微磁學軟件MuMax3與OOMMF及其應用

隨著計算機科學技術的進步，微磁學作為磁學的一個重要分支近年來發展迅速.微磁學理論中的Landau-Lifshitz-Gilbert（L-L-G）方程能夠有效分析磁矩的運動，但對于大多數較為復雜的自旋結構，研究者只能通過計算機軟件進行數值模擬，如MuMax3和Object Oriented MicroMagnetic Framework（OOMMF）這2款最為常用的微磁學軟件能夠模擬出復雜的自旋結構.對比分析這2款軟件，發現MuMax3和OOMMF的計算方法相同，都是利用有限差分法對材料進行離散化，但2款軟件的運行環境、計算精度和計算速度存在較大的差異.MuMax3和OOMMF應用較為廣泛，能夠計算鐵磁、反鐵磁和亞鐵磁等多種磁性材料的性質，可用于研究磁滯回線、溫度效應和鐵磁相變等多種物理機制.對MuMax3和OOMMF這2款微磁學模擬軟件的介紹和對比發現，這2款軟件各有優點，有利于科研人員系統地了解這2款軟件，為科研人員在選擇微磁學模擬軟件時提供重要依據.

微磁學; 模擬軟件; MuMax3; OOMMF

O439

A

0711-09

06.001

1 引言及研究背景

磁學是一門歷史悠久的學科，而微磁學是磁學的一個重要分支[1].微磁學理論主要適用于分析尺度介于經典宏觀和微觀之間的物體[1].朗道（Landau）和栗弗席茲（Lifshitz）于1935年提出的L-L方程[2]，只適用于阻尼較小的磁化動力學.對于阻尼較大的體系，還需要考慮阻尼力矩，也就是Landau-Lifshitz-Gilbert（L-L-G）方程.L-L-G方程可以有效地從微觀角度分析鐵磁體內部磁化矢量的運動[3].對于求解一些如單個磁矩、一致轉動模型等簡單的自旋結構，通過人工求解其L-L-G方程去研究其磁學性質是可行的.但大多數自旋結構較為復雜，其對應的L-L-G方程沒有解析解，只能通過計算機進行數值模擬.得益于計算機科學技術的進步，軟件和硬件技術飛速發展，帶來了高效的數據處理功能，微磁學模擬軟件也順利誕生.為進一步加快計算速度，使用圖形顯卡和傅里葉變換等加速計算的硬件和算法也應運而生[4].

2 微磁學模擬軟件

2.1 微磁學原理

當前而言，微磁學理論主要包括靜態微磁學方程和動態微磁學方程[5]，分別用于分析平衡狀態和動力學過程.從熱力學平衡角度出發，系統達到自由能的最低態，則對應于系統的平衡態.結合動力學方程，可以從當前狀態出發，根據有效場[6]的作用計算分析下一步的磁矩量，從而可以分析整個過程磁矩變化的行為.微磁學模擬，通常將能量最小化[7]和動力學方程相結合，以便于更快速、更準確地分析磁矩運動.

2.1.1 靜態磁學分析原理

在微磁學模擬[8]中，將磁矩看作是一個力矩.通常認為，磁矩來源于原子核外電子的靜力矩[9].當鐵磁體中的磁化強度處于平衡狀態的時候，磁化強度平行于系統所受到的有效磁場[10].因而，有效場作用于磁化強度的力矩為零，可以用Brown方程[11]表示：

Heff×M=0，

其中，Heff為有效場，是系統總能量對磁化強度的導數：

Heff=-Etotalμ0M .

根據問題需要，考慮系統中的不同能量作用項，進而分析有效場的變化.一般地，在磁學系統中，需要考慮外加磁場、海森堡交換作用場、磁晶各向異性場、退磁場等作用.對于一些特殊問題，往往還需要根據新的相互作用，引入新的能量項進行計算[12].通過求解系統能量一階導數，可以求解能量的極值點.然而，對于極小值的判斷，還需要額外限制條件（二階導數大于零）.

2.1.2 動態磁學分析原理

動態微磁學模擬分析是當前磁學研究中使用最廣泛的方法[13]，其基本的理論核心為L-L-G方程.求解L-L-G方程，可以獲得磁化強度矢量M關于時間的演變過程，從而分析磁化動力學過程.隨時間變化的L-L-G方程如下：

M（r，t）t=－γM（r，t）×Heff+αMSM（r，t）×M（r，t）t.

材料的磁性主要來源于原子核外電子（自旋磁矩和軌道磁矩），原子核的貢獻相對較小，往往可以忽略不計[14].為方便分析，首先考慮單個原子磁矩M.如圖1（a）所示，MS為原子磁矩，S為電子自旋角動量，L為軌道角動量，v為電子速度，I為電流.對于磁化強度為M的原子，對應角動量為P，關系式滿足μ0M=－γP（γ為旋磁比）.

趙國平，等：微磁學軟件MuMax3與OOMMF及其應用

在剛體動力學中，力矩的定義是Mt=r×F，表示力F對剛體運動r的作用.類似地，參考該定義，可以將作用項空間坐標r（x，y，z）替換為磁化強度M（x，y，z），作用力F替換為等效磁場Heff.當磁矩處在有效場Heff作用下，磁化強度M受到力矩作用為L=μ0M×Heff.

根據定義，力矩對磁化強度的作用為dPdt=L.使用磁化強度替換相應變量，可以得到dMdt=－γM×Heff.該作用項為L-L-G方程的第一項，描述了在有效場作用下，磁化強度M（x，y，z）繞著Heff進動[15]，對應的力矩為L=μ0M×Heff，如圖1（b）所示.對于實際系統，在運動過程中，磁化強度M還會與周圍環境相互作用，不斷地交換能量[16].如果進動過程中，能量不斷地消耗，那么，磁化強度變化將會慢慢減弱，最后趨向于有效場的方向[17].

2.2 微磁學模擬軟件統計

基于對實際系統網格劃分的方法，可以將當前微磁學模擬軟件分為2大類：有限差分方法和有限元方法[18].目前國際上已經開發出許多微磁學模擬軟件，其中不僅包括商業收費軟件，也包括開源軟件.表1展示了目前市面上較為成熟的微磁學模擬軟件，并對其名稱、開源/收費、計算方法等進行了簡要的羅列.

通常而言，有限差分方法[19]使用長方體作為基本單元來劃分整個系統.這種方法在運算時速度較快，但在表示球體或曲率較大的圖形結構時，會出現明顯的“臺階”區域，對計算結果產生一定影響，精度相對較低.在一定程度上，使用高密度數據點[20]可以緩解這個問題.有限元方法[21]則通常使用四面體作為基本單元，其中四面體由三角形構成.這種方法在處理球體等彎曲圖形結構時，比有限差分法更為精確，但運算速度相對較慢.

根據計算需求，結合模擬計算方法、運算效率以及運算結果精確度等因素，可以采用的微磁學模擬軟件也不盡相同.圖2給出了市面上較為成熟的微磁學模擬軟件相關文獻的引用頻次，可以看出最為常用的模擬軟件主要是Object Oriented MicroMagnetic Framework（OOMMF）和MuMax3.二者均為開源軟件，且計算方式均采取有限差分法.本文重點對這2款軟件進行介紹，同時通過分析對比，簡要闡述了二者的異同.

3 OOMMF與MuMax3

這2款軟件都是利用有限差分法來對材料進行離散化，將材料劃分為一個個大小相等的長方體單元格，每個長方體單元格內存在一個方向矢量，用于表征該單元格內的磁化矢量[4].下面將對2款軟件做基本介紹.

3.1 OOMMF

OOMMF是一款當前使用較為廣泛的開源微磁學模擬軟件[22]，圖標如圖3（a）所示.該軟件于1998年由美國標準技術協會的科研人員共同開發，其主要創始人為Don Peter和Michael Donahue.OOMMF軟件的功能較為人性化，代碼編寫十分靈活，可用于Windows、Linux、Unix、Mac等操作系統，OOMMF的源代碼是由C++和Tcl/Tk組成的，C++負責底層的核心運算以保證運算速度，而Tcl/Tk負責界面以及用戶交互，用戶可根據自身需求任意增添所需模塊代碼進行模擬，其中包括溫度模塊[23]、DM交換能模塊[24]、周期性邊界條件模塊[25]等.OOMMF具有很好的可擴展性，不僅可以模擬二維磁學問題，也可以模擬三維模型[26]，例如薄膜、多層膜[27]以及線狀結構等.

OOMMF的配置文件為Tcl腳本，通常后綴為mif，其中包括了計算所需要的各種能量項以及數據保存項.該軟件主要使用方法為：首先，根據研究對象，增添代碼模塊，并設置相應參數，同時對輸出項進行設置；然后，將編寫好的腳本載入到OOMMF計算軟件；最后對輸出的omf文件進行處理.如果需要在計算中考慮某項能量，則只需在配置腳本中包含該能量項模塊即可.假設在同一個網格內材料的磁化矢量完全相同，則可以用箭頭表示每個網格中的磁化狀態.圖3（b）展示的是磁化矢量在觀察平面上的分量[28].

3.2 MuMax3

MuMax3也是一種開源的微磁學模擬軟件，圖標如圖4（a）所示.MuMax3也可以用箭頭表示每個網格中的磁化狀態，但能夠觀察磁矩的三維圖像，如圖4（b）所示.根據劃分空間中網格數量的不同，其運算速度也有所不同，具體標準后面會做詳細的解釋.另一方面，MuMax3還是一種可以在GPU和CPU上進行多線程運算的軟件，在用CPU進行計算的同時，合理占用GPU的資源，這使得在對幾何尺寸較大的材料進行微磁模擬時，MuMax3軟件的運算速度比單獨使用CPU的微磁模擬軟件快百倍以上[4，18].

3.3 網格定義規范和要求

3.3.1 網格定義基本規范

網格定義了模擬的離散化單元格[29]，對于沿一個或多個軸重復的離散化單元格，可以使用長方體狀的晶格構成.每個坐標軸方向的網格數量與單元格大小有關.在微磁學模擬軟件[30]中，幾何尺寸默認以國際單位制中的米作為長度單位.坐標的原點默認位于模擬區域的幾何中心.在所有計算的開始，需要預先定義模擬區域和網格尺寸.在重新設置網格的時候，程序會自動重新計算幾何形狀和區域，并重新分配相關物理量[30].

3.3.2 網格定義尺寸要求

在前面提到微磁學模擬的限制，一方面受限于基于有限差分的方法，一方面受限于物理規律.計算中，使用離散點來表征一個連續的系統[31]，選擇合適的離散點集合比較重要.高密度的數據點意味著超精細的網格劃分[31].此外，低密度的數據點，往往不能有效地表示連續系統，從而得不到精確的計算結果.因而，選擇合適的網格尺寸也變得比較重要.

整個系統的建立依賴于網格中磁矩之間的相互作用，這里對應一個重要的參數——交換長度[6].如果網格尺寸設置過于稀疏，超過這個交換作用，則不能有效地建立系統間相互作用[6].因而，網格單元尺寸存在一個上限.靜磁交換長度2Aexμ0M2S可以通過交換積分常數Aex和飽和磁化強度進行估計[32]，磁晶交換長度AexKu可以通過單軸磁性各項異性常數Ku進行估計[33].

從以上2個計算結果中，選擇相對較小的值作為交換長度lex的參考值.為保證較高的計算精度，網格單元尺寸不能超過交換長度lex的3/4[34].由于MuMax3中經常會使用傅里葉變換等算法[35]，建議將格點數設置成2n（n=1，2，…），這可以提高運算速度[36].因此，在正式開始計算之前，可以根據系統尺寸，估算出合適的網格尺寸和格點數量.

4 MuMax3與OOMMF的差異

MuMax3與OOMMF軟件的原理和應用都大致相同，但二者也存在一些差異，如運行環境、運算速度以及精度等方面.

4.1 MuMax3與OOMMF的運行環境

MuMax3與OOMMF的運行環境不同.MuMax3是一個GPU加速的微磁模擬軟件，需要運用Go語言和CUDA編寫腳本代碼[4]，運行該軟件需要NVIDIA GPU和Linux、Windows或Mac系統，除了NVIDIA的GPU驅動程序外，運行MuMax3并不需要依賴其他條件[37].OOMMF源代碼是用C++編寫的.C++是一種廣泛使用的、面向對象的語言，可以生成具有良好性能和可擴展性的程序[38].對于可移植的用戶界面，使用Tcl/Tk環境，這樣OOMMF就可以在各種Unix、Windows和Mac OS X等系統上運行[39].

4.2 MuMax3與OOMMF的計算精度

MuMax3與OOMMF存在著一定的差異，這些差異不僅體現在運行環境方面，同時也體現在算法方面.MuMax3是單精度算法，而OOMMF是雙精度算法[18]，因此，就運算結果的精確性而言，OOMMF要優于MuMax3.

對于常見的多媒體和圖形處理計算等工作負載，往往可以選擇32位的單精度浮點數，且計算能力高的GPU.對于一些機器學習等應用來說，16位浮點數甚至8位浮點數就已經夠用了.計算精度越高，意味著對計算資源、數據傳輸和內存存儲等方面的需求就更大，運算成本也會更大，同時也會消耗更多的能量[40].

綜上所述，MuMax3與OOMMF的計算精度不同，當二者的差別相對于研究對象而言非常小，幾乎可以忽略不計時，二者輸出的結果差別也不大.

4.3 MuMax3與OOMMF的計算速度

吞吐量是指在單位時間內，處理器從存儲設備讀取到處理設備，再到存儲信息的量，反映了運算設備的計算快慢.此節要討論的問題就是MuMax3與OOMMF的計算快慢.影響吞吐量的因素有很多，主要包括以下幾項[41]：存儲設備的存取速度（從存儲器讀出數據或數據寫入存儲器所需時間）；處理器的性能；時鐘頻率；每條指令所花的時鐘周期數（即CPI）；指令條數；系統結構，如并行處理結構可增大吞吐量.OOMMF自身受以上因素影響不大，不會因為模型大小的改變而改變吞吐量；而MuMax3的吞吐量受模型大小影響，這就是二者在吞吐量方面的差異.

MuMax3與OOMMF在計算速度方面存在差異的原因是2款軟件基于的處理器不同，MuMax3是一個GPU加速的微磁模擬軟件，而OOMMF是由CPU運行的軟件.GPU具有較多核心，如NVIDIA的GTX TITAN有4 608個核心，而CUP只有幾個核心，如現在市面上賣的最大的核心數是AMD的FX8000系列的CPU，只有8個物理核心.圖5是MuMax3與OOMMF吞吐量的對比圖，從圖中可以清晰地看到OOMMF在四核2.1 GHz CPU上的性能約為400萬單元/秒，而MuMax3的吞吐量遠遠大于OOMMF的吞吐量.但是OOMMF的吞吐量不會因為計算模型大小而改變，所以OOMMF計算速度比較穩定，而MuMax3的計算速度會根據計算模型的大小而改變.但是，即使MuMax3的吞吐量發生一定的改變，它的吞吐量也比OOMMF的吞吐量大[18].

5 MuMax3與OOMMF的應用

MuMax3與OOMMF在微磁學研究領域起到了巨大作用.基于現有微磁學研究，MuMax3與OOMMF應用到了諸多方面.按物理模型分類，MuMax3和OOMMF可以應用于研究斯格明子[42-43]、疇壁、層間交換、鐵磁共振、振蕩器[44]、渦旋、雙麥紉、多層膜結構等等.按物理機制分類，MuMax3和OOMMF可以應用于研究磁滯回線[45-46]、生物的磁感應[47]、溫度效應[48]、自旋力矩[49]、鐵磁相變[50]、交換偏置[51]等.另外這2款微磁模擬軟件能夠計算多種磁性材料的性質，如鐵磁、亞鐵磁、反鐵磁、合成亞鐵磁、合成反鐵磁材料、阻挫材料等.接下來，將對上面提到的部分研究進行簡單的介紹.

近幾年斯格明子[52-57]一直是磁學領域的研究熱點，因為斯格明子可作為磁存儲器中的非易失性信息載體，具有超高存儲密度和超低能耗等優點.但是在鐵磁體中電流驅動斯格明子存在斯格明子霍爾效應，斯格明子會偏離電流驅動方向運動[58].因此，斯格明子會在賽道邊緣被破壞，造成信息失真[59].Zhang等[60]發現在反鐵磁交換耦合雙層系統中能夠抑制斯格明子霍爾效應，這為電流驅動斯格明子使其軌跡為直線提供了一種很可靠的方法.反鐵磁交換耦合雙層系統構思巧妙，兩個垂直磁化的鐵磁層通過反鐵磁交換作用與底部鐵磁層下的重金屬層強耦合，當頂部鐵磁層產生一個斯格明子時，底部鐵磁層同時產生另一個斯格明子，如圖6（a）所示.上下兩層斯格明子所受的馬格努斯力方向相反，能夠完全抑制斯格明子霍爾效應，使其能夠沿直線移動.

在這基礎上，Xia等[54]運用OOMMF模擬了電流誘導的合成反鐵磁多層膜中斯格明子的動力學，多層膜模型如圖6（b）所示.他們發現合成反鐵磁多層膜層數越多合成反鐵磁斯格明子的穩定性越好，但是層數越多，驅動斯格明子越困難.當頂部和底部的鐵磁層厚度相同時，合成反鐵磁斯格明子沒有斯格明子霍爾效應；當頂部和底部的鐵磁層厚度不相同時，斯格明子霍爾效應不能夠被消除，合成反鐵磁斯格明子如圖6（c）所示.他們的研究為合成反鐵磁自旋器件的設計提供了很好的指導性意見，很好地消除了斯格明子霍爾效應的障礙.斯格明子是一種受拓撲保護結構，運用OOMMF模擬斯格明子時還需要對OOMMF進行程序拓展，添加DMI模塊.

斯格明子霍爾效應對于斯格明子磁性賽道存儲器來說是一個缺點，但Feng等[61]利用斯格明子霍爾效應設計了一種斯格明子二極管，模型如圖7所示.微磁模擬結果表明，在具有橫向不對稱的條狀器件中，基于電流誘導的斯格明子運動可以實現類似二極管的前向流通和反向截止的功能.

Shu等[62]還研究了鐵磁軌道中孤立的磁斯格明子的動力學，其中邊緣的磁晶各向異性能被修改，形成了一個具有較低磁各向異性能的通道，能夠很好地抑制斯格明子霍爾效應.邊緣的矩形缺口對斯格明子具有釘扎效應，通過缺口的釘扎效應，Shu等[62]提出了能夠將邏輯門和二極管功能集成到同一賽道的理論設計，并利用OOMMF進行了一系列相關的微磁模擬，模型如圖8所示.

Feng等[61]對薄膜磁化動力學進行了實驗研究及微磁模擬，運用MuMax3很好地模擬出了磁滯回線，并且與實驗研究結果吻合良好，如圖9所示[63].Baker等[64]還提供了關于鐵磁共振微磁模擬標準問題的建議，分析由激發觸發的薄坡莫合金樣品的磁化動力學，得到了鐵磁共振譜，并通過傅里葉變換確定了共振模式.另外De Clercq等[35]運用MuMax3對交換偏置展開了系列研究，發現能夠模擬非熱訓練效應，并獲得了交換偏置雙分子層的真實結果.

MuMax3與OOMMF在運行環境、單雙精度和吞吐量方面有一定的差異.MuMax3與OOMMF的運行環境不同，就決定了2款軟件對計算機的要求不同.在計算精度方面，MuMax3與OOMMF分別是單精度算法和雙精度算法，顯然OOMMF計算的精確性要比MuMax3高.但是，MuMax3與OOMMF在吞吐量方面MuMax3更勝一籌，并且MuMax3的吞吐量更加靈活，可以根據計算量的大小進行自動調節.在大多數模擬中，OOMMF與MuMax3計算結果是一致的，因此在相同情況下，部分研究人員更傾向于使用MuMax3，因為MuMax3計算速度相比于OOMMF更快、操作更加簡便.磁學模擬技術在科學研究和工業應用中已經得到長足的發展，甚至在部分磁學問題的計算中，可以獲得非常完美且接近實驗觀察的結果.然而，微磁學模擬計算仍然存在著局限性，在處理一些特定的問題時，會出現誤差較大或者不適用的情形，所以2款軟件還在持續不斷地完善中.微磁學模擬軟件的完善對微磁學發展起著舉足輕重的作用，能夠有效地促進微磁學的發展，在將來可能會有更多的微磁學模擬軟件開發出來，微磁學的發展也離不開模擬軟件的貢獻.

致謝 本文作者鄧子瑜與第一作者對本文工作具有同等貢獻，謹致謝意.

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Micromagnetics Softwares MuMax3 and OOMMF and Their Applications

ZHAO Guoping1，2， DENG Ziyu1， LUO Jia1

（1. College of Physics and Electronic Engineering， Sichuan Normal University， Chengdu 610101， Sichuan;

2. Center for Magnetism and Spintronics， Sichuan Normal University， Chengdu 610101， Sichuan）

With the development of computer science and technology， micromagnetism， as an important branch of magnetism， has developed rapidly in recent years. The Landau-Lifshitz-Gilbert （L-L-G） equation in the theory of micromagnetism can effectively analyze the motion of the magnetic moment， but for most of the more complex spin structures， researchers can only conduct numerical simulation through computer software. For example， MuMax3 and Object Oriented Micromagnetic Framework （OOMMF）， the two most popular micromagnetic softwares， can simulate complex spin structures. This paper compares and analyzes the two softwares， and finds that the calculation method of MuMax3 and OOMMF is the same to discretize the material by using the finite difference method， but there are great differences in the operating environment， calculation accuracy and calculation speed of the two softwares. MuMax3 and OOMMF are widely used to calculate the properties of various magnetic materials such as ferromagnetic， antiferromagnetic and ferromagnetic， and can be used to study various physical mechanisms such as hysteresis loops， temperature effects and ferromagnetic phase transitions. This paper introduces and compares MuMax3 and OOMMF micromagnetic simulation softwares and finds that these two softwares have their own advantages， which is helpful for researchers to understand these two softwares systematically and provide important basis for researchers to choose micromagnetic simulation softwares.

micromagnetism; simulation software; MuMax3; OOMMF

（編輯 陶志寧）

趙國平（1967—），四川師范大學教授，四川省學術技術帶頭人、省突出貢獻專家，四川師范大學物理學碩士點和自旋電子學中心負責人，中國科學院大學兼職博士生導師.本科畢業于中國科學技術大學近代物理系，2003年獲得新加坡國立大學凝聚態物理博士學位，2004年回國并破格晉升為教授.主要研究領域：磁學和自旋電子學、納米磁性材料.趙國平在Phys. Rev. Lett， Adv. Mater.和Adv. Sci等期刊發表SCI論文100余篇，被Nature electronics 和Phys. Rev. Lett等 30多個期刊聘為審稿專家，Frontiers inPhysics副編輯（Associate editor）， J. Magn. Magn. Mater等多個SCI期刊客座編輯和客座主編.提出了關于納米永磁體磁滯回線的混合模型以及納米復合磁體的“自釘扎”和“成核釘扎二重性”等新的矯頑力機制，在鐵磁和反鐵磁斯格明子動力學領域做出系列創新成果，關于磁性斯格明子賽道存儲方面的研究成果，獲得2007年諾貝爾獎得主、巨磁阻效應發現者Albert Fert等人的持續關注、引用和高度評價.2019和2008年分別獲得四川省自然科學二等獎和科技進步三等獎（均排名第一），2021年獲第二屆川渝科技大會一等獎（排名第一）.