幾何非線性黏性阻尼隔振系統(tǒng)的傳遞率特性?

劉海超， 閆 明， 孫自強(qiáng)， 金映麗， 王開平， 惠安民

（1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 沈陽(yáng)，110870）

（2.中國(guó)刑事警察學(xué)院刑事科學(xué)技術(shù)學(xué)院 沈陽(yáng)，110854）

引 言

隨著中國(guó)艦船制造技術(shù)的快速發(fā)展，艦載設(shè)備越來(lái)越精密化、智能化，但其所處的工作環(huán)境卻日益復(fù)雜與嚴(yán)酷，這對(duì)艦載設(shè)備隔振裝置的設(shè)計(jì)提出了更高的標(biāo)準(zhǔn)與要求［1-2］。由于艦船上多為大型重載設(shè)備，所以隔振器應(yīng)該具有更高的承載能力和更低的隔振頻率，而線性隔振器已經(jīng)不能滿足工程實(shí)際需求，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)非線性隔振系統(tǒng)展開了廣泛而深入的研究。

Brennan 等［3］采用諧波平衡法求解具有軟化和硬化的Duffing 隔振系統(tǒng)響應(yīng)方程，研究了跳降頻率和跳升頻率與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系。張小龍等［4］推導(dǎo)了Duffing 型隔振系統(tǒng)跳躍頻率和力傳遞率的計(jì)算公式，分析了隔振系統(tǒng)主要參數(shù)對(duì)力傳遞率的影響規(guī)律。文獻(xiàn)［5-7］采用理論、仿真和試驗(yàn)的方法對(duì)一類準(zhǔn)零剛度隔振器的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，準(zhǔn)零剛度隔振器的高靜低動(dòng)特性使隔振系統(tǒng)具有更高的承載能力和更優(yōu)的隔振帶寬，但只適用于小幅振動(dòng)。Sun 等［8-9］基于剪式結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種新型非線性隔振器，進(jìn)一步研究了隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，但這種隔振器會(huì)導(dǎo)致被隔振設(shè)備重心升高。文獻(xiàn)［10-11］以實(shí)測(cè)動(dòng)態(tài)加載遲滯曲線為基礎(chǔ)，通過(guò)模型參數(shù)識(shí)別建立了膠質(zhì)阻尼隔振器力學(xué)模型，并對(duì)其隔振性能進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果表明，膠質(zhì)阻尼隔振器具有良好的低頻隔振性能。

非線性剛度雖然有利于提高隔振系統(tǒng)的承載能力，但常常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍、分岔和混沌等不穩(wěn)定現(xiàn)象，目前常采用提高阻尼來(lái)改善隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能。Sharma 等［12］分析了非線性阻尼對(duì)強(qiáng)迫達(dá)芬系統(tǒng)的分岔與混沌特性的影響，結(jié)果表明，非線性阻尼能夠降低系統(tǒng)首次進(jìn)入混沌狀態(tài)的臨界值，增加發(fā)生混沌的參數(shù)空間，影響系統(tǒng)進(jìn)入混沌的通道。Ho 等［13］采用輸出頻響函數(shù)法研究非線性剛度和非線性阻尼對(duì)Duffing 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的影響，得知非線性阻尼對(duì)抑制隔振系統(tǒng)共振峰值、提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能要遠(yuǎn)優(yōu)于線性阻尼。文獻(xiàn)［14-17］采用不同的理論計(jì)算方法研究了立方阻尼對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率和位移傳遞率的影響，結(jié)果表明，立方阻尼能夠有效降低共振區(qū)傳遞率峰值，但是會(huì)導(dǎo)致高頻區(qū)隔振性能變差。Laalej 等［18］利用主動(dòng)試驗(yàn)裝置對(duì)立方阻尼隔振系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，得出立方阻尼隔振器在一些特殊情況下才具有優(yōu)勢(shì)的結(jié)論。王勇等［19］采用主動(dòng)控制方式將立方速度反饋控制策略引入到非線性隔振系統(tǒng)中，不僅降低了主共振峰處的幅值，而且高頻傳遞特性得到有效改善。但是，主動(dòng)控制存在成本較高、程序繁瑣以及可靠性低等問(wèn)題。

為了分析非線性隔振系統(tǒng)振動(dòng)特性，筆者在考慮系統(tǒng)干摩擦阻尼的基礎(chǔ)上，以典型的Duffing 系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用線性黏性阻尼器與隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方向垂直布置的方式，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)阻尼的幾何非線性，即在豎直運(yùn)動(dòng)的隔振系統(tǒng)中添加水平線性黏性阻尼器，使二者呈垂直的幾何關(guān)系，當(dāng)隔振系統(tǒng)上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平黏性阻尼器在豎直方向產(chǎn)生的阻尼力會(huì)隨著黏性阻尼器與水平方向的夾角變化而變化，并隨相對(duì)位移的增加而增大。采用諧波平衡法求解了非線性隔振系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，對(duì)比分析了線性阻尼、庫(kù)倫阻尼和幾何非線性阻尼對(duì)系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率的影響規(guī)律，進(jìn)一步分析了激勵(lì)幅值對(duì)不同阻尼隔振系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，并通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證了幾何非線性黏性隔振系統(tǒng)的傳遞率特性規(guī)律。

1 隔振系統(tǒng)模型的建立

1.1 力學(xué)模型

隔振系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1 所示，其中：M為設(shè)備的質(zhì)量；K1，K2分別為隔振器垂向線性剛度系數(shù)和非線性剛度系數(shù)；C1，C2分別為垂向和水平線性黏性阻尼系數(shù)；Ff為垂向庫(kù)倫阻尼力；D為水平阻尼器初始長(zhǎng)度；Y（t），X（t）分別為基座和設(shè)備的絕對(duì)位移。

圖1 隔振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of vibration isolation system

1.2 數(shù)學(xué)模型

隔振系統(tǒng)隨基礎(chǔ)激勵(lì)做受迫振動(dòng)，假設(shè)基礎(chǔ)激勵(lì)為諧波信號(hào)，即Y（t）=Bsin（ωt-θ），定義被隔振設(shè)備與基座的相對(duì)位移Z（t）=X（t）-Y（t）。隔振系統(tǒng)的彈性力和阻尼力分別為

當(dāng)Z≤0.2D時(shí)，利用泰勒級(jí)數(shù)展開將式（2）簡(jiǎn)化為

因此，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

定義式（5）中的無(wú)量綱參數(shù)為

進(jìn)行如下變換

得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的無(wú)量綱形式為

假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一次近似解為

同時(shí)，利用傅里葉展開對(duì)sgn 函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，有

將式（8）、式（9）代入式（7），得到

根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)關(guān)系，有

將式（11）、式（12）代入式（10），得到

2 傳遞特性

絕對(duì)傳遞率和相對(duì)傳遞率是評(píng)價(jià)隔振系統(tǒng)隔振性能的重要指標(biāo)。絕對(duì)傳遞率是指設(shè)備的絕對(duì)位移與激勵(lì)幅值的比值；相對(duì)傳遞率是指設(shè)備和基座之間的相對(duì)位移（即隔振系統(tǒng)彈性元件的變形量）與激勵(lì)幅值的比值。

由式（13）可得

相對(duì)傳遞率公式為

由絕對(duì)位移與相對(duì)位移的關(guān)系可得

因此，絕對(duì)傳遞率公式為

2.1 阻尼參數(shù)對(duì)傳遞率特性的影響

非線性隔振系統(tǒng)可以根據(jù)彈性元件的力學(xué)特性分為軟特性和硬特性隔振系統(tǒng)。假設(shè)彈性元件的恢復(fù)力為F（Z），形變量為Z，當(dāng)dF/dZ嚴(yán)格單調(diào)遞減時(shí)，彈性元件具有軟特性；當(dāng)dF/dZ嚴(yán)格單調(diào)遞增時(shí)，彈性元件具有硬特性。非線性彈性元件力學(xué)特性如圖2 所示，其中：曲線b所示系統(tǒng)為軟特性隔振系統(tǒng)；曲線a所示系統(tǒng)為硬特性隔振系統(tǒng)。

圖2 非線性彈性元件力學(xué)特性Fig.2 Mechanical characteristics of nonlinear elastic elements

選定隔振系統(tǒng)非線性剛度ρ=±0.02（正負(fù)號(hào)分別代表硬特性和軟特性隔振系統(tǒng)），振動(dòng)激勵(lì)幅值b=1.0，分析隔振系統(tǒng)的線性阻尼ξ1、庫(kù)倫阻尼λ和幾何非線性黏性阻尼η單一參數(shù)對(duì)軟、硬特性隔振系統(tǒng)的絕對(duì)傳遞率的影響規(guī)律，如圖3~圖5 所示。

圖3 參數(shù)ξ1對(duì)絕對(duì)傳遞率的影響Fig.3 The influence of parameter ξ1 on absolute transmissibility

由圖3 可知，增加隔振系統(tǒng)線性阻尼ξ1，有效降低了軟、硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)的絕對(duì)傳遞率，減小甚至避免了跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；但隨著線性阻尼的增加，振動(dòng)隔離區(qū)的絕對(duì)傳遞率增加，即高頻隔振性能大幅下降。

由圖4 可知，隨著庫(kù)倫阻尼λ的增加，軟特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)的絕對(duì)傳遞率快速下降，系統(tǒng)穩(wěn)定性得以提高；但硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)絕對(duì)傳遞率下降并不明顯，并且隨庫(kù)倫阻尼的增加，絕對(duì)傳遞率在共振區(qū)均出現(xiàn)了獨(dú)立封閉環(huán)形區(qū)域，即“頻率島”現(xiàn)象，這說(shuō)明系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，且隔振性能較差，只有大幅提高庫(kù)倫阻尼才能使“頻率島”消失。同時(shí)，由于庫(kù)倫阻尼的鎖定作用，絕對(duì)傳遞率起始頻率（逃離頻率）均大于0，并隨庫(kù)倫阻尼增加而向右移動(dòng)。增加庫(kù)倫阻尼雖然有益于降低共振區(qū)傳遞率，但是高頻區(qū)的絕對(duì)傳遞率卻隨之提高，振動(dòng)隔離區(qū)的隔振性能變差。

圖4 參數(shù)λ 對(duì)絕對(duì)傳遞率的影響Fig.4 The influence of parameter λ on absolute transmissibility

由圖5 可知，增加幾何非線性阻尼η，不但使軟、硬特性隔振系統(tǒng)的絕對(duì)傳遞率大幅降低，同時(shí)保證了高頻區(qū)的絕對(duì)傳遞率特性保持不變。因此，幾何非線性阻尼對(duì)降低系統(tǒng)的共振區(qū)傳遞率、提高系統(tǒng)的振動(dòng)性能起到了重要作用。

圖5 參數(shù)η 對(duì)絕對(duì)傳遞率的影響Fig.5 The influence of parameter η on absolute transmissibility

2.2 3 種阻尼對(duì)傳遞率特性影響的對(duì)比分析

為進(jìn)一步分析3 種阻尼對(duì)隔振系統(tǒng)傳遞率特性的影響，以非線性剛度ρ=±0.01、線性阻尼ξ1=0.04 的非線性隔振系統(tǒng)為參考，設(shè)計(jì)3 種阻尼參數(shù)在保證隔振系統(tǒng)共振區(qū)絕對(duì)傳遞率峰值相等的條件下，其軟、硬特性隔振系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率對(duì)比分析，分別如圖6，7 所示。

圖6 軟特性隔振系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率對(duì)比分析Fig.6 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with soft characteristics

圖7 硬特性隔振系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率對(duì)比分析Fig.7 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with hard characteristics

由圖6，7 可知：無(wú)論軟特性還是硬特性隔振系統(tǒng)，在保證共振區(qū)絕對(duì)傳遞率峰值相等的條件下，線性阻尼和庫(kù)倫阻尼的增加均導(dǎo)致了振動(dòng)隔離區(qū)的絕對(duì)傳遞率的增加，高頻隔振性能降低，這對(duì)非線性隔振器設(shè)計(jì)極為不利；而幾何非線性阻尼不僅有效降低了共振區(qū)的絕對(duì)傳遞率，同時(shí)確保了高頻區(qū)良好的振動(dòng)隔離特性。

2.3 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響

激勵(lì)幅值是直接影響隔振系統(tǒng)傳遞特性的重要因素。選取非線性剛度ρ=±0.02，線性阻尼ξ1=0.04，分析激勵(lì)幅值對(duì)庫(kù)倫阻尼和幾何非線性阻尼隔振系統(tǒng)傳遞率的影響，分別如圖8，9 所示。其中，箭頭標(biāo)注方向?yàn)榧?lì)幅值增大的方向。

圖8 激勵(lì)幅值對(duì)庫(kù)倫阻尼隔振系統(tǒng)傳遞率的影響Fig.8 Influence of excitation amplitude on transmissibility of coulomb damping vibration isolation system

由圖8 可知：隨著激勵(lì)幅值的增加，對(duì)于軟特性隔振系統(tǒng)，共振區(qū)絕對(duì)傳遞率峰值逐漸增大；對(duì)于硬特性隔振系統(tǒng)，“頻率島”現(xiàn)象消失，共振區(qū)絕對(duì)傳遞率峰值下降并進(jìn)一步向右彎曲；逃離頻率向左移動(dòng)，無(wú)諧振峰值區(qū)減??；隨激勵(lì)幅值的增加，軟、硬特性隔振系統(tǒng)高頻區(qū)的絕對(duì)傳遞率均有所降低。

由圖9 可知：隨著激勵(lì)幅值的增加，對(duì)于軟特性隔振系統(tǒng)，共振區(qū)的絕對(duì)傳遞率峰值逐漸降低，但會(huì)向左進(jìn)一步彎曲，而且高頻區(qū)的絕對(duì)傳遞率也會(huì)有所下降；對(duì)于硬特性隔振系統(tǒng)，共振區(qū)的絕對(duì)傳遞率峰值同樣會(huì)隨之降低，但變化趨勢(shì)逐漸變緩，同時(shí)高頻區(qū)的絕對(duì)傳遞率基本保持不變。因此，幾何非線性阻尼能夠保證隔振系統(tǒng)在變激勵(lì)幅值環(huán)境中具有較低的傳遞率和較好的高頻隔振性能。

圖9 激勵(lì)幅值對(duì)幾何非線性阻尼隔振系統(tǒng)傳遞率的影響Fig.9 Influence of excitation amplitude on transmissibility of geometrically nonlinear damping vibration isolation system

3 非線性隔振系統(tǒng)振動(dòng)試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)裝置及工作原理

幾何非線性黏性阻尼隔振系統(tǒng)試驗(yàn)裝置如圖10 所示，主要由基座、水平阻尼器支座、導(dǎo)向裝置、傳感器測(cè)量裝置、線性彈簧、垂向黏性阻尼器、質(zhì)量塊、水平黏性阻尼器和磁性彈簧元件等組成。試驗(yàn)裝置工作原理如下：由磁性彈簧元件提供非線性剛度，內(nèi)磁體安裝在豎直連桿上，且連桿端部與基座連接固定，外磁體通過(guò)上、下端蓋與質(zhì)量塊相連并隨之運(yùn)動(dòng)，由于內(nèi)外磁體的磁化方向相反，因此始終存在一個(gè)與質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)方向相同的磁性力作用在質(zhì)量塊上。其中，垂向黏性阻尼器提供垂向阻尼C1，水平阻尼器提供幾何非線性阻尼C2，由試驗(yàn)裝置各部件之間的干摩擦力提供庫(kù)倫阻尼力Ff，采用位移傳感器、加速度傳感器和數(shù)據(jù)采集儀實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集與記錄。

圖10 幾何非線性黏性阻尼隔振系統(tǒng)試驗(yàn)裝置Fig.10 The test device of geometrically nonlinear viscous damping vibration isolation system test device

磁性彈簧元件如圖11 所示，是由2 對(duì)徑向磁化的環(huán)形永磁體組成。磁性彈簧的工作原理、磁性力和磁剛度的計(jì)算方法參見文獻(xiàn)［20］，得到磁剛度Km的近似計(jì)算公式為

圖11 磁性彈簧元件Fig.11 The magnetic spring element

其中：Km1，Km2分別為常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)剛度系數(shù)。

圖10 中線性彈簧的線性剛度KL和磁性彈簧磁剛度的常數(shù)剛度Km1共同提供線性剛度，由此可得

采用垂向液壓振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)，試驗(yàn)臺(tái)基本參數(shù)如下：最大推力為100 kN，正弦掃頻范圍為0.1~160 Hz。試驗(yàn)裝置安裝如圖12 所示。

圖12 試驗(yàn)裝置安裝圖Fig.12 The installation diagram of test device

3.2 振動(dòng)試驗(yàn)及結(jié)果分析

以硬特性隔振系統(tǒng)為例進(jìn)行了定頻振動(dòng)試驗(yàn)，頻率范圍為0.6~24 Hz，頻率間隔為0.6 Hz，非線性隔振系統(tǒng)參數(shù)見表1。分別改變系統(tǒng)線性阻尼C1（ξ1）、幾 何 非 線 性 黏 性 阻 尼C2（η）和 激 勵(lì) 幅 值B（b）的大小，試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算對(duì)比分析如圖13 所示。

表1 非線性隔振系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Non-linear vibration isolation system parameters

圖13 試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算對(duì)比分析Fig.13 The comparative analysis of experimental results and theoretical calculations

由圖13 可知，振動(dòng)試驗(yàn)與理論計(jì)算曲線具有較好的一致性，最大誤差僅為5.43%。對(duì)比圖13（a，b）的 試 驗(yàn) 曲 線可知：當(dāng)ξ1增加 到0.05，或 者η增 加到0.06 時(shí)，系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率峰值下降了相同高度；增加ξ1會(huì)導(dǎo)致高頻隔振性能變差；增加η系統(tǒng)依然具有較好的高頻隔振性能。由圖13（c）可得，隨著激勵(lì)幅值的增加，不僅降低了共振區(qū)傳遞率峰值，而且保證了高頻區(qū)良好的隔振能力，能夠適用于更為復(fù)雜的工作環(huán)境。

4 結(jié) 論

1） 增加系統(tǒng)庫(kù)倫阻尼能夠有效降低軟特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)的傳遞率峰值，但對(duì)硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)傳遞率特性影響較小，而且會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的“頻率島”現(xiàn)象，并導(dǎo)致了振動(dòng)隔離區(qū)絕對(duì)傳遞率增加，高頻隔振性能變差。

2） 增加幾何非線性阻尼不僅有效降低了軟、硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)的傳遞率峰值，而且能確保高頻隔離區(qū)良好的振動(dòng)性能，因此幾何非線性阻尼具有重要的研究?jī)r(jià)值。

3） 系統(tǒng)激勵(lì)幅值的增加導(dǎo)致庫(kù)倫阻尼軟特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)傳遞率峰值增大，硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)傳遞率峰值進(jìn)一步向右彎曲，共振區(qū)隔振性能變差，高頻區(qū)隔振性能保持不變。

4） 增加系統(tǒng)激勵(lì)幅值，幾何非線性阻尼軟特性隔振系統(tǒng)的共振區(qū)和振動(dòng)隔離區(qū)的隔振性能均得到有效提高；硬特性隔振系統(tǒng)共振區(qū)傳遞特性變優(yōu)，且高頻區(qū)傳遞特性保持不變。因此，幾何非線性阻尼使隔振系統(tǒng)適用于更為復(fù)雜多變的振動(dòng)環(huán)境，有效提高了系統(tǒng)的振動(dòng)性能。

5） 定頻振動(dòng)試驗(yàn)進(jìn)一步證明了幾何非線性阻尼能夠有效改善隔振系統(tǒng)共振區(qū)和高頻區(qū)的隔振性能，因此設(shè)計(jì)出阻尼力隨位移變化的新型隔振系統(tǒng)具有重要的研究?jī)r(jià)值與廣闊的應(yīng)用前景。