破解分段函數(shù)中參數(shù)問題的新視角：參變分離

摘" 要：分段函數(shù)是一個重要的函數(shù)模型，其中帶有參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)問題在高考中多次出現(xiàn).文中用參變分離的方法逐段處理，很好地解決了求解分段函數(shù)的零點、函數(shù)圖象的交點個數(shù)中的參數(shù)問題.

關鍵詞：分段函數(shù);參變分離;數(shù)形結合;先分后合

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0053-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：何勇（1986—），貴州省思南人，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù)表示方式，其分段是針對函數(shù)的定義域而言的，將函數(shù)的定義域分成幾段（至少兩段），各段的對應法則各不相同.由于分段函數(shù)對理解函數(shù)的定義、解析式、性質、應用等數(shù)學基礎知識有較好的作用，倍受命題者青睞［1］.解決分段函數(shù)問題關鍵在于抓住每段內的問題，考查分類討論思想，利用參變分離能夠巧妙地處理分段函數(shù)的零點個數(shù)問題. 解題的大致思路是：在每一段內分離出參數(shù)的解析式，構建一個不含參數(shù)的分段函數(shù)，結合導數(shù)、極限等知識畫出函數(shù)的圖象，再整體分析函數(shù)的零點、函數(shù)圖象的交點個數(shù)等問題，即采用“先分后合”進行處理.

1" 高考經典真題回顧，領悟方法

題1"" （2018年天津）已知agt;0，函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關于x的方程f（x）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

解析" 當x≤0時，由f（x）=ax得-x2=a（x+1），很顯然x=-1不是方程的實數(shù)根，則

a=-x21+x;

當xgt;0時，由f（x）=ax得x2=a（x-2），顯然x=2不是方程的實數(shù)根，則a=x2x-2.

令h（x）=-x21+x，x≤0，x2x-2，xgt;0，原問題等價于h（x）與y=a有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

當x≤0時，h′（x）=-x2-2x（x+1）2，h（x）在（-∞，-2）上單調遞減，h（x）在（-2，-1），（-1，0）上單調遞增.所以h（x）極小值=h（-2）=4.

當x→-1-時，h（x）→+∞，當x→-1+時，h（x）→-∞，h（0）=0.

當xgt;0時，h′（x）=x2-4x（x-2）2，h（x）在（0，2），（2，4）上單調遞減，h（x）在（4，+∞）上單調遞增，所以h（x）極大值=h（4）=8.

因為 h（0）=0，當x→2-時，h（x）→-∞，當x→2+時，h（x）→+∞，當x→+∞時，h（x）→+∞，

繪制h（x）的圖象如圖1所示，并作出y=a的圖象l，把l進行上下移動.

由圖1可知，當agt;0時，只有l(wèi)處于l1的位置時才能使h（x）與y=a有兩個交點.

綜上可知，4lt;alt;8.

變式1" 已知agt;0，函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關于x的方程f（x）=ax恰有4個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案" agt;8 .

變式2" 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關于x的方程f（x）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案" 4lt;alt;8或alt;0.

2" 強化應用，綜合提升

題2" 已知函數(shù)f（x）=ex，xgt;0，-2x2+4x+1，x≤0，若方程f（x）+kx=0恰好有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是.

解析" 當xgt;0時，由f（x）+kx=0，得k=-exx;

當x≤0時，x=0顯然不是f（x）+kx=0根，則k=2x-1x-4.

令h（x）=-exx，xgt;0，2x-1x-4，xlt;0， 原問題等價于h（x）與y=a有三個不同的交點.

當xgt;0時，h′（x）=exx2（1-x），h（x）在（0，1）上單調遞增，h（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以

h（x）極大值=h（1）=-e，x→0+，h（x）→-∞，x→+∞，h（x）→-∞;

當xlt;0時，h′（x）=2+1x2gt;0，h（x）在（-∞，0）上單調遞增，x→0-，h（x）→+∞，x→-∞，h（x）→-∞;

作出函數(shù)h（x）與y=a的函數(shù)圖象如圖2所示.

綜上可知，alt;-e.

題3" 若函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1，xlt;0，ln（x+1）+a，x≥0，恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析" 當x≥0時，由f（x）=0，得

a=-ln（x+1）;

當xlt;0時，x=-2顯然不是f（x）的零點，則

a=-1x2+2x.

令h（x）=-1x2+2x，xlt;0且x≠-2，-ln（x+1），x≥0， 原問題等價于h（x）與y=a有兩個不同的交點.

當x≥0時，h′（x）=-1x+1lt;0，h（x）在

［0，+∞）上單調遞減，

所以 h（x）最大值=h（0）=0，x→+∞，h（x）→-∞;

當xlt;0且x≠-2時，h′（x）=2x+2（x2+2x）2，h（x）在（-∞，-2），（-2，-1）上單調遞減，h（x）在（-1，+∞）上單調遞增，所以h（x）極小值=h（-1）=1.

x→-∞，h（x）→0-，x→-2-，h（x）→-∞;

x→-2+，h（x）→+∞，x→0-，h（x）→+∞.

作出函數(shù)h（x）與y=a的圖象如圖3所示，當y=a在l1或l2的位置時都有兩個交點.

綜上可知，alt;0或agt;1.

題4" （2019年四川宜賓二診）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0gt;0，則a的取值范圍是.

解析" 由函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1可知x=0不是f（x）的零點.

由ax3-3x2+1=0，得a=3x2-1x3.

令h（x）=3x2-1x3，且h（x）是奇函數(shù)，關于原點對稱.

所以h′（x）=3（1-x2）x4.

則h（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減，h（x）在（-1，0），（0，1）上單調遞增.

所以h（x）極小值=h（-1）=-2，h（x）極大值=

h（1）=2.

當x→+∞時，3x2-1x3→0且3x2-1x3恒大于零；

當x→-∞時，3x2-1x3→0且3x2-1x3恒小于零.

當x→0-時，3x2-1x3→+∞；當x→0+時，3x2-1x3→-∞.

繪制函數(shù)h（x）的圖象如圖4所示，并作出y=a的圖象l，把l進行上下移動.

由圖4可知只有l(wèi)處于l3的位置時才能使h（x）與y=a有且只有一個交點，且橫坐標大于0.

綜上可知，alt;-2.

變式1nbsp; 已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0lt;0，求a的取值范圍.

答案" agt;2.

變式2" 已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有三個零點，其中有兩個大于0的零點，求a的取值范圍.

答案" 0lt;alt;2.

3" 結束語

通過上述四個例題的分析，得出一個結論：如果分段函數(shù)的參數(shù)可以用參變分離的方法表示出不同的解析式，即得到一個不含參數(shù)的分段函數(shù)，再通過導數(shù)、極限等知識繪制新分段函數(shù)的圖象，可以避免帶參數(shù)進行繁瑣的分類討論，達到化繁為簡的目的，很好地解決了含參數(shù)分段函數(shù)的零點、交點個數(shù)問題.

參考文獻：

［1］

胡園燕.分段函數(shù)的應用剖析［J］.中學生數(shù)理化（高考數(shù)學），2022（12）：27-28.

［責任編輯：李" 璟］