基于最小二乘法的對稱分數延遲濾波器設計

鄒 正,胡 進,陳 宇

(中國船舶集團有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

可變分數延遲(Variable Fractional Delay,VFD)濾波器在數字信號處理中應用廣泛,例如任意采樣率轉換、分數階微分器設計、數字波束形成[1]等。現有的 VFD有限脈沖響應(Finite Impulse Response,FIR)濾波器算法可分為2類:時域插值算法和頻域優化算法,其中前者基于多項式插值,如 Lagrange、Hermite[2-3]等,計算簡單,但其高頻響應較差;后者因在大帶寬下仍能保持良好的幅頻響應而受到青睞,常用的優化準則包括最大平坦(MF)[4]、加權最小二乘(WLS)[5-6]和極大極小準則(MM)[7]等。這些分數延遲濾波器存在的主要問題是應用過程中對于硬件資源的消耗巨大。

本文提出一種基于最小二乘法的對稱分數延遲濾波器設計方法,可以大幅減少資源消耗,進而降低硬件實現難度。

1 系數對稱

首先推導FIR VFD濾波器存在的系數對稱性性質,然后利用系數對稱性開發一種新的WLS方法來設計VFD FIR濾波器。與現有的WLS方法相比,所提出的基于加權最小二乘法的對稱性方法只需要濾波器總階數的一半抽頭系數參與運算即可完成濾波功能。

設計VFD 濾波器的目的是找到一個可變的傳輸函數H(z,p),使其在指定的通帶區域內盡可能準確地接近所需的可變頻率響應[8],即

Hd(ω,p)=e-jωp

(1)

式中:ω∈[0,απ]為歸一化角頻率,0<α≤1是指定通帶的一個具體數值系數;p∈[-0.5,0.5]為所需的可變分數延遲。

為了通過有限沖擊響應實現Hd(w,p),假設VFD FIR濾波器的傳遞函數為[9]

(2)

將系數hn(p)表示為參數p的多項式:

(3)

代入式(2),得到可變傳遞函數:

(4)

其可變頻率響應為

(5)

目標是找到最佳系數a(n,m),使可變頻率響應的加權平方誤差最小。

(6)

式中:W(ω,p)為一個非負的加權函數;e(ω,p)為實際可變頻率響應與期望可變頻率響應之間的復值誤差,且

e(ω,p)=H(ω,p)-Hd(ω,p)

(7)

在公式處理WLS設計問題之前,推導出式(4)中存在的有用的系數對稱性,如式(8)～(13)所示。

式(5)可以進一步改寫為

對上式中下劃線部分的索引進行置換n′=-n,可得

由于期望的可變頻率響應即式(1)滿足

(9)

其中[·]*表示[·]的復數共軛。

則最優H(ω,p)也應該滿足

H(ω,-p)=H*(ω,p)

(10)

如果式(6)中的加權函數W(ω,p)對于p來說是對稱的,則

將上述劃線部分等價,可以得到

a(-n,m)=(-1)ma(n,m)

(12)

而式(12)對于n=0也是成立的,即

a(0,m)=(-1)m·a(0,m)

因此,如果n≠0,

(13)

如果n=0,則a(0,m)=0,m為奇數。

為求得滿足需求的VFD濾波器系數,將式(13)的對稱系數代入式(8)中,可以得到

c=[1 cos(ω) cos(2ω) … cos(Nω)]t

s=[sin(ω) sin(2ω) … sin(Nω)]t

Pe=[1p2p4…pM-1]t

Po=[pp3p5…pM]t

(15)

式中:下標e、o分別代表偶數和奇數。

式(14)可以表示成矩陣形式:

H(ω,p)=ctBePe-jstBoPo

(16)

頻率響應誤差式(7)為

只須找到最佳的系數矩陣Be,就能找到最佳的濾波器系數a(n,m),而Bo則是通過最小化誤差函數來實現:

(18)

其中只有區間p∈[0,0.5]需要進行積分。

2 閉合形式的誤差函數

本節詳細推導閉式誤差函數。首先,在式(18)中展開|e(ω,p)|2。由式(17)可得

其中:

(20)

將式(19)代入式(18),得到

其中:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

為了得到閉合形式的J(Be,Bo),假設加權函數W(ω,p)是可分離的,即

W(ω,p)=W1(ω)W2(p)

(27)

此外,W1(ω)和W2(p)分別被假定為ω、p的分段常數函數。將式(20)分別代入式(22)～(26),得到閉式誤差函數:

J5=constant

(28)

其中:

(29)

而且

矩陣A6可以近似為

(30)

而且

因此,可以由閉合形式的誤差函數式(21)得到

3 最優解決方案

為了得到最佳系數矩陣Be和Bo使式(31)最小化,必須對J(Be,Bo)求對于Be和Bo的微分,然后將微分設為零,即

(32)

矩陣A2、A3、A4和A5是對稱的,可以得到

(33)

因此可以通過下式確定最佳系數矩陣:

(34)

4 設計實例

理想的可變頻率響應為Hd(ω,p)=e-jωp,通過使用變量傳遞函數式(4),令α=0.9計算出近似可變頻率響應的結果。在近似計算過程中假設N=34,M=7,K=10,ω∈[0,απ],以απ/200的步長均勻采樣,且分數延遲范圍p∈[-0.5,0.5],可以通過以下幾個參數評估VFD濾波器的設計精度。可變頻率響應的幅度最大絕對誤差和最大群延遲偏差(單位dB)分別為

εMax=max{20log10|e(ω,p)|,ω∈[0,απ],p∈[-0.5,0.5]}

εpMax=max{|τ(ω,p)-p|,ω∈[0,απ],p∈[-0.5,0.5]}

其中:τ(ω,p)為實際群延,是頻率ω和理想群延p的函數。

圖1給出了VFD濾波器在不同頻率和延遲值下的幅度誤差,其中x軸(p∈[-0.5,0.5])為延遲值,單位為采樣周期;y軸(ω∈[0,απ])為歸一化的頻率值;z軸為可變頻率響應幅度誤差絕對值,最大為-107.5 dB。圖2為圖1中粗線標識的最大值的二維平面。

圖1 可變頻率響應的幅度誤差

圖2 可變頻率響應的幅度誤差值

實際VFD的延遲值如圖3所示。群延遲誤差如圖4所示,坐標值同圖1,表明已經獲得了非常平坦的連續可變VFD響應,其最大誤差為0.000 377 3。圖5為圖4中粗線標識的最大值的二維平面。表1為可變頻率響應的幅度最大絕對誤差和最大群延遲偏差的坐標。

表1 幅度最大絕對誤差和最大絕對誤差統計表

圖3 VFD延遲值

圖4 VFD群延遲誤差

圖5 VFD群延遲誤差最大值

5 結束語

利用濾波器的系數對稱性可有效設計VFD FIR濾波器。與現有的非對稱系數WLS方法相比,本文提出的基于對稱性新型WLS濾波器設計方法只需要VFD濾波器系數50%的存儲量和乘法器運算資源,因此可以顯著降低計算和存儲資源,并降低濾波器的硬件成本。同時,在推導閉合形式的誤差函數時,由于使用了Taylor級數,可以完全去除數值積分,加快了設計過程,并保證最終系數解的最優性。