銑削工況下考慮結合面的主軸系統動態特性?

姜彥翠， 陳興儒， 羅廣丹， 劉獻禮， 仇 焱

（哈爾濱理工大學先進制造智能化技術教育部重點實驗室 哈爾濱，150080）

引 言

數控機床是現代生產、制造過程中的重要加工設備，其性能優劣主要是根據加工工件的尺寸精度和表面加工質量來評定的，這些因素均受到數控機床主軸系統動態特性的影響。主軸系統結構復雜，主要包括主軸、刀柄及銑刀等部件，各結構和部件間通過結合面連接而成，預測其動態特性，需要建立一個有效而精確的模型，進而獲得模態參數［1］。由于系統結構中剛度和阻尼很大比例來自于結合面，主軸系統動態特性受到結合面的接觸特性影響很大。主軸結合面主要為主軸-刀柄-銑刀結合面和主軸-軸承結合面，而且在銑削工況下，主軸結合面受到離心力、陀螺力矩和銑削載荷等作用，其接觸特性與靜止狀態和空轉狀態下均有變化。因此，考慮銑削工況結合面的影響，獲得確切的主軸系統動態特性，對銑削穩定和提高工件表面加工質量非常重要。

一些學者針對主軸結合面進行了研究［2-3］，通過理論分析或實驗測試建立結合面接觸剛度模型。在主軸系統動態特性研究中，很多都考慮了主軸-刀柄-銑刀結合面的影響。Schimitz 等［4］提出了導納耦合子結構分析法（receptance coupling substructure analysis，簡稱RCSA），通過在結合面添加彈簧阻尼單元，借以等效結合面的剛度和阻尼特性，進行特征參數辨識，進而預測刀尖頻響函數。許多學者對RCSA 法進行了改進［5-7］，預測了不同銑削加工設備的動態特性。有別于RCSA 這種半理論法，趙萬華等［8］通過理論分析建立主軸-刀柄-銑刀結合面的解析模型，并將其引入主軸系統理論模型中。在此基礎上，文獻［9］考慮了離心力和軸向力對主軸-刀柄-銑刀結合面的影響。

此外，主軸-軸承結合面同樣對主軸系統動態特性有重要影響。Bert 等［10］基于Timoshenko 梁 理 論建立了主軸-軸承耦合系統的動力學模型。Li 等［11］預測了軸承和主軸的力熱特性。文獻［12］建立了包括主軸、刀柄、軸承、軸承座和機床支架的動力學模型。文獻［13］針對高速電主軸建立了自由狀態和工作狀態下的動力學模型，并分析了工作狀態下主軸轉速對主軸系統動態特性的影響。Long 等［14］研究了主軸-軸承結合面動力學特性隨轉速變化的規律。Xi 等［15］提出考慮主軸殼體和多種形式軸承組合的主軸系統的動力學模型，分析了不同轉速下主軸系統刀尖頻響函數，研究了幾種切削載荷下主軸軸承系統的時程響應。張正旺等［16］綜合主軸結合面非線性接觸力，對主軸系統非線性動力學特征進行研究。Xu 等［17］利用子結構耦合法進行主軸-刀柄結合面參數識別，利用赫茲理論建立主軸-軸承接觸剛度模型，并預測主軸系統動態特性。

學者們對于主軸系統動態特性的研究重點主要集中在主軸系統空轉狀態下的主軸結合面接觸剛度的軟化效應對系統動態特性的影響，而筆者則針對銑削工況下高速旋轉并受銑削載荷作用的主軸系統進行了研究。首先，考慮銑削工況下徑向銑削載荷、軸向銑削載荷、主軸旋轉離心力和陀螺力矩，建立了主軸結合面的解析模型；其次，將其與主軸系統動力學模型進行耦合，得到系統動力學耦合模型，并通過在銑削過程中機床主軸系統動態特性實驗測試，驗證了理論模型的準確性；最后，分析主軸轉速、徑向銑削載荷和軸向銑削載荷等因素對主軸結合面剛度特征和系統動態特性的影響規律。

1 銑削工況主軸系統結合面接觸特性

1.1 主軸-刀柄-銑刀結合面接觸剛度

數控加工中心主軸-刀柄-銑刀結合面由液壓裝置和機械夾緊裝置進行預緊連接，在此作用下使得結合面產生接觸剛度和接觸阻尼。銑削狀態下主軸-刀柄-銑刀結合面剛度特征發生改變，主軸系統受力分析如圖1 所示。其中：Fx，Fy和Fz為軸向銑削載荷；Fr為徑向銑削載荷Fr2分別為前后軸承支撐力；F0為主軸與刀柄夾緊的拉桿力；M0為刀柄與銑刀的預緊力矩。結合面受預緊力、軸向銑削載荷Fz和徑向銑削載荷Fr的作用，主軸-刀柄結合面和刀柄-銑刀結合面的平均法向力Pn1和Pn2分 別 為

圖1 主軸系統受力分析Fig.1 Force analysis of spindle system

其中：Fn1，Fn2分別為主軸-刀柄和刀柄-銑刀結合面法向力；S1，S2分別為主軸-刀柄和刀柄-銑刀接觸面積；?1，?2，?3分別為刀柄夾角、夾緊件-刀柄夾角和夾 緊 件-螺 母 夾 角；L1，L2分 別 為 主 軸-刀 柄 和 刀柄-銑刀結合面軸向長度；r1，r2分別為結合面大半徑和小半徑；μ1，μ2，μ3，μ4分別為主軸-刀柄、夾緊件-銑刀、夾緊件-刀柄及夾緊件-螺母摩擦因數；r3為銑刀半徑；k0為預緊力矩系數；d為預緊螺母螺紋外徑。

以主軸-刀柄-銑刀結合面中某截面為例，其徑向銑削載荷下的彈性變形如圖2 所示。結合面的接觸正壓力發生變化，即

圖2 徑向銑削載荷下主軸-刀柄-銑刀結合面中某截面變形Fig.2 Deformation of an interface in spindle-tool holder-tool interface under radial milling load

其中：Pr為受到徑向銑削載荷后的結合面接觸正壓力；Pn為僅在預緊力作用下的結合面接觸正壓力；k(δ)為接觸壓力系數，可由吉村允孝積分曲線變換求得；δrm為徑向銑削載荷作用下結合面內部件變形最大量，δrmFr R2，E為彈性模量，υ為泊松比，R為圓柱結合面半徑。

對于圓柱形結合面，由吉村允孝積分法［18］可以得到結合面的等效彈簧剛度為其中：α0，β0為結合面的接觸特性參數，主要受到結合面處材料性質、材料粗糙度等物理特性因素的影響；L為圓柱結合面的長度。

在銑削工況下，依據彈性力學理論，在平面應變下，當主軸轉速為n，則離心力為ρn2R，結合面間將存在徑向間隙，其大小為

其中：b為主軸外徑。

結合面的徑向間隙在離心力的作用下發生變化，進而使結合面接觸正壓力發生變化，因此結合面的接觸剛度發生變化。

通過主軸-刀柄-銑刀結合面接觸剛度理論模型分析，得到徑向銑削載荷、軸向銑削載荷和主軸轉速對于結合面剛度的影響，分別如圖3~5 所示。由圖可知：隨著主軸轉速的增加，結合面接觸剛度下降，尤其在較高速時下降更為明顯，即離心力對于結合面接觸剛度有明顯的弱化作用；徑向銑削載荷對于結合面接觸剛度同樣表現為弱化作用；軸向銑削載荷對于結合面接觸剛度表現為強化作用。由結合面接觸剛度的變化幅度可以看出，對結合面接觸剛度影響最為明顯的是主軸轉速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

圖3 徑向銑削載荷和主軸轉速對結合面剛度的影響Fig.3 Influence of radial milling load and spindle speed on joint surface stiffness

圖4 軸向銑削載荷和主軸轉速對結合面剛度的影響Fig.4 Influence of axial milling load and spindle speed on joint surface stiffness

圖5 軸向銑削載荷和徑向銑削載荷對結合面剛度的影響Fig.5 Influence of axial milling load and radial milling load on joint surface stiffness

1.2 主軸-軸承結合面接觸剛度

主軸系統中使用的軸承在銑削工況下，要同時受到軸向銑削載荷、徑向銑削載荷以及主軸高速旋轉狀態下產生的離心力和陀螺力矩等影響，此時需要對其內圈和外圈進行平衡。軸承受載產生徑向相對位移和軸向相對位移，軸承第t個滾動體的方位角表達式為

其中：z為軸承中滾動體的數目。

滾動體幾何關系如圖6 所示，根據其中的變形關系，分析獲得軸承內外圈的位移平衡方程為

圖6 滾動體幾何關系Fig.6 Geometric relationship of rolling elements

其中：Uit，Vit分別為內外圈曲率中心軸向距和徑向距。

根據赫茲理論得到接觸載荷和內外圈接觸變形位移之間的關系式，即

其中：Kit為內圈赫茲接觸常數；Kot為外圈赫茲接觸常數。

主軸系統運轉過程中的滾動體受力分析如圖7所示，此時軸承滾動體的受力平衡方程為

圖7 滾動體受力分析Fig.7 Force analysis of rolling elements

其中：Qit，Qot為滾動體與內外圈接觸載荷；αit，αot為滾動體與內外圈接觸角；Mgt為陀螺力矩；Fct為離心力；D為滾動體直徑。

式（8）中，若應用外圈控制理論，則λit=0，λot=2；若應用內圈控制理論，則λit=1，λot=1。當應用的控制理論不同時，滾動體所承受的離心力和陀螺力矩存在一定差異，但結果差異量微小，結合面剛度特性變化基本相同。

對軸承進行整體的受力分析如下

其中：Ri為內滾道曲率中心圓半徑；ri為內滾道半徑；Frx為前、后主軸-軸承結合面受到的徑向載荷（見圖1），x=1，2。

聯立式（7）~（10），應用Newton-Raphson 迭代法求解得到Ut，Vt，δit和δot的結果。通過坐標變換獲得軸承內圈不同自由度的受力平衡式，并累計所有滾動體與內外圈接觸力，所得合力對位移求導，得到主軸-軸承結合面接觸剛度矩陣。

根據理論模型運算結果，得到軸向銑削載荷、徑向銑削載荷及主軸轉速對主軸-軸承結合面接觸剛度影響分別如圖8~10 所示。可以看出：當軸向銑削載荷增加時，主軸-軸承結合面接觸剛度緩慢升高，在大約800 N 后逐漸穩定；當徑向銑削載荷增加時，主軸-軸承結合面接觸剛度逐漸降低，在大約500 N 以后加速下降；當主軸轉速增加時，主軸-軸承結合面的接觸剛度隨之降低，且轉速越大，降低越明顯。這是因為轉速增大，離心力和陀螺力矩隨之改變，導致軸承外圈接觸載荷逐漸增大，主軸-軸承結合面接觸剛度隨之發生變化。

圖8 軸向銑削載荷對主軸-軸承結合面接觸剛度影響Fig.8 Influence of axial milling load on contact stiffness of the spindle-bearing interface

圖9 徑向銑削載荷對主軸-軸承結合面接觸剛度影響Fig.9 Influence of radial milling load on contact stiffness of the spindle-bearing interface

1.3 銑削工況下主軸系統動力學模型

主軸系統有限元模型如圖11 所示，其中主軸、刀柄和銑刀等部件等效為Timoshenko 梁單元，結合面等效為彈簧阻尼單元。將主軸系統部件質量矩陣M、剛度矩陣K、阻尼矩陣C和主軸-刀柄-銑刀結合面剛度矩陣Kc、阻尼矩陣Cc、主軸-軸承結合面剛度矩陣Kw、阻尼矩陣Cw耦合，邊界條件主要應用彈性約束，主軸前端法蘭盤部分與機床主軸箱之間的聯接作用彈性支承模擬，獲得理論模型為

圖11 主軸系統有限元模型Fig.11 Finite element model of spindle system

其中：F為力向量。

主軸系統阻尼矩陣采用比例阻尼確定

其中：α1，β1為比例系數［8-9］。

應用子空間迭代法求解獲取主軸系統動力學模型數值結果，得到銑削工況下的主軸系統的固有頻率和頻響函數。

2 銑削工況下主軸系統模型驗證

采用一種銑削工況下的數控機床主軸系統動態測試方法來驗證所建立模型的正確性，該方法以銑削載荷信號作為激勵，主軸系統銑削振動加速度信號作為響應，通過測試數據分析與處理，獲得銑削工況下主軸系統的動態特性［19-20］。這種方法一般要求激勵信號為隨機信號，而實際銑削載荷信號中必然含有周期信號，因此需剔除銑削載荷信號中周期信號引起的振動響應諧頻。

由銑削載荷信號和振動響應信號獲得銑削工況下系統頻響函數，采用奇異譜分析法對該頻響函數進行奇異譜分析，選擇奇異值分量占比最大者作為主成分，將頻響函數進行重構后，該階奇異值對應的特征分量即可描述頻響函數的頻率固有特性，達到消除諧頻及干擾信號影響的效果，進而提取動力學信息，獲取銑削工況下的機床主軸系統的模態參數。奇異譜分析法具體過程如下。

1） 建立軌跡矩陣。實驗采集原數據長為N，滑動窗口長為LP，KP=N-LP+1，采用列分割方式對軌跡矩陣進行處理，第ip列數據為ip~Lp+ip-1，其中ip為列數，ip=1，2，…，KP，軌跡矩陣為

2） 奇異值分解。主要包括以下步驟：①計算XXT的特征值λi（i=1，2，…，N；λ1>λ2>…>λN）和特征向量ui；②計算右奇異向量原軌跡矩陣可表示為

3） 分組。主要是將有效數據與要剔除的諧頻進行分組，選取前r個奇異值作為主成分進行后續重構等處理。

4） 重構信號。依據上述分組結果將對應的奇異向量進行重構

實驗使用VDL-1000E 型數控加工中心，使用戴杰二刃整體硬質合金球頭銑刀，加工工件Cr12MoV（HRC58），利用Kistler9257B 測力儀測試銑削載荷信號，利用PCB 加速度傳感器測試銑削振動響應信號，靈敏度為10.42 mV/g。實驗設備如圖12 所示。

圖12 實驗設備Fig.12 Experimental setup

通過3 組銑削實驗進行驗證，參考制造企業實際銑削工藝，確定銑削實驗工藝參數如表1 所示。

表1 銑削實驗工藝參數Tab.1 Technological parameters of milling experiment

實驗與仿真對比分析如圖13 所示，銑削狀態下的主軸系統頻響函數比靜止狀態下更貼近實驗結果。主軸系統固有頻率對比如表2 所示，由表2 可以看出，銑削狀態下的主軸系統固有頻率與實驗結果之間誤差明顯低于靜止狀態下主軸系統固有頻率的誤差。3 組工藝參數銑削過程中，系統前3 階固有頻率分別降低11.45%，10.88%和11.72%，銑削狀態下的仿真結果與實驗結果之間的誤差比靜止狀態下的誤差平均降低11.35%，證明銑削工況下主軸系統動力學模型能更準確地反映銑削狀態下主軸系統的動態特性，可以作為銑削狀態下主軸系統動態特性預測模型。

表2 主軸系統固有頻率對比Tab.2 Comparison of natural frequency of spindle system

圖13 實驗與仿真對比分析Fig.13 Comparative analysis of experiment and simulation

3 銑削工況下主軸系統動態特性分析

3.1 銑削工況下的主軸系統固有頻率分析

銑削工況下，考慮徑向、軸向及主軸轉速的主軸系統固有頻率分別如圖14~16 所示。由圖可知：當徑向銑削載荷由0 增加到1 kN，由于徑向銑削載荷對結合面剛度特征的弱化效應，1 階、2 階和3 階固有頻率分別降低了5.45%，5.37%和6.33%；當軸向銑削載荷由0 增加到1 kN，由于軸向銑削載荷對結合面剛度特征的強化效應，1 階、2 階和3 階固有頻率分別升高了4.28%，3.78% 和1.85%；當主軸轉速由0 增加到12 kr/min 時，由于離心力和陀螺力矩對結合面剛度特征的弱化效應，1 階、2 階和3 階固有頻率分別降低了16.02%，7.35% 和5.54%。可以看出，對主軸系統固有特性影響最為明顯是主軸轉速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

圖14 考慮徑向銑削載荷的主軸系統固有頻率Fig.14 Natural frequency of spindle system considering radial milling load

圖15 考慮軸向銑削載荷的主軸系統固有頻率Fig.15 Natural frequency of spindle system considering axial milling load

圖16 考慮主軸轉速的主軸系統固有頻率Fig.16 Natural frequency of spindle system considering spindle speed

3.2 銑削工況下的主軸系統頻響函數分析

考慮徑向銑削載荷、軸向銑削載荷及主軸轉速的頻響函數分別如圖17~19 所示。可以看出：徑向銑削載荷增加時，各階固有頻率降低，且低階固有頻率振動幅值明顯增加；軸向銑削載荷增加時，各階固有頻率略有增加，其中2 階固有頻率振幅明顯下降；主軸轉速增加時，各階固有頻率降低，主軸轉速越大，降低速率越大，其中1 階固有頻率振幅略有下降，2 階固有頻率振幅明顯升高。

圖17 考慮徑向銑削載荷的頻響函數Fig.17 Frequency response function considering the radial milling load

圖18 考慮軸向銑削載荷的頻響函數Fig.18 Frequency response function considering the axial milling load

圖19 考慮主軸轉速的頻響函數Fig.19 Frequency response function considering the spindle speed

4 結 論

1） 建立銑削工況下的主軸結合面解析模型并分析其剛度特征，結果表明：隨著主軸轉速的增加，結合面接觸剛度下降，較高速時下降更明顯，即離心力對結合面接觸剛度有明顯弱化作用；徑向銑削載荷對結合面接觸剛度同樣表現為弱化作用；軸向銑削載荷對結合面接觸剛度表現為強化作用。其中，影響最為明顯的是主軸轉速，其次為徑向銑削載荷，然后為軸向銑削載荷。

2） 將結合面接觸特性解析模型與主軸系統有限元動力學模型耦合，建立銑削工況下軸承-主軸-刀柄-銑刀系統的有限元動力學耦合模型，并利用一種銑削狀態下主軸系統動力學測試方法，對理論模型進行實驗驗證，靜止狀態下對比銑削工況下的預測結果誤差平均降低11.35%。

3） 轉速會顯著影響主軸系統固有頻率和頻響函數，銑削載荷也會對固有頻率和頻響函數產生不同程度的影響，主要體現在低階模態。研究結果為銑削狀態下主軸系統動態特性和銑削穩定性準確預測奠定理論基礎，為保證銑削過程穩定和工件表面加工質量提供理論支持。