一維諧振子薛定諤方程含時演化非級數解析解

摘 要 1926年薛定諤找到了一個一維諧振子薛定諤方程含時演化解析解。這個解并不是能量本征態波函數級數求和形式。這可以讓我們從新的角度理解量子系統的隨時間演化行為。本文主要對該含時演化解析解進行了分析，給出了兩種推導方法，然后繼續推廣得到了更多的含時演化非級數解析解，找到了這些解析解的遞推關系，最后討論了這些解析解的教學意義及應用。

關鍵詞 薛定諤方程;諧振子;含時演化;解析解

一維簡諧振動是物理學中簡單卻極其重要的物理問題之一。這是因為在自然界中廣泛存在著簡諧振動。任何物體在平衡位置處的小振動，如分子振動、晶格振動等，在適當選擇坐標系之后，一般都可以分解為獨立的一維簡諧振動。簡諧振動還往往是復雜運動的初步近似，簡諧振動的解也是求解復雜問題的出發點。在量子力學中，由簡諧振子問題求解而產生的算子代數、產生和湮滅算符是量子力學形式體系的基本內容，也是表述量子力學的重要手段，特別在相對論量子場論中，諧振子自由場的產生和湮滅是進一步表達場相互作用的基礎。諧振子系統也是物理學理論中少有的能夠有嚴格解析解的物理系統。經典力學的簡諧振動方程，量子力學的諧振子波函數，以及路徑積分解析形式對理解諧振子及其相關物理機制有著重要意義，因此諧振子問題的探討是經典力學、量子力學以及量子場論的重要內容。