單天線功率約束和統計CSI 下的MU-MIMO 下行鏈路線性預編碼*

張國洋，戴旭初

（中國科學技術大學，安徽 合肥 230026）

0 引言

多用戶多輸入多輸出（Multiple-User Multiple -Input Multiple-Output，MU-MIMO）技術是5G 通信的關鍵基礎技術之一，其可以實現空間復用，有更好的發射分集增益，因此具有更好的誤碼性能和頻譜效率[1]。為了減輕多用戶干擾，提高信道容量，需要合理設計基站端（Base-Station，BS）的預編碼器，因此MU-MIMO 下行鏈路的預編碼器設計在近年來以不同形式得到了廣泛的研究。

根據預編碼方式的不同，可以將預編碼器分為線性預編碼器和非線性預編碼器，雖然臟紙預編碼器[2]等非線性預編碼器可以達到最優的性能，但是其復雜度過高，不適用于MU-MIMO。相比非線性預編碼器，線性預編碼器有著更好的性能/復雜度折衷。

線性預編碼的目標是利用已知的信道狀態信息（Channel Status Information，CSI），在一定的功率約束條件下，根據一定的優化準則增加信道容量。現有研究考慮的約束包括總功率約束（Total Power Budget）[3-5]和單天線功率約束（Per-Antenna Power Constraints，PAPCS）[6-12]。由于實際情況下，每根天線都有其獨立的功率放大器，因此單天線功率約束更有實際意義。在BS 已知完美的CSI 和單天線功率約束下，文獻[6-7]以和速率最大化為優化目標，基于迫零（Zero Forcing，ZF）算法設計了線性預編碼算法；文獻[8]則以加權和速率最大化為準則，基于加權最小化均方誤差算法設計了線性預編碼算法，該算法性能好，但復雜度較高。

然而，在實際應用中，由于信道估計誤差、用戶移動等原因，基站難以獲得精確的CSI，利用統計CSI 進行線性預編碼更為合理[13-14]。

現有的統計CSI 下的線性預編碼算法通常將信道建模為已知的信道加未知的信道誤差。信道誤差的先驗信息包括已知概率分布[3]、已知二階統計量[4,9-11]和滿足范數約束[5,12]幾種情況。

在信道誤差概率分布已知和總功率約束下，文獻[3]以遍歷和速率（Expected Sum Rate）最大化為準則，基于約束隨機逐次凸近似（Constrained Stochastic Successive Convex Approximation，CSSCA）算法[15]設計了線性預編碼算法，但是總功率約束不符合實際情況，這使得該算法難以實際應用。在信道誤差二階統計量已知和單天線功率約束下，文獻[9]以遍歷和速率最大化為準則設計了線性預編碼算法，但是其以毫米波/太赫茲信道為基礎，適用范圍小。文獻[10-11]以穩健均方誤差最小化為準則，基于確定性等效（Deterministic Equivalent，DE）和交替優化算法設計了線性預編碼算法，其遍歷和速率性能較差。在信道誤差滿足核范數約束和單天線功率約束下，文獻[12]以最壞情況和速率最大化為準則設計了線性預編碼算法，并且使用了深度展開網絡（Deep Unfolding Learning Network）減少了算法迭代次數。然而，目前并沒有對信道誤差概率分布已知且約束為單天線功率約束情況下線性預編碼算法的研究。

相比文獻[3]中不符合實際情況的總功率約束場景，本文考慮在單天線功率約束以及信道誤差概率分布已知的情況下，以遍歷和速率最大化為準則設計了線性預編碼算法。首先將問題建模為一個隨機非凸優化問題，該問題具有多個凸約束，進行半正定松弛（Semidefinite Relaxation，SDR）以簡化問題，然后主要基于CSSCA 算法[15]設計了迭代優化算法，每次迭代需解決一個優化變量為多個半正定矩陣且包含多個凸約束的凸優化問題。本文主要基于二階對偶法（Second-Order Dual Method）[16]和交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）解決了該凸優化問題。最終使用高斯隨機化（Gaussian Randomization）[17]設計了最優預編碼矩陣。

1 系統模型及問題構建

MU-MIMO 下行鏈路模型如圖1 所示。基站配備nT個天線，用戶k配備nRk個天線，用戶數為K。

圖1 MU-MIMO 下行鏈路

考慮基站端已知統計CSI，即將信道矩陣視為隨機矩陣，并將其建模為：

式中：Hk是基站端已知的信道矩陣；Ek是信道隨機誤差矩陣，其概率分布已知；即為基站端進行預編碼時所獲得的非完美的信道矩陣。由于是一個隨機矩陣，此時每個用戶的香農速率也是一個隨機變量，香農速率rk也應該表示為遍歷香農速率，則有：

本文考慮在信道誤差概率分布已知和單天線功率約束下，以遍歷和速率最大化為準則，設計線性預編碼矩陣Wk,k=1,2,…,K。

該預編碼矩陣設計問題可以建模為：

式（4）是隨機非凸優化問題，其優化變量為多個高維矩陣，并且存在多個凸約束，因此尋找其全局最優解非常困難。

由于式（4）中目標函數和約束中的預編碼矩陣均以WkWkH形式存在，因此首先進行SDR 以簡化優化問題，由此得到了隨機非凸優化問題。本文主要基于CSSCA 算法[15]設計了迭代優化算法。該算法首先通過構造凹代理函數，構造了隨機凸優化問題，然后基于蒙特卡洛采樣和自回歸模型的加權平均迭代求解該隨機凸優化問題，在每次迭代時，需要解決一個確定凸優化問題。

該凸優化問題包含多個半正定矩陣自變量且目標函數包含對數行列式函數，求解相當困難。本文基于二階對偶法[16]設計了交替迭代優化算法解決了該問題。然而，單天線功率約束包含多個凸約束，這使得交替迭代優化算法中的凸優化問題難以解決，本文使用了ADMM 算法，交替優化拉格朗日乘子和優化變量得到其最優解。交替優化后，得到了SDR 后該優化問題的局部最優解。最終，基于高斯隨機化，得到了式（4）的局部最優解。

2 線性預編碼算法設計

2.1 半正定松弛及代理凸優化問題構造

問題（4）是隨機非凸優化問題，本文主要基于SDR 和CSSCA 算法[15]設計了迭代優化算法。首先進行SDR，設Mk=WkWkH，將式（4）松弛為：

式（6）為松弛后第k個用戶的干擾加噪聲協方差矩陣（下文中的該函數均以此表達式為準）。

CSSCA 算法是求解隨機非凸優化問題的算法，其要求隨機變量的概率分布已知，而式（5）是關于Mk,k=1,2,…,K的隨機非凸優化問題，而且信道誤差矩陣的概率分布已知，滿足CSSCA 算法要求。

由于半正定松弛后速率函數是非凹函數，本文基于CSSCA 算法構造了其凹代理函數[3]，表達式為：

由此構造的代理隨機凸優化問題為：

在消除常數項后，第t次迭代需要求解的優化問題為：

雖然式（12）是一個凸優化問題，但其包含多個凸約束，且優化變量是多個半正定矩陣，因此該問題的求解相當困難。

2.2 凸優化問題解決

本節中，基于二階對偶法[16]和ADMM 算法解決優化問題（12）。

其中，

其中，

在已知Zk(m-1)的情況下，問題（19）是凸問題，滿足強對偶性，因此本文使用ADMM 算法，交替優化和λ1得到了問題（19）的最優解。問題（19）的拉格朗日函數為：

其中，

式中：eig(*,*)為兩矩陣的廣義特征值分解，(Vk,Σk)中的Vk為廣義特征值分解的特征酉矩陣，Σk為特征值對角矩陣。

第m次迭代時，式（21）的最優解Zk(m)的表達式為：

式中：vec(*)的含義是矢量化其中的矩陣，且有：

2.3 自變量更新

2.4 基于高斯隨機化設計局部最優預編碼矩陣

在得到問題（5）的局部最優解Mkopt（k=1,2,…,K）后，基于高斯隨機化設計預編碼矩陣成為問題（4）的局部最優解。

2.5 算法步驟總結及運算復雜度分析

綜上所述，線性預編碼算法步驟如下：

3 仿真實驗對比與分析

本節中，通過仿真結果驗證了線性預編碼算法在單天線功率約束下及信道誤差概率分布已知情況下遍歷和速率性能的優越性。

在實驗仿真過程中，假設已知的信道矩陣元素由滿足相互獨立的復高斯分布生成，其均值為0 且具有單位方差。信道誤差矩陣Ek,k=1,2,…,K的元素相互獨立，且滿足均值為0 的圓復高斯分布。

設基站天線數nT=24，用戶數K=5，每個用戶接收天線數和流數k=1,2,…,K，每個天線的約束功率qs=5/24，s=1,2,…,nT。算法參數設置為τk=0.1，k=1,2,…,K，ρ(t)=1/t0.51，γ(t)=1/t0.57，v=1×10-6，CSSCA 算法迭代次數上限itr=30。設所有信道噪聲功率σk2，k=1,2,…,K都一樣，將信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）定義為SNR=∑qs/σk2，即所有天線約束功率之和與噪聲功率的比值。

分別在信道誤差方差σe2=0.1 和σe2=0.05 的情況下重復運行算法，重復次數為300，由此對比本文的線性預編碼算法與文獻[3]中信道誤差概率分布已知和總功率約束下的線性預編碼算法以及文獻[8]中的信道已知和單天線功率約束下的加權均方誤差最小化（Per-Antenna Power Constraint-Weighted Minimum Mean Square Error，PAPC-WMMSE）算法在不同信噪比下的遍歷和速率，且當文獻[3]的算法得到滿足總功率約束的局部最優解后，使用縮放的方法使其滿足單天線功率約束。通過調整信道噪聲功率改變SNR，得到的遍歷和速率隨SNR變化的曲線如圖2 所示。

圖2 算法性能對比（nT=24，K=5）

可以觀察到，在信噪比超過13 dB 后，文獻[8]中利用已知信道的線性預編碼算法的遍歷和速率性能提升速度變慢，而本文的線性預編碼算法的性能仍能線性提高，且遍歷和速率性能優于文獻[8]中和文獻[3]中的算法。這說明本文提出的算法在單天線功率約束下的表現更加優越。在提高信道估計誤差后，文獻[8]中的算法性能顯著下降，而本文的線性預編碼算法的性能下降很少，這也說明了本文算法的穩健性。

進一步調整參數，令nT=4，K=8，每個天線約束功率qs=5/8，s=1,2,…,nT，以此模擬多用戶MIMO下行鏈路的情況，分別在σe2=0.1 和σe2=0.05 的情況下，在不同的信噪比下重復運行本文的線性預編碼算法和文獻[3]中的算法，重復次數為300，比較遍歷和速率性能。同時，在本文設計的算法得到Mkopt,k=1,2,…,K后，分別使用高斯隨機化和特征值分解法生成最終的預編碼矩陣。特征值分解法就是對Mkopt,k=1,2,…,K做特征值分解，選取其前Lk個特征值和特征向量，由此構造最優的預編碼矩陣。通過調整信道噪聲功率改變SNR，得到的遍歷和速率性能隨SNR變化的曲線如圖3所示。

圖3 算法性能對比（nT=4，K=8）

從圖3 可以看出，在上述模擬多用戶MIMO 下行鏈路的參數條件下本文設計的線性預編碼算法性能的優越性，同時也說明了上述情況下高斯隨機化相比特征值分解法有更好的遍歷和速率性能。

4 結語

在單天線功率約束和已知信道誤差概率分布的情況下，本文提出了一種以遍歷和速率最大化為準則的線性預編碼算法，在算法中通過高斯隨機化，提高了算法的遍歷和速率性能。提出的算法更適用于實際場景，并具備并行計算的能力。然而，本文提出的線性預編碼算法所需的迭代次數較多，算法的運算復雜度較高，而且本文采用的二階牛頓法的收斂速度及復雜度性能較差，需要后續研究進行改進。