其實就是一個系統（一臺機器），它由五個要素構成：兩個變量、兩個非空數集、對應法則f；（4） 不能把函數值f（x）當成函數，也不能把對應法則f當成函數；（5） 可以說一個變量是另一個變量的函數，但是不能把變量x、y當成函數，因為函數不是變量，而是一個系統。^［5］

四、 有理數和無理數的科學定義

在抽象代數中，有理數域Q=aba、b∈Z，b≠0，它是由所有整數的商（除數不為0）構成的集合。這里的商指的是一個整數除以另一個非零整數所得的數。因此，在數學上，一般把能表示為整數比的數叫作有理數，不能表示為整數比的數叫作無理數。為了避免否定語“不能表示”，也為了避免數系擴充到復數后帶來的不嚴謹，在高等數學中，一般用有理數列來逼近無理數：某個滿足柯西收斂條件的有理數列的極限。

數學概念教學的本質是幫助學生構建起良好的概念圖式。良好的數學概念圖式的標準是：看法多樣、準確、深刻。^［6］在基礎教育階段，無理數是一個講不清楚，只能“混而不錯”（蘇步青語）的概念。為了形成良好的無理數概念圖式，筆者要求數學師范生具備如下看法：（1） 開不盡的數，如2、23、35等；（2） 負無理數，如-33、－37、－322等；（3） 超越數，如π、e、lg 2等；（4） 無限不循環小數，如4.12112111211112…等；

（5） 無限的連分數；（6） 絕大多數三角函數值；（7） 非有理數之實數；（8） 不能寫成兩個整數之比；（9） 某個滿足柯西收斂條件的有理數列的極限；（10） 比有理數多得多。^［7］

五、 結束語

數學這門學科有別于自然科學和社會科學的特點是精確、嚴謹、簡潔、概括、聯系、統一。^［8］人教版初中數學新教材修改了有理數的定義，其初衷是好的：想體現數學精確、嚴謹，尤其是聯系、統一的特點。遺憾的是，沒有修改好，出現了新問題。

值得一提的是，國內，把有理數定義為分數形式，人教版新教材不是第一家，蘇科版舊教材曾經做過嘗試：“我們把能夠寫成分數形式mn（m、n是整數，n≠0）的數叫作有理數。”這一表述比人教版新教材的表述更為嚴謹、準確。但是，在一線教師的實際教學中，出現了前文所述的理解問題。因此，蘇科版新教材把有理數的定義重新改回傳統的外延定義：“整數和分數統稱為有理數。”

最后，建議教材下次修編時把有理數的定義改為：兩個整數比的數叫作有理數。并說明：按照約簡后分母是否為1的標準，有理數被分成整數和分數。

參考文獻：

［1］ 佚名.數學教材“有理數定義”更改，老師和家長都懵了：是預防自學嗎？［EB/OL］.（2024-09-09）［2024-09-17］.https：//www.163.com/dy/article/JBM9B83E0536SQ16.html.

［2］ 何小亞，李湖南，羅靜.學生接受假設的認知困難與課程及教學對策［J］.數學教育學報，2018（4）：25-30.

［3］［7］ 何小亞.數學學與教的心理學（第二版）［M］.廣州：華南理工大學出版社，2016：175，178.

［4］ 何小亞.現代數學思想下的函數概念［J］.中學數學，1990（8）：1-2.

［5］ 彭曉燕，何小亞.立足教材"凸顯本質——《對數函數的圖像與性質》的教學新設計［J］.中學數學，2019（23）：3-6.

［6］ 何小亞，姚靜.中學數學教學設計（第三版）［M］.北京：科學出版社，2020：47.

［8］ 何小亞.數學是什么？［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（23）：1.