飽和砂礫土未凍水含量預測模型的適應性分析

王炳祿 劉欣 沈宇鵬 劉志堅 陳賢波 寇鼎濤

1.中鐵十四局集團隧道工程有限公司， 濟南 250101； 2.北京交通大學 土木工程學院， 北京 100044；3.北京市軌道交通建設管理有限公司， 北京 100068

土體凍結過程中，并非所有孔隙水都會凍結成冰，這些保留的液態水被稱為未凍水。凍土的未凍水含量與土體的礦物成分、粒度、溫度、應力條件、凍融歷史等因素息息相關，同時顯著影響凍土的水力特性和熱物理參數，進而影響凍結壁的擴展及凍結施工對周圍環境的影響效應。未凍水含量的測試和預測模型的建立是開展未凍水含量研究的重要內容。Anderson 等［1］基于大量試驗數據提出了描述未凍水含量隨溫度變化的冪函數模型，由于形式簡單、參數較少，該預測模型得到了廣泛應用。徐學祖等［2］認為凍土中的未凍水含量主要受土質、外界條件和凍融歷史影響，與負溫保持動態平衡的關系，并根據大量試驗給出了多種土質正凍土未凍水含量冪函數預測公式的參數值。冷毅飛等［3］采用量熱法測試了海拉爾-大慶輸油管道沿線大量土樣的未凍水含量，討論了未凍水含量的主要影響因素及變化規律。萬旭升等［4］基于理想成冰模型和土體孔隙分布特征，給出了不同孔徑水分的凍結溫度，建立了未凍水含量與負溫關系。路建國等［5-6］基于頻域反射法測試了凍融過程中青藏高原粉質黏土未凍水含量與溫度的關系，討論了初始含水量對未凍水含量滯后效應的影響。滕繼東等［7］考慮吸附與毛細作用，從孔隙尺度建立了飽和凍土未凍水含量與溫度的關系，該模型的預測和試驗結果吻合，物理意義明確，為凍土理論研究提供依據。

綜上所述，對凍土未凍水含量已開展的研究工作主要集中于細粒土，涉及砂礫土未凍水含量的研究較少，未凍水含量預測模型對砂礫土的適應性仍有待考量。北京地區地鐵沿線廣泛分布砂礫土，部分區域夾雜少量粉土，地下水賦存狀態復雜，且人工地層凍結往往冷媒溫度低、體量大。本文依托北京地鐵19號線草橋站—景風門站聯絡通道人工地層凍結工程，研究不同含泥量飽和砂礫土未凍水含量的變化規律，以期揭示凍結壁的水熱力耦合行為。

1 未凍水含量預測模型及參數敏感性

1.1 Anderson and Tice模型

Anderson 和Tice 于1972 年建立了冪函數模型，用于預測凍土未凍水含量與溫度的關系［1］，即

式中：θu、θ0分別未凍水含量和初始體積含水量；α、β為擬合參數；T、Tf分別為土體溫度和孔隙水凍結溫度。

參數α、β對Anderson and Tice 模型的影響見圖1。可知：當β=-0.6，α從5.0 增加到25.0 時，函數曲線逐漸平緩，即未凍水含量的衰減速率逐漸減小，溫度為-20 ℃時，未凍水含量較大。當α= 10.0，β從-1.0增加到-0.2 時，未凍水含量的衰減速率逐漸增大，溫度為-20 ℃時，未凍水含量較大。

圖1 Anderson and Tice模型參數敏感性

1.2 Michalowski模型

Michalowski［8］認為由于強結合水的存在，即使負溫很低時，土體中仍有少量水分未被凍結，即存在殘余未凍水含量，提出了描述凍土未凍水含量與溫度關系的指數函數模型。即

式中：θres為未凍水殘余含量；μ為擬合參數。

Michalowski 模型參數敏感性見圖2。可知：當μ從0.2 增加到5.0 時，曲線的速降段變陡，且溫度降為-20 ℃時，未凍水含量有所減小。當μ≥1.0 時，未凍水含量在溫度降為-10 ℃后達到設定的殘余含水量5%，不再持續下降。

圖2 Michalowski模型參數敏感性

1.3 Mckenzie模型

Mckenzie［9］根據殘余未凍水含量的理念提出了一個指數方程描述凍土未凍水含量與溫度的函數關系式。即

式中：γ為擬合參數。

Mckenzie 模型參數敏感性見圖3。可知：當γ從0.5增加到10.0時，函數曲線的速降段變緩，溫度降為-20 ℃時，未凍水含量有所增大。此外，當γ≤2.0時，未凍水含量在溫度降為-5 ℃后達到設定的殘余含水量5%，不再持續下降。

1.4 Kozlowski模型

Kozlowski［10］認為土體凍結過程中存在臨界溫度Tres，當溫度低于Tres時，未凍水含量不再變化，提出了描述未凍水含量的分段函數表達式。即

式中：Tres為殘余含水量不再變化對應的臨界溫度；δ、ε為擬合參數。

Kozlowski 模型參數敏感性見圖4。可知：當ε=1.0，δ從-15.0 增大到-1.0 時，函數曲線的速降段逐漸變緩，臨界溫度逐漸降低。當δ=-2.0，σ從0.5 增加到3.0 時，未凍水含量隨溫度降低的變化規律由先陡降后緩降再趨穩逐漸變為先緩降后陡降再趨穩，臨界溫度逐漸升高。

圖4 Kozlowski模型參數敏感性

1.5 Zhang模型

Zhang假設當溫度降至絕對零度（-273.15 ℃），土體中的水分完全凍結成冰，提出了計算未凍水含量的數學模型［11］。該模型被用于分析青藏高原凍土路基的水熱力行為，得到了滿意的預測結果。Zhang 模型為

式中：Tk0為常數，取273.15 ℃，其負值為絕對零度；ω為擬合參數。

Zhang 模型參數敏感性見圖5。可知：當ω從0.02增加到0.20 時，函數曲線逐漸變緩，溫度降為-20 ℃時，未凍水含量明顯增大。5 條曲線在靠近凍結溫度附近均存在垂降段，降幅隨ω增大而減小。

圖5 Zhang模型參數敏感性

1.6 VG-Clapeyron模型

一些學者將土體凍結過程中的冰壓力類比為非飽和土的大氣壓，結合Van Genuchten土水特征曲線模型和Clapeyron 方程提出凍土未凍水含量的預測模型［12-13］，即

式中：aVG、mVG、nVG均為擬合參數；L為冰水相變潛熱，取334 kJ/kg；ρw為水的密度，取1 000 kg/m3。

VG-Clapeyron 模型參數敏感性見圖6。可知：當nVG= 2.0、mVG= 0.5，αVG從0.000 5 增加到0.010 0時，函數曲線逐漸變陡，溫度降為-20 ℃時，未凍水含量有所減小。當αVG= 0.000 5、mVG= 0.5，nVG從1.0增加到5.0 時，函數曲線由先陡降后緩降再趨穩逐漸變為先緩降后陡降再趨穩，溫度降為-20 ℃時，未凍水含量有所降低。當αVG= 0.000 5、nVG= 2.0，mVG從0.5 增加到2.0 時，函數曲線逐漸變陡，溫度降為-20 ℃時，未凍水含量明顯降低。

圖6 VG-Clapeyron模型參數敏感性

2 未凍水含量的測試

2.1 試驗土樣

試驗用土取自北京地鐵19 號線草橋站—景風門站區間聯絡通道施工現場，包括砂礫土和粉土。參照GB/ T 50213—2019《土工試驗標準方法》進行試驗，得到砂礫土和粉土的級配曲線（圖7）和物理力學參數（表1）。根據GB/ T 50213—2019得出砂礫土為級配不良土，粉土為低液限粉土。

表1 試驗土體物理力學參數

圖7 試驗土體級配曲線

由于砂礫土中粒徑小于0.075 mm 的細粒占比僅為0.73%，可忽略不計，將其視為含泥量0的砂礫土試樣組。按不同比例均勻摻合砂礫土和粉土即可配制含泥量分別為0、10%和20%的砂礫土試樣組，密封靜置24 h備用。

2.2 測試方法

凍土未凍水含量的測試方法主要包括測溫法、量熱法、頻域反射法、時域反射法、頻域傳播法、時域傳播法、脈沖核磁共振法等。飽和砂礫土未凍水含量的測試采用EC-5 小型土壤水分傳感器（圖8），配套CR1000X 數據采集儀，可直接測試土樣未凍水含量并傳輸至電腦終端。該傳感器的工作原理為頻域反射法，傳感器發射一定頻率的電磁波，沿探針傳輸及返回，測試探頭輸出的電壓。由于土體介電常數受含水量影響顯著，由輸出電壓可確定土體的含水量。溫度測量使用pt100 熱敏電阻溫度傳感器，其測溫范圍為-30 ～ 30 ℃，精度為 ±0.05 ℃，利用CR1000X型數據采集儀實時采集土樣溫度。

圖8 EC-5土壤水分傳感器

為盡可能保障試樣降溫過程中各方向受冷均勻，定制直徑60 mm、高80 mm 的鋁制試樣盒與頂蓋，頂蓋預留水分探頭和溫度探頭的插入孔。試驗時，將備好的0、10%和20%含泥量砂礫土分層填入試樣盒并夯實，表面覆蓋透水石后浸水飽和8 h，取出試樣并用保鮮膜包裹嚴實。將備好的試樣放入凍融試驗箱，沿垂直方向從頂蓋預留孔插入水分探頭和溫度探頭。設置初始環境溫度為1 ℃并恒溫8 h，待土樣內溫度穩定后，設置階梯式降溫溫度（0、-0.1、-0.2、-0.5、-0.8、-1、-2、-3、-4、-5、-8、-12、-16、-20 ℃），每級溫度保持時間為6 h，使土樣達到新的水熱平衡。凍結完成后，關機融化土樣。

2.3 測試結果分析

含泥量0、10%和20%飽和砂礫土未凍水含量的試驗結果見圖9。可知：隨著溫度的降低，凍結特征曲線主要經歷快速下降、緩慢下降和穩定階段。0 含泥量飽和砂礫土凍結特征曲線在快速下降階段最陡，未凍水含量下降最快，-3 ℃時未凍水含量為4.2%，相較初始含水量的降幅為87.4%，溫度低于-12 ℃后未凍水含量基本不再變化，殘余含水量為2.0%。20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量在快速下降階段降速較小，未凍水含量在-4 ℃時為10.7%，降幅為67.5%，溫度低于-16 ℃后未凍水含量基本穩定在7.4%。10%含泥量飽和砂礫土未凍水含量的降速介于前兩者之間，未凍水含量在-4 ℃時為5.7%，降幅為82.0%，溫度低于-12 ℃后未凍水含量基本穩定在3.2%。總體而言，含泥量越高，土體凍結特征曲線越平緩，未凍水凍結速率相對較小，低溫穩定狀態下的殘余含水量越大。究其原因，含泥量的增加引起土體比表面積增大，不易凍結的強結合水含量增加，進而引起劇烈相變區間增大，殘余含水量明顯提高。

圖9 飽和砂礫土未凍水含量試驗結果

3 未凍水含量預測模型的適應性

未凍水含量的預測模型是凍土水熱力耦合模型的一個關鍵聯系方程，顯著影響模擬結果的準確性。采用非線性擬合方法對3 組測試數據進行擬合，確定上述六種典型預測模型的相關參數，見圖10。

圖10 預測模型參數的確定

為討論六種預測模型對不同含泥量飽和砂礫土未凍水含量的適應性，采用均方根誤差(ERMSE)、平均絕對誤差(EAME)和相關系數（R2)進行定量分析。三個評估指標的計算式為

式中：θu_ci、θu_mi分別為未凍水含量預測值和未凍水含量試驗值。

計算結果見圖11。可知：對于0 含泥量飽和砂礫土未凍水含量的預測，Anderson and Tice 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表現出較好的適應性，ERMSE分別為1.408、1.129 和0.863，EAME分別為0.915、0.928和0.635，R2分別為0.971、0.974和0.977。對于10%含泥量飽和砂礫土未凍水含量的預測，Michalowski 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表現出較好的適應性，ERMSE分別為0.743、0.903 和0.587，EAME分別為0.588、0.783 和0.455，R2分別為0.971、0.974 和0.977。對于20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量的預測，同樣是Michalowski 模型、Kozlowski 模型和VG-Clapeyron 模型表現出較好的適應性，ERMSE分別為1.064、0.742 和0.355，EAME分別為0.743、 0.587和0.289，R2分別為0.978、0.979和0.980。

圖11 預測模型相關性指標的比較

總體而言，VG-Clapeyron 模型對于0、10%和20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量的預測都具有較好的適應性，預測值與試驗值的吻合度較高，且形式簡單，推薦使用VG-Clapeyron 模型預測0、10%和20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量與溫度的函數關系。

4 結論

凍土的未凍水含量與土體的礦物成分、粒度、溫度、應力條件、凍融歷史等因素息息相關，其含量的變化顯著影響地層凍結過程中的水熱力耦合行為。匯總了六個典型凍土未凍水含量預測模型，并對其參數進行了敏感性分析，討論了模型參數對凍結特征曲線的影響。主要結論為：

1）隨著溫度降低，飽和砂礫土凍結特征曲線主要經歷快速下降、緩慢下降和穩定三個階段。0、10%和20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量在快速下降階段的降幅分別為87.4%、82.0%和67.5%，穩定階段的殘余含水量分別為2.0%、3.2%和7.4%。含泥量越高，飽和砂礫土相變區間越大，凍結特征曲線越緩，穩定階段的殘余未凍水含量越高。

2）VG-Clapeyron 模型對于0、10%和20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量的預測都具有較好的適應性，預測值與試驗值的吻合度較高，且形式簡單，推薦使用VG-Clapeyron 模型預測0、10%和20%含泥量飽和砂礫土未凍水含量與溫度的函數關系。