基于凸優化模型的FIR濾波器組設計

丁 遜,周 駿

(中國船舶集團有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

數字濾波器按照脈沖響應時域特性可分為有限脈沖響應(Finite Impulse Response,FIR)濾波器和無限脈沖響應(Infinite Impulse Response,IIR)濾波器,其中數字FIR濾波器[1]的特點是其輸出僅取決于之前和當前的輸入值,輸入具有任意幅頻分布的數字信號后,能夠保證輸出信號的相頻特性仍然保持嚴格線性,因此廣泛應用于測試技術、控制系統、信號處理、圖像處理等領域。FIR濾波器常用的設計方法主要有頻率抽樣法、窗函數法和最優化設計法[2]:前兩種方法分別從頻域和時域角度出發,不能精確控制通帶與阻帶邊界頻率,通常通過提高濾波器的階數來實現過渡帶變窄,從而導致運算量加大;最優化設計法利用最小誤差逼近作為設計思路,即通過一系列優化算法使得實際設計與期望設計的濾波器的幅度最大誤差最小化[3]。本文以最小化濾波器輸出的雜波功率為目標建立凸優化問題,類似于最小誤差逼近思路。

本文主要針對帶通濾波器組,在歸一化后的頻率范圍內對雜波區和可用信號區進行頻譜規劃,對已規劃的頻譜分別建立滿足約束條件的凸優化模型,從而將數字濾波器的優化設計問題轉化為多參數的優化求解問題,利用凸優化算法來獲取全局或近似全局最優解,即優化設計的濾波器系數。為了逼近理想帶通濾波器的頻率特性,通過在信號頻譜規劃內設計多組濾波器近似逼近頻率特性,從而達到相應的濾波效果。該設計方法優點在于:一是可以根據先驗雜波的頻譜范圍,適應性地調整信號頻譜規劃,從而改變濾波器組的頻率中心,以覆蓋變化的通帶頻率范圍,抑制雜波的同時仍然保留相應的信號頻率;二是針對濾波器組設計需求,快速批量生成濾波器組中每一個濾波器的系數,從而快速實現濾波器組的工程應用。

1 FIR濾波器及凸優化理論

1.1 FIR濾波器

FIR數字濾波器的頻率響應可以表示為

(1)

其中:h(n)為濾波器系數;N為濾波器階數。

h(n)值須在設計過程中確定,具有奇、偶對稱兩種情況,加上階數N取值為奇偶兩種情況,則線性相位FIR濾波器頻率響應函數H(ejw)共有4種情況[4]。本文以階數N為奇數分析前兩類情況,后兩類則分別對應階數N為偶數的情況。第一類線性相位為

θ(ω)=-τω

(2)

其中:τ表示與ω無關的常數。

式(1)改寫為

(3)

其中:sin[(τ-n)ω]為奇對稱函數。

式(3)成立的條件是h(n)關于(N-1)/2偶對稱,即要求

h(n)=h(N-1-n)

(4)

對于第二類線性相位,當θ(ω)=π/2-τω時,可得到

(5)

其中:cos[(τ-n)ω]為偶對稱函數。

式(5)成立的條件是h(n)關于(N-1)/2奇對稱,即要求

h(n)=-h(N-1-n)

(6)

由上述分析可以看出:沖激響應h(n)關于(N-1)/2對稱的濾波器沒有相位失真,這也表明具有線性相位特性的濾波器設計具有可實現方法。

1.2 凸優化理論

凸優化又稱為凸規劃,其基本的數學模型為

(7)

其中:f0,…,fm為凸函數,等式約束為仿射函數。

在實際工程優化中,可以根據凸函數的性質將優化問題轉化為凸優化模型,對于凸優化問題的解,任意一個局部最優解同時也是全局最優解。解析表達式一般無法推導,通常通過數值法解決凸優化問題,其中應用較多的是內點法,目前已開發出強大的優化工具軟件如CVX等[5],以實現與MATLAB的無縫銜接。

2 凸優化模型

2.1 雜波和信號頻譜規劃

(8)

其中:

(9)

(10)

同理可得氣象雜波頻譜Fm,則總的雜波頻譜規劃范圍Fclut={Fg,Fm},相應的可用信號頻譜規劃范圍Fsig為

(11)

2.2 濾波器組頻率中心規劃

(12)

(13)

2.3 凸優化數學模型

(14)

其中:SLBgf、SLBmf、SLBf為衰減值代表的幅度值;|·| 表示取模操作;

FSLBgc=exp(j2π·Fg·n),n=0,…,N-1

(15)

FSLBmc=exp(j2π·Fm·n),n=0,…,N-1

(16)

(17)

經過濾波器中心頻率處的信號應當滿足不衰減,同時根據具有線性相位FIR濾波器的系數性質,本文設計濾波器系數滿足奇對稱,建立以下等式約束:

(18)

(19)

濾波器優化設計的目標是最小化雜波輸出功率,為此建立關于雜波輸出功率最小化的優化模型。假設噪聲強度為Pn,可得雜波聯合噪聲的協方差矩陣為

R=Rgc+Rmc+Rn

(20)

其中:Rgc為地物協方差矩陣;Rmc為氣象協方差矩陣;Rn為高斯白噪聲協方差矩陣,分別為

(21)

其中:

(22)

(23)

同理可得Mmc,其中Mn=diag(e),e為1×N維的單位向量,diag(·)以向量e中元素為對角線元素形成的對角矩陣。

優化目標函數為

(24)

其中:UHU=R;δ為較小的正數,作為收斂門限,通過不斷最小化該收斂門限,來優化設計濾波器系數。

minimizeδ

subject to |U·h|-δ≤0;|FSLBgchT|-SLBgf≤0 ;

|FSLBmchT|-SLBmf≤0;|FSLBhT|-SLBf≤0 ;

(25)

針對上述優化模型,利用MATALB中的CVX軟件求解凸優化問題。為了得到凸優化的解,在求解過程中往往要線性調整濾波器的主瓣寬度:

ML_w=ML_w+0.1/N

(26)

3 優化流程設計

根據給定的雜波區,按照最小化雜波輸出功率優化設計濾波器組,具體流程如圖1所示。首先輸入雜波相關信息,即頻率中心、譜寬和強度,由此得到雜波區和可用信號區的頻譜規劃;接著根據濾波器組數量對可用信號區完成濾波器組頻率中心規劃;然后對每個確定了頻率中心的濾波器建立凸優化數學模型,通過步進增加主瓣寬度,在限定的主瓣寬度范圍內利用CVX求解,是否有解決定著該頻率中心下的濾波器設計能否成功;最后對設計完的每個濾波器進行頻率響應的歸一化操作,選取每個頻點下最大的頻率響應,得到濾波器組最大輸出的頻率響應,結合雜波區,檢驗設計的濾波器組能否滿足雜波區的衰減抑制以及副瓣區的抑制,不滿足的情況下重新設計濾波器組數量或雜波抑制度以及副瓣衰減。

圖1 濾波器組凸優化設計流程

4 仿真結果及分析

假設只存在地物雜波,地物雜波歸一化頻譜中心Fgc=0,歸一化譜寬Fgc_delta=0.01,強度Pgc=10,噪聲強度Pn=1,地物衰減設計為SLBgc=-60 dB,濾波器副瓣衰減為SLB=-43 dB,歸一化頻率范圍內采樣點數Msam=1 000。設計結果如圖2～4所示,其中圖2(a)為歸一化的地物雜波頻譜在零頻附近采樣點的分布范圍,圖2(b)為地物雜波抑制濾波器組設計時可選的頻率采樣點分布范圍;圖3(a)為6組濾波器設計中心頻率在歸一化可選頻率采樣點上的分布情況,圖3(b)為相應的6組濾波器頻率響應設計曲線的雜波衰減、副瓣抑制以及頻率響應覆蓋情況;圖4(a)為在地物雜波衰減60 dB、副瓣抑制43 dB設計要求下的8組濾波器頻率響應曲線,圖4(b)為在地物雜波衰減70 dB、副瓣抑制50 dB設計要求下的8組濾波器頻率響應曲線。可以看出,本文方法可以根據濾波器組數量、雜波區衰減程度以及副瓣抑制度的改變動態實現濾波器系數設計。

(a)地物雜波區

(a)頻率中心

(a)地物雜波衰減60 dB、副瓣抑制43 dB

5 結束語

本文通過頻譜規劃,以最小化雜波輸出功率為目標,建立凸優化模型,利用CVX工具箱完成FIR濾波器組優化設計求解。根據假定的雜波信息以及滿足要求的雜波衰減、副瓣抑制度可控地調整濾波器組數量和主瓣寬度,以實現滿足要求的濾波器設計,可將優化設計的濾波器系數以文件配置的方式用于工程中,具有可移植性。