基于ARIMA-Kalman濾波混合算法的鐵路進站客流預測方法

郭曉彤,王綺靜,勞晶晶,余彥翹,周少婷

(五邑大學,廣東 江門 529020)

0 前 言

軌道交通建設的快速發展,使其日益成為新時代旅客的主要出行方式。軌道交通車站客流預測,是優化車站客運組織、提高運營安全和運輸效率的有效途徑。但車站客流變化會受到諸如天氣、季節、節假日等多種因素的隨機影響,具有一定的隨機性和非線性特征,因此,如何提高客流預測精度具有重要的現實意義。

目前,國內外針對交通客流預測的研究方法主要包括時間序列、灰色模型、神經網絡等。趙鵬等[1]針對城市軌道交通進站客流建立ARIMA預測模型。郝勇等[2]以日為單位的客流預測問題建立ARIMA模型;武騰飛等[3]構建ARIMA模型預測公交站上下車客流量。熊杰等[4]用Kalman濾波預測地鐵換乘客流。由于上述單一模型在客流預測精度上存在一定誤差,部分學者提出混合算法進行改進。李潔等[5]將時間序列與LSTM方法相結合,建立了高鐵客流預測的組合模型,并對模型進行了精細調參,此組合模型與其他模型相比,具有更高的預報準確率。王菲華等[6]利用BP神經網絡和灰色模型對湖北省公路交通流量進行了預測,預測結果表明,該方法具有較高的精確度。求森[7]采用小波分析法對原始客流數據進行去噪處理后,將時間序列與神經網絡相組合后對客流量進行預測,以此提高模型精度。

ARIMA模型機理是對大量的歷史數據進行訓練后對未來的值進行預測,但由于數據本身易受到外界因素的隨機性的影響,預測得到的數據依據會存在誤差。Kalman濾波具有的自適應降噪特性,通過對原始數據進行迭代訓練,從而達到提高預測精確度的目的。可以發現,在傳統ARIMA預測模型中融合Kalman濾波自適應性矯正數據和降噪性能達到有效降低預測誤差的效果。但是目前ARIMA-Kalman濾波混合預測算法主要用于產量、網絡負載等領域,在城市軌道交通客流預測方面的應用較少。基于此采用ARIMA-Kalman濾波混合算法來預測鐵路進站客流,以江門東站實際的進站客流數據為研究樣本,通過Python軟件建立ARIMA模型,結合自適應Kalman濾波對模型進行修正,得到最優的ARIMA-Kalman濾波混合預測算法,達到提高進站客流預測精確度的目的。

1 模型基本原理

1.1 ARIMA模型

時間序列分析根據系統觀測得到的時間序列數據,采用曲線擬合和參數估計的方法來建立數學模型。時間序列分析方法思想主要是利用歷史數據對未來數據進行預測。在研究中,時間序列分析法會依據自身的變化規律,利用外推機制來描述時間序列的變化。

在運用時間序列分析法之前要先對數據進行差分平穩化處理、對白噪聲進行判斷,再進行預測分析。ARIMA模型也叫自回歸積分滑動平均模型,該模型由兩種模型構成,一種為p階自回歸(AR)模型,其計算方法如公式(1)所示。

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+αt,

t∈Z

(1)

式中:φ0,φ1,…,φp(φp≠0)為實數;p為自回歸階數;Xt為零均值平穩序列;αt為隨機誤差項,為白噪聲。

另一種為q階滑動平均(MA)模型的公式,定義如公式(2)所示,此方程的單變量時序數據(yt,t=1,2,3,…)一般滿足下面的關系

Xt=αt-θ1αt-1-…-θqαt-q

(2)

式中:θ1,θ2,…,θq(θq≠0)為移動平均系數;q為移動平均階數;αt為隨機誤差項,為白噪聲。

ARIMA模型的預測公式如公式(3)所示。

Xt=φ0+φ1Xt-1+…+φp(t)Xt-p+

αt-θ1αt-1-…-θqαt-q

(3)

式中:φ0,φ1,…,φp(φp≠0)為自回歸系數;p為自回歸階數;q為移動平均階數;θ1,θ2,…,θq(θq≠0)為移動平均系數;αt為隨機誤差項,為白噪聲;Xt為零均值平穩序列。

時間序列預測模型的建立,需要通過不斷地調整參數來確定最終的模型。據此,一般需要固定的評價指標來衡量,通常會以AIC、BIC、HQIC來判斷建立模型的良好性。常用的AIC準則公式如公式(4)所示,BIC準則公式如公式(5)所示,HQIC準則公式如公式(6)所示。

AIC=2×N-2ln(m)

(4)

BIC=ln(n)×N-2ln(m)

(5)

HQIC=ln[ln(n)]×N-2ln(m)

(6)

式中:N為模型參數個數,個;m為模型的最大似然函數;n為樣本容量,個。

時間序列預測模型的方法步驟主要分為四步:模型識別和定階、參數估計以及模型檢驗。

1.2 Kalman濾波模型

Kalman濾波在已知測量方程方差的基礎上,以最小均方差作為估計準則,通過公式基于前一個數據和對應的協方差來預測后一個數據,根據存在測量噪聲的數據,對線性系統的狀態方程、觀測數據、系統噪聲等進行一系列變換,預估動態系統方程,得到最優估計的算法。

Kalman濾波模型主要包括狀態方程(7)和預測方程(8)。

Xk+1=AXk+Wk

(7)

Zk=CXk+Vk

(8)

式中:Xk+1為k時刻的狀態值;Zk為k時刻的系統測量值;A為狀態轉移矩陣;Wk為白噪聲;C為觀測矩陣;Vk為觀測噪聲。

Kalman濾波模型根據空間狀態方程來調整Kalman濾波方程,主要包含有五條基本公式。Kalman濾波的基本思想是:用最小均方差誤差作為最優的估計準則。建立模型主要有兩個步驟:迭代和預測。

假設引入了一個離散控制過程的系統,一般先用一個線性方程公式(9)來表示,而它的系統觀察值公式可以用公式(10)來表示。當要預測某一狀態時,假設其狀態為k,那么狀態方程可以表示為公式(11),預測方程為公式(12)[8]。

X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)

(9)

Z(k)=HX(k)+V(k)

(10)

x(k|k-1)=Ax(k-1|k-1)+BU(k)

(11)

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)AT+Q

(12)

式中:A為轉移矩陣;B為控制矩陣;X(k)為k時刻的狀態向量;Z(k)是k時刻的觀測向量;V(k)是觀測噪聲隨機向量;x(k|k-1)為在k-1時刻預測k時刻的進站客流值;x(k-1|k-1)為k-1時刻的進站客流客流值;P為協方差矩陣;Q為觀測噪聲方程的協方差矩陣;公式(10)為系統的測量值方程;公式(11)是為當前狀態的預測值,這是由一矩陣的最優值和控制矩陣共同求得;公式(12)為協方差矩陣;U(k)為k時刻的控制變量。

接著計算此系統的Kalman增益如公式(13)所示,結合實際的測量結果用來修正系統狀態方程,如公式(14)所示,誤差協方差如公式(15)所示[9]。

K(k)=P(k|k-1)HT

×[H×P(k|k-1)HT+R]-1

(13)

x(k|k)=x(k|k-1)+K(k)×[z(k)-H×

(k|k-1)]

(14)

P(k|k)=[I-K(k)]×P(k|k-1)

(15)

式中:K為Kalman增益矩陣;P為k-l時刻的狀態協方差矩陣;H為模型狀態矩陣;R為測量噪聲的協方矩陣。

Kalman濾波的設計方法便捷,通過計算機編程即可實現。也正是這種便捷性,讓Kalman濾波在預測方面得以被廣泛使用。另外,它的運用依賴于遞歸的方法和模型的自適應性,與歷史數據無較大的聯系。

2 混合預測模型

由于存在天氣、日期等因素的影響,預測結果與理想值仍有差距。Kalman濾波運用系統狀態進行最優估計,根據自身模型的自適應性對數據進行預測,提高結果的精確度。

因此提出一種ARIMA-Kalman濾波混合算法的預測方法來預測進站客流,先構建ARIMA模型,根據模型參數和Kalman濾波方程,得到混合算法。

假設ARIMA模型寫成公式,調整其為矩陣的形式,即

(16)

結合Kalman濾波五個主要公式(9)～公式(15)、狀態方程(7)和預測方程(8),得到混合算法的預測進站客流預測方程即公式(17)。

Z=C×X

(17)

式中:Z為觀測向量;X為狀態向量。

3 實例分析

3.1 實驗數據

采用江門東站2019年的進站客流數據對前文所述方法進行實例驗證。把2019年全年的進站客流數據作為研究的樣本,對數據進行預處理后建立客流時間序列,所建立的客流時間序列如圖1所示。

圖1 車站原始數據時間序列

對客流數據進行平穩化處理后,確定模型種類和階數。通過建立ARIMA預測模型,結合Kalman濾波構建狀態空間方程,實現用Kalman濾波對客流量進行預測。在此基礎上,將江門東站2019年前359 d的數據應用到建立的模型上,預測后7 d的數據;再用前351 d的數據應用到模型上,預測后15 d的數據以及用前331 d的數據應用到模型上,預測后30 d的數據;對比三種預測情況,檢驗所建立模型的良好性。研究依托大量樣本數據,數據支持力度充足,具有一定的可靠性。

3.2 預測性能度量

采用均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)、平均絕對誤差(Mean Absolute Deviation,MAE)和平均絕對百分比誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)作為客流預測的性能度量指標,它們能反映與實際值的差距,也能反映反映測量的可信程度。因此,利用這三種判斷標準來衡量ARIMA模型和ARIMA-Kalman混合算法的良好性。比較預測得到的客流數據與實際的進站客流數據之間的誤差,單一算法和混合算法對預測數據的檢驗提高度,評判標準如下所示。

(18)

(19)

(20)

式中:m為客流預測日期;y為實際客流值;yi為預測得到的客流量。

對所建立的時間序列進行單元根檢驗。分析檢驗結果得,P檢驗值為1.650×10-9小于顯著值0.05,說明建立的時間序列是平穩的。因此在本研究中未對數據進行差分處理,即d=0。

為確定模型種類,對客流時間序列前30個自相關系數和偏自相關系數進行計算,結果如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可以看出,前30個自相關圖和偏自相關圖都是拖尾的,由此可確定模型為ARIMA(p,d,q)且所建序列是平穩的。

圖2 自相關系數

圖3 偏自相關系數

僅僅從自相關圖和偏自相關圖確定模型階數是比較困難的,所以采用AIC、BIC和HQIC準則來確定模型階數,定階結果如表1所示。當p=3,d=0,q=2時,AIC、BIC和HQIC的值皆為最小值,確定模型為ARIMA(3,0,2)。對客流時間序列進行訓練,訓練結果如圖4所示。

表1 模型定階結果

圖4 ARIMA模型訓練

將建立得到的ARIMA(3,0,2)模型與Kalman濾波結合起來。通過ARIMA-Kalman混合算法對客流量進行預測,得到ARIMA-Kalman模型與ARIMA模型預測結果對比如圖5所示。

圖5 ARIMA-Kalman模型與ARIMA模型對比

ARIMA模型和ARIMA-Kalman模型預測的絕對誤差對比圖如圖6所示。對比圖6可得知,ARIMA模型預測得到的進站客流數據誤差波動較大、誤差值也大,而ARIMA-Kalman混合算法得到的進站客流預測誤差波動較小,變化范圍基本在0～100左右。相較于ARIMA模型,ARIMA-Kalman濾波混合算法的誤差值更小。

圖6 兩種模型絕對誤差對比

計算ARIMA模型和ARIMA-Kalman模型的預測結果誤差,結果如表2所示。其均方根誤差由ARIMA模型的425.582下降至ARIMA-Kalman的168.476,降低了257.106;平均絕對誤差由ARIMA模型的311.944下降至ARIMA-Kalman的166.269,降低了145.675;平均絕對誤差百分比由ARIMA模型的10.610%下降至ARIMA-Kalman的4.955%,降低了5.655%,從表中ARIMA-Kalman混合算法三種誤差值均比ARIMA模型要小,證明了混合算法得到的預測值精確度更高。

表2 兩種模型的誤差分析結果

為檢驗模型建立的良好性,選擇江門東站2019年前359 d的數據來運用ARIMA(3,0,2)模型,預測得到未來7 d的進站客流值;選擇江門東站2019年前351 d的數據來運用ARIMA(3,0,2)模型,預測未來15 d進站客流值;同理,選擇江門東站2019年前336 d的數據來運用ARIMA(3,0,2)模型,預測得到未來30 d的進站客流值,得到的預測結果,如圖7所示。可以看出,兩種模型預測得到的進站客流變化與實際客流走勢基本一致。但相較于單一ARIMA模型,ARIMA-Kalman濾波混合模型預測值更貼近實際值,精確度更優。

圖7 預測結果對比

再分別對比兩種模型分別預測未來7 d、15 d和30 d客流量的誤差值,如表3所示。表3展示的評判標準對兩種方法的比較,均方根誤差(RMSE)、平均絕對誤差(MAE)和平均絕對百分比誤差(MAPE)能很好地反映出預測值的精確度。由表3可以看出,ARIMA-Kalman濾波混合模型在三種情況下的三種誤差值都比單一ARIMA模型的誤差值要小。由此證明混合模型能在一定程度上提高預測的精確度,且預測性能比單一ARIMA模型高。

表3 兩種模型的三種預測情況的誤差值

4 結 語

準確的客流預測有效的保證了運營安全,提高了運輸效率,但客流預測過程受到多種因素的影響,有時難以得到精確的預測結果。為了提高客流預測效果,在ARIMA模型基礎上引入Kalman濾波降噪機理,提出了一種ARIMA-Kalman濾波混合算法。并通過江門東站2019年全年進站客流數據對模型進行驗證,實例結果分析表明,相較于單一ARIMA模型,ARIMA-Kalman濾波混合算法具有更好的預測性能,可用于進站客流預測。