不等式恒成立 參數取值范圍

摘" 要：含參函數對應的不等式恒成立問題是高考中創新設置的綜合應用問題.破解此類問題，可以從函數視角切入，也可以從不等式視角切入，結合不同的思維視角來轉化與應用，實現問題的解決，總結解題規律，歸納技巧策略，引領并指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：函數；不等式；恒成立；同構；導數

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0028-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：何晨霞（1981.10—），女，河北省鹽山縣人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

含參函數對應的不等式恒成立的綜合應用問題，是函數與不等式知識交匯與融合的一個重要知識.借助不等式的合理轉化與恒等變形，借助不等式的基本性質或函數的基本性質等來合理轉化與應用，或利用不等式思維，或利用函數思維，或利用導數思維等來分析與解決相應的數學問題.1" 問題呈現

問題" （2022年11月中學生標準學術能力診斷性數學測試卷）已知函數f（x）=ex+n，g（x）=ln（x-n），若對x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，則實數n的取值范圍為.

2" 問題剖析

本題是以兩個含參函數為載體，借助含參函數的不等式恒成立創新設置，進而確定對應參數的取值范圍問題.

此類問題常用以下策略與方法來分析與求解：（1）參變分離，合理構造函數，利用導數求解最值，有時還涉及隱零點的相關問題；（2）構造函數，利用函數重要不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），lnx≤x-1（當且僅當x=1時等號成立）進行合理放縮，進而求解最值；（3）利用同構，結合含參函數的不等式恒成立的恒等變形與轉化，通過同構函數，研究函數的單調性并求解最值.

當然還可以借助反函數思維等來分析與處理該問題，主要是反函數思維在新教材中已經有所淡化，只是作為部分學生提升與課外閱讀的材料.

3" 問題破解

3.1" 導數思維

解法1" 對x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立.

則有對x∈（n，+∞），都有f（x）-g（x）=

ex+n-ln（x-n）gt;0恒成立.

構造函數h（x）=ex+n-ln（x-n），x∈

（n，+∞），

求導有h′（x）=ex-1x-n.

顯然函數h′（x）在（n，+∞）上單調遞增.

所以當x→n時，h′（x）→-∞；當x→+∞時，

h′（x）→+∞.

所以

Symbold@@ x0∈（n，+∞），使得h′（x0）=0，且當x∈（n，x0），h′（x）lt;0，此時函數h（x）在（n，x0）上單調遞減；

當x∈（x0，+∞），h′（x）gt;0，此時函數h（x）在（x0，+∞）上單調遞增.

所以利用基本不等式，可得

h（x）≥h（x0）=ex0+n-ln（x0-n）=1x0-n+n+

x0=1x0-n+（x0-n）+2n≥21x0-n×（x0-n）+2n=2+2ngt;0.

則知ngt;-1.

即實數n的取值范圍為（-1，+∞）［1］.

3.2" 放縮思維

解法2" 對

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，則有對

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有h（x）=f（x）-g（x）gt;0恒成立.

結合重要不等式，可知

h（x）=f（x）-g（x）=ex+n-ln（x-n）≥x+

1+n-（x-n）+1=2n+2gt;0，

當且僅當x=0且x-n=1時等號成立.

則知ngt;-1.

即實數n的取值范圍為（-1，+∞）.

3.3" 函數同構思維

解法3" 由f（x）gt;g（x）

Symbol解法4" 由f（x）gt;g（x）

Symbol3.4" 反函數思維

解法5" 令y=f（x）=ex+n，則ex=y-n.

即x=ln（y-n）.

則知函數f（x）與g（x）互為反函數.

結合互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，

所以當ex+ngt;x恒成立時，都有f（x）gt;g（x）恒成立.

結合重要不等式，可知ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），則有

ngt;（x-ex）max=x-（x+1）=-1.

則知ngt;-1.

即實數n的取值范圍為（-1，+∞）.

4" 變式拓展

根據以上問題的“一題多解”，進一步加以發散思維，開拓方法，鞏固相關的基礎知識與基本方法，進行“一題多變”.

變式1" 已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-32.對任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）都恒成立，則實數a的取值范圍為.

解析" 對x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）可化為2xlnx≥-x2+ax-3.

故a≤2lnx+x+3x.

構建函數F（x）=2lnx+x+3x，求導有

F′（x）=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2.

故F（x）=2lnx+x+3x在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

故F（x）≥F（1）=1+3=4.

故對x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立可化為a≤4.

即實數a的取值范圍為a≤4.

變式2" 已知函數f（x）=ln（x+1），g（x）=axex，a∈R.若對任意的x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，則實數a的取值范圍為.

解析" 對任意x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立

Symbol構建函數F（x）=ln（x+1）-axex（x≥0），求導有

F′（x）=1x+1-a（x+1）ex=1-a（x+1）2exx+1.

①當a≤0時，F′（x）＞0，故F（x）在［0，+∞）上單調遞增.

又F（0）=0，故當x≥0時，F（x）≥0，不符合題意.

②當a＞0時，

（1）當a≥1時，由于x≥0，可得a（x+1）2ex≥1.

則F′（x）=1-a（x+1）2exx+1≤0.

故F（x）在［0，+∞）上單調遞減.

故當x≥0時，F（x）≤F（0）=0，符合題意.

（2）當0＜a＜1時，構建函數

φ（x）=1-a（x+1）2ex（x≥0），

求導有φ′（x）=-a（x+1）（x+3）ex.

顯然φ′（x）＜0，φ（x）在［0，+∞）上單調遞減.

又φ（0）=1-a＞0，φ（1a-1）=1-e1a-1＜0，

故存在唯一的x0∈（0，1a-1），使得φ（x0）=0.

故當0≤x＜x0時，φ（x）＞φ（x0）=0，則

F′（x）=1-a（x+1）2exx+1＞0.

故F（x）在［0，x0）上單調遞增.

則當0≤x＜x0時，F（x）≥F（0）=0，不符合題意.

綜上分析，可得a≥1.

即實數a的取值范圍是［1，+∞）.

5" 結束語

解決此類涉及含參函數的不等式恒成立的綜合應用問題，可以從不同的思維視角切入，或構建函數利用導數思維來處理，或同構函數利用函數性質來處理，或合理放縮利用不等式思維來處理等，進而合理巧妙轉化，得以確定代數式或參數的大小關系、代數式的最值、參數的取值范圍等應用問題［2］.

在破解數學綜合應用問題時，必須合理構建數學知識網絡，借助我們的慧眼去識別相關問題中結構的同型或共性.通過不斷感知、抽象、認同、同構、建模等過程，合理鏈接熟知事物與相關數學知識的密切聯系，正確數學建模.應用共性解題，增強創新意識、同構意識與創新應用，數學知識交匯，數學思維飛躍，形成數學能力，培養數學核心素養.

參考文獻：

［1］

侯有岐.絕對值不等式中求參數范圍問題常見題型分類解析［J］.高中數理化，2023（05）：1-4.

［2］ 胡定躍.對數函數中的參數問題變式探究［J］.高中數理化，2023（15）：23-24.

［責任編輯：李" 璟］