考慮個體差異效應的高拱壩測點群變形監控?

楊 光， 孫 錦， 趙阿輝， 林海波， 王 琳

（1.華北水利水電大學水利學院 鄭州，450046）

（2.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室 南京，210098）

（3.華北水利水電大學測繪與地理信息學院 鄭州，450046）

引 言

我國西部地區已建或在建一批高拱壩，這些巨型工程既帶來了巨大的效益，也引起了嚴峻的安全問題。由于失事后果的災難性，高拱壩安全受到廣泛和密切的關注［1-2］。變形是高拱壩結構性態動態變化的直觀反映，亦是衡量安全狀況的一項重要指標。采取有效的變形監控措施，有助于技術人員及時捕捉到異常現象，確保工程安全運行［3-5］。

HST 模型［6-7］常用于監控拱壩變形變化，其將拱壩變形歸結為3 個分量：水壓和溫變分量體現了主要荷載作用下的變形瞬時效應；時效分量則反映了徐變、蠕變等因素影響下的變形時變效應。目前，HST 模型已向縱深發展［8］，神經網絡、深度學習等現代數學理論被引入，依托HST 的復合建模、多點建模等新理念也相繼被提出。總體來看，多數研究著重考察了高拱壩單點變形變化，對變形空間分布、各部位變形間相互影響等隱含特征考慮較少，而這些隱含特征卻包含有高價值的狀態信息。

受到邊界約束、結構型式、地質條件、材料性質及荷載的綜合影響，高拱壩變形變化呈現出群體相似特征［9］。與單測點相比，監控變形規律相似的測點群更能如實反映結構的運行狀態。一些學者依據面板數據理論，考慮群體變形相似特征，建立了HST 面板模型［10-11］，盡管取得了一定進展，但仍存在如下不足：①將測點群內個體變形統一解釋為水壓、溫變和時效分量，未刻畫邊界約束等因素的影響，這些因素對個體變形的作用效應存在一定差異，難以理論表征；②與HST 配套使用的置信區間準則［7，12］依據典型小概率原理建立，僅可辨識出單測點的異常變形。

針對上述問題，筆者以變形規律相似的測點群為監控對象，將固定效應和隨機效應［13］引入到HST中，研究考慮個體差異效應的測點群變形分析模型構建方法。在此基礎上，借助多元統計和典型小概率原理，將置信區間向多維置信橢球推廣，探究測點群變形監控準則，并結合工程實例分析，檢驗該監控方法的性能。

1 監控方法

1.1 水壓、溫變和時效面板模型

假設某高拱壩的所有測點已被劃分為若干個變形變化特征相似的測點群，記為G1，G2，…，Gp，…。設m為Gp中監測點的個數，x為Gp中某監測點，n為監測時長，t為監測日期，uGp為Gp的變形監測序列，ux為x的 監測序列，ut，x為x在日期t的監測值。依據面板數據格式［14-15］，uGp可表示為

1.1.1 水壓面板模型

ux的水壓 面板模型u?x，H可表 示為

依據式（2），建立uGp的水壓面板模型u?Gp，H，可表示為

其 中：aGp，H=[a1，Ha2，H…am，H]為 系 數 矩 陣；HGp=為m階分塊矩陣。

1.1.2 溫變面板模型

ux的溫變面板模型記作u?x，S，其表達式為

基于式（4），構建uGp的溫變面板模型u?Gp，S，可表示為

其 中：aGp，S=[a1，Sa2，S…am，S] 為 系 數 矩 陣；tGp=為m階分塊矩陣。

1.1.3 時效面板模型

ux的時效 面板模型u?x，T為

利用式（6），建立uGp的時效面板模型u?Gp，T，其表達式為

其 中：aGp，T=[a1，Ta2，T…am，T]為 系 數 矩 陣；θGp=為m階分塊矩陣。

1.2 HST-FE/RE 面板模型

記aGp為uGp的 固定/隨 機 效應，ax為ux的 固 定/隨機效應，αt，x為ut，x的固定/隨機效應，aGp表示為

HST-FE/RE 面板 模型u?Gp可 表示為

若 對 于 任 意x=1，2，…，m，a1，x=a2，x=…=at，x=…=an，x均成立，則式（9）為固定效應構型；若對于任意x，y=1，2，…，m，ax和ay為相互獨立的正態分布，且滿足期望E(ax)=0，方差VAR(ax)=，則式（9）為隨機效應構型。

本 研 究 利 用Hausman 檢 驗［13，16］決 策HST-FE/RE 構型，采用廣義最小二乘法［17］確定待定系數矩陣aGp，H，aGp，S，aGp，T和aGp，應 用t檢 驗 評 價 因 子 重 要性，并使用復相關系數和剩余標準差評定模型精度。

1.3 置信橢球監控準則

記HST-FE/RE 面板模型對變形數據的擬合序列為，即

殘差序列εGp可表示為

對于任意x，y=1，2，…，m，εx和εy服從一元正態分布且相互獨立。依據多元統計理論［18-19］，εGp服從m元正態分布，其概率密度函數為

ωGp為均值矩陣，表示為

ΨGp為協方差矩陣，表示為

當顯著性水平取α時，存在

置信水平α對應的概率密度函數值記為fα，則存在如下關系

將協方差矩陣ΨGp進行特征值分解，得到特征向量矩陣R與特征值矩陣Λ，即

R為正交矩陣，存在

可得

其中：rx為λx對應的特征向量。

將式（21）代入式（17）中，可得

式（22）的幾何意義為m維概率空間中的置信橢球，球心為ωGp，半軸長為λx f α′，坐標方向為rx。

依據典型小概率原理，設置2 級置信水平α和β，其中α為正常和基本正常的臨界狀態，β為基本正常和異常的臨界狀態，則置信橢球監控準則可表示為

本研究算法流程如圖1 所示。

圖1 算法流程Fig.1 Process of the proposed methodology

2 工程實例

甲高拱壩為混凝土雙曲拱壩，壩頂高程為1 885.0 m，最低建基面高程為1 580.0 m，最大壩高為305.0 m，壩頂寬度為16.0 m，最大跨度為480.0 m，正常蓄水位為1 880.0 m，死水位為1 800.0 m。圖2 為甲高拱壩垂線監測點布置圖，32 個垂線監測點布置在5#，9#，11#，13#，16# 和19# 壩 段，編 號 為No.1~No.32。

圖2 甲高拱壩垂線監測點Fig.2 Observation points of the investigated high arch dam

2.1 變形規律相似的測點群劃分

2014-01-01 至2015-06-30，32 個 測 點 的 徑 向變形及上游水位過程線如圖3 所示，利用文獻［9］的方法劃分變形特征相似的測點群。該方法采用綜合距離衡量變形相似程度，并自下而上劃分測點群，32 個測點的分群過程如圖4 所示。綜合距離與合并次數的關系如圖5 所示。由圖4，5 可知，經過31 次合并，所有測點成為1 個群。在第30 次合并時，綜合距離發生突變，變形規律差異較大的2 個測點群被合并。因此，32 個測點被劃分為3 個變形相似的測點群，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ群。變形規律相似的測點群如圖6 所示，由圖可知：Ⅰ群大致在拱壩上部；Ⅱ群分布在拱壩中部；Ⅲ群位于靠近壩基與近岸山體的部位。不同測點群的徑向變形對比如圖7 所示，Ⅰ群測點的徑向變形如圖8 所示，可以看出：同群測點的變形量級及變化規律相似，如PL5-1 和PL5-2；而異群測點的變形特征差異較大，如PL5-1和PL13-5。

圖3 徑向變形及上游水位過程線Fig.3 Time series of radial deformation and upstream water level

圖4 32 個測點的分群過程Fig.4 Grouping process of the 32 observation points

圖5 綜合距離與合并次數的關系Fig.5 Relationship between the comprehensive distance and combination time

圖6 變形規律相似的測點群Fig.6 Observation point groups with similar deformation behaviors

圖7 不同測點群的徑向變形對比Fig.7 Comparison of radial deformation among observation point groups

圖8 Ⅰ群測點的徑向變形Fig.8 Time series of radial deformation of Group Ⅰ

2.2 Ⅰ測點群變形監控

利用Ⅰ群測點（PL9-1，PL9-2，PL11-1，PL11-2，PL13-1 及PL13-2）的 徑 向 變 形（圖8）和 庫 水 位（圖3）監測資料，建立HST-FE/RE 面板模型。應用STATA 軟件進行Hausman 檢驗，結果顯示，原假設被拒絕，選用固定效應構型。HST-FE/RE 模型系數如表1 所示，Ⅰ群變形監測值、擬合值和殘差如圖9 所示，可知復相關系數為99.875%，剩余標準差為0.016 34，擬合精度較高。HST-FE/RE 模型變形最大變幅中各分量占比如表2 所示，可知最主要的影響因素為水壓，其次為溫變，最后為時效和固定效應。

表1 HST-FE/RE 模型系數Tab.1 Coefficients of the HST-FE/RE model

表2 HST-FE/RE 模型變形最大變幅中各分量占比Tab.2 Component proportions of maximum amplitude of the HST-FE/RE model

圖9 Ⅰ群變形監測值、擬合值和殘差Fig.9 Deformation monitoring values, fitting values and residuals of Group Ⅰ

為檢驗HST-FE/RE 面板模型的性能，與文獻［7］中的HST 模型進行對比分析。圖10 為HST 和HST-FE/RE 的變形預測值，經計算，HST 模型的復相關系數為94.125%，剩余標準差為0.053 14，HST-FE/RE 的擬合精度高于HST。圖11 為HST和HST-FE/RE 的變形預測相對誤差，分別利用HST-FE/RE 和HST 預 測PL9-1 測 點2015-07-01 至2015-07-31 的徑向變形，最大相對誤差分別為3.28%和12.69%，且HST-FE/RE 的相對誤差過程線更平穩。與HST 相比，HST-FE/RE 的預測性能更佳。

圖10 HST 和HST-FE/RE 的變形預測值Fig.10 Deformation prediction results of the HST and HSTFE/RE

圖11 HST 和HST-FE/RE 變形預測相對誤差Fig.11 Deformation prediction relative errors of the HST and HST-FE/RE

依據HST-FE/RE 建模結果，輸出矩陣εGp，計算矩陣ΨGp和ωGp，分別將α和β設置為0.05 和0.01，可在6 維概率空間中構建2 個置信橢球，置信橢球在坐標面上的投影如圖12 所示，其中：實線為正常和基本正常的臨界狀態；虛線為基本正常和異常的臨界狀態。依據置信橢球準則，監控Ⅰ群測點2015-07-01 至2015-07-31 的徑向變形變化處于正常范圍內，其徑向變形監控如圖13 所示。

圖12 置信橢球在坐標面上的投影Fig.12 The projections of confidence ellipsoids on coordinate planes

圖13 2015-07-01 至2015-07-30 徑向變形監控Fig.13 Radial deformation monitoring from 2015-07-01 to 2015-07-30

2.3 討 論

1） 在監控測點群變形變化時，僅用水壓、溫變和時效3 個常規分量難以對模型進行解釋。由于考慮了個體差異效應，HST-FE/RE 的性能優于HST。本研究建立的HST-FE/RE 面板模型適用于分析高拱壩短期變形變化，對于長期變形可以采用分段建模的方式解決。

2） 置信橢球準則是置信區間準則在多維概率空間中的推廣，相較于置信區間準則，置信橢球準則對典型小概率變形的辨識更為嚴格。若測點群變形狀態發生變化，例如：正常→基本正常或基本正常→異常，則表明高拱壩變形群體相似特征發生了不同程度的改變。

3 結 論

1） 布置于高拱壩的測點可劃分為若干個變形規律相似的群體，在刻畫測點群變形變化時，僅采用水壓、溫變和時效分量是不夠的，需將測點群變形的個體差異效應考慮在內。

2） 在建立水壓、溫變和時效面板模型的基礎上，引入FE 和RE 表征個體差異效應，據此提出了HST-FE/RE 面板模型。綜合應用多元統計理論和典型小概率原理，建立了置信橢球準則，實現了測點群變形變化同步監控。

3） 工程實例分析顯示：HST-FE/RE 和HST 變形擬合復相關系數分別為99.875%和94.125%，剩余標準差分別為0.016 34 和0.053 14，HST-FE/RE的擬合精度比HST 高；HST-FE/RE 的相對誤差波動比HST 更為平穩，最大值分別為3.28% 和12.69%，預測性能優于HST；作為置信區間準則在多維概率空間中的推廣，置信橢球準則對典型小概率變形的辨識更為嚴格。因此，將HST-FE/RE 和置信橢球準則相結合監控高拱壩變形變化是可行的，其性能優于常規方法。