軌形上哈密頓向量場的中心擴張

研究軌形上的辛向量場和哈密頓向量場，得到軌形上哈密頓向量場李代數的中心擴張，并計算該中心擴張的 2-cocycle.

辛向量場; 哈密頓向量場; 李代數中心擴張; 軌形

O186; O153

A

0841-06

06.014

1 預備知識

李代數的中心擴張是構建李代數的有效且強有力的方法，特別是無限維李代數的例子大多來自于李代數的中心擴張.每個李代數的中心擴張都對應于一個李代數上同調的度為2的上同調類，更具體地，每個李代數中心擴張都對應于一些2-cocycles，這些2-cocycles決定了同一個上同調類.在微分幾何中，（無限維）李代數的例子很多，比如一個光滑流形M的向量場在Poisson括號下自然構成一個無窮維李代數（M），在一個辛流形（M，ω）上辛向量場和哈密頓（Hamiltonian）向量場都構成（M）的李子代數.文獻[1]給出了哈密頓向量場李代數的中心擴張.文獻[2]詳細介紹了Kostant的結果，并計算了哈密頓向量場李代數的中心[WTHZ]R[WTBX]-擴張對應的2-cocycle.

軌形最早由文獻[3]引入.它是光滑流形的自然推廣，局部上同胚于歐氏空間商掉一個有限群的光滑作用.微分形式和向量場等微分幾何的概念可以自然地推廣到軌形上.本文的目的是研究軌形上光滑向量場的李代數結構和它上面的哈密頓向量場李代數的中心擴張.

2 軌形的基本概念

本節介紹軌形[4]的相關定義、軌形微分形式、de Rham[KG-*1/3]上同調和軌形向量場，并證明軌形向量場構成一個李代數.在本文中，X表示一個仿緊的第二可數Hausdorff空間.

定義 2.1

X上的一個n維軌形坐標卡是一個三元組（，G，φ），滿足以下條件：

1） 是[WTHZ]R[WTBX]n中的連通開子集;

2） G是一個有限群，且光滑有效地作用在上;

3） φ：→X是G-不變的連續映射，誘導了從/G到U=φ（）X的同胚.

給定軌形坐標卡（，G，φ），稱（，G，φ）為U的一致化系統，G為局部群.

給定2個軌形坐標卡（i，Gi，φi）和（j，Gj，φj），若光滑嵌入λ：i→j滿足φjλ=φi，則稱λ為2個軌形坐標卡的嵌入，記作λ：（i，Gi，φi）（j，Gj，φj）.一個軌形坐標卡的嵌入λ：ij誘導了局部群的單同態λ：GiGj[5].

定義 2.2

X上一個n維軌形圖冊是一族n維軌形坐標卡U={（i，Gi，φi）}i∈I，滿足以下條件：

1） {Ui=φ（i）}i∈I為X的開覆蓋;

2） 對于任意x∈Ui∩Uj，存在一個坐標卡（k，Gk，φk），使得x∈UkUi∩Uj，且有軌形坐標卡的嵌入

（i，Gi，φi）λki（k，Gk，φk）λkj

（j，Gj，φj）.

定義 2.3

給定X上的一個n維軌形圖冊U，則稱X=（X，U）為（n維）軌形.

注記 2.4

在一般的文獻中，比如文獻[3-4]，會遇到軌形圖冊的加細與等價的概念.給定2個軌形圖冊U和U′，若存在一個映射μ：U→U′滿足U中任意坐標卡（i，Gi，φi）能嵌入到μ（i，Gi，φi）中，則稱U為U′的加細，記作UU′.若2個軌形圖冊有共同的加細，則稱它們是等價的.而軌形一般也定義為一個拓撲空間附帶上一個軌形圖冊的等價類.

但是在討論軌形上的微分形式與向量場等概念時，往往一個特定的軌形圖冊會更方便[6].因此，本文將軌形定義為一個拓撲空間外帶一個軌形圖冊，而非軌形圖冊的等價類.

接下來介紹軌形上的微分形式和de Rham[KG-*1/3]上同調.

定義 2.5

給定軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）.它上面的一個k-次軌形微分形式ω是由一族光滑流形上的k-次微分形式（ωi）i∈I給出的，其中ωi∈Ωk（i）是i上的k-次微分形式，且滿足條件：

1） 對每一個坐標卡（i，Gi，φi），ωi是Gi-不變的k-次微分形式;

2） 當Ui∩Uj≠時，對任意的UkUi∩Uj上的一致化系統和軌形坐標卡的嵌入λki：（k，Gk，φk）（i，Gi，φi）與λkj：（k，Gk，φk）（j，Gj，φj），都有λ*kiωi=λ*kjωj.

軌形上的0-次軌形微分形式也稱為光滑函數.因此，一個光滑函數對應于一個底空間X上的連續函數，使得它在每個軌形坐標卡上有光滑的提升.X上的光滑函數的空間Ω0（X）也記作C∞（X）.

記軌形X=（X，U）上的所有k-次軌形微分形式的集合為Ωk（X）.顯然它關于軌形微分形式的逐點加法與數乘構成了一個無窮維的實線性空間，記它們的直和為

Ω*（X）=k∈Z≥0Ωk（X）.

由于光滑流形上的微分形式上的外微分與拉回映射交換，因此，每個軌形坐標卡上的外微分算子誘導了一個算子：

d：Ωk（X）→Ωk+1（X），

而且也有d2=0.稱（Ω*（X），d）為軌形X的de Rham復形，并稱它的上同調為軌形的de Rham上同調，即（記為）

HkdR（X）=ker d：Ωk（X）→Ωk+1（X）Im d：Ωk-1（X）→Ωk（X）.

特別地，稱d的核中元素為閉形式，像中的元素為恰當形式.后文需要辛軌形的定義.

定義 2.6

設ω=（ωi）∈Ω2（X），若對于每個坐標卡（i，Gi，φi），ωi是i上閉的非退化2-形式，則稱ω為X上的辛形式;此時，稱（X，ω）為一個辛軌形.

接下來介紹軌形上的向量場，并且說明它們構成一個李代數.為了讀者方便，首先回憶李代數的定義.

定義 2.7

設V為域F上的線性空間，若V上有一個二元運算V×V→V，（x，y）MT ExtraaA@[x，y]滿足以下條件：

1） 分配律：[av+bz，w]=a[v，w]+b[z，w]，[w，av+bz]=a[w，v]+b[w，z]；

2） 反對稱性：[v，w]=-[w，v]；

3） Jacobi恒等式：[[v，w]，z]+[[w，z]，v]+[[z，v]，w]=0.

其中，v，w，z∈V，a，b∈F，則稱（V，[，]）為李代數.

2個李代數之間的線性映射f：（V，[，]）→（W，[，]）若保持李括號，即f（[a，b]）=[f（a），f（b）]，則稱f為李代數同態，若更進一步，f為線性同構，則稱f為李代數同構.

軌形向量場的定義與微分形式的定義類似.

定義 2.8

軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）上的一個（軌形）向量場v=（vi）i∈I（或簡記為v=（vi））是一族向量場，滿足：

1） 每個vi是i上的Gi-不變的向量場;

2） 對任意的軌形坐標卡的嵌入λij：ij都有dλij（vi）=vj|λij（i），即vi與vj是λij-相關聯的.

記所有這樣的軌形向量場的集合為（X），它關于加法與數乘構成實線性空間.定義2個軌形向量場v=（vi），w=（wi）∈（X）的Poisson括號如下：

[v，w]：=（[vi，wi]），

（1）

其中，[vi，wi]為光滑流形上光滑向量場的Poisson括號.注意到光滑流形的光滑向量場的Poisson括號與切映射是相容的[7]，即對任意的軌形坐標卡的嵌入λij：ij，都有

[dλij（vi），dλij（wi）]=dλij（[vi，wi]）.

因此，軌形向量場的Poisson括號（1）式是良定義的.簡單驗證，即可發現如下結論.

引理 2.9

（X）帶上Possion括號（1）式后是一個實李代數.

和光滑流形情形類似，軌形微分形式也可以和軌形向量場做配合，而一個軌形微分k-形式也由它與任意k個軌形向量場的配合的值決定.類似于（1）式可以定義軌形微分形式沿著軌形向量場的李導數和軌形微分形式關于軌形向量場的如下縮并.

定義 2.10

給定k-次軌形微分形式ω=（ωi）∈Ωk（X）和軌形向量場v=（vi）∈（X），定義ω沿著v的李導數為

Lvω：=（Lviωi）.

定義 2.11

給定軌形微分形式ω=（ωi）∈Ωk（X）和軌形向量場v，vi∈（X），i=1，2，…，k-1.定義ω關于v的縮并為如下給出的軌形微分形式

（ιvω）（v1，v2，…，vk-1）=ω（v，v1，…，vk-1）.

它們滿足如下的性質.

引理 2.12

軌形微分形式關于軌形向量場的李導數與縮并都是良定義的，且它們以及軌形向量場的Poisson括號和軌形微分形式的外微分滿足如下關系：

dLv-Lvd=0， Lvω=dιvω+ιvdω， ι[v，w]=Lvιw-ιwLv，

其中，v，w∈（X），ω∈Ωk（X）.

證明

關于良定義性，只需要注意到李導數、縮并與切映射的相容性即可.如此上述幾個等式的驗證就變成局部上每個軌形坐標卡上的驗證，即流形情形的驗證.這是顯然成立的.

同樣地，對于軌形微分形式的外微分有如下的與光滑流形情形一致的公式：

dω（v0，…，vn）=∑0≤i≤n（-1）ivi（ω（v0，…，v^i，…，vn））+

∑0≤ilt;j≤n（-1）i+jω（[vi，vj]，v0，…，v^i，…，v^j，…，vn），

（2）

其中“·^”表示刪去這個變量.

3 軌形上哈密頓向量場李代數的中心擴張

本節討論本文的主要結果，即軌形上的哈密頓向量場的中心擴張.固定一個n維軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）和它上面的一個閉的2-形式ω=（ωi）∈Ω2（X）.

定義 3.1

稱軌形向量場v∈（X）為辛向量場，若Lvω=（Lviωi）=0.記Symp（X）={v|Lvω=0}為所有辛向量場的集合.

關于辛向量場有如下的簡單刻畫.對于給定閉的2-形式ω可以定義線性映射

I：（X）→Ω1（X），v=（vi）MT ExtraaA@ιvω=（ιviωi）.

（3）

命題 3.2

軌形向量場v為辛向量場當且僅當I（v）為閉的1-形式.

證明

因為ω是閉的，由引理2.12有Lvω=（Lviωi）=（ιvidωi+dιviωi）=（dιviωi）=dI（v）.若Lvω=0，則dI（v）=0，所以I（v）為閉的1-形式;若I（v）為閉的1-形式，則Lvω=dI（v）=0.證畢.

若v=（vi）為辛向量場，則對每個軌形坐標卡（i，Gi，φi）∈U，ιviωi為i[WTHZ]R[WTBX]n上閉的Gi-不變1-形式.可以問是否存在光滑函數f=（fi）∈C∞（X），使得dfi=ιviωi，即ιvω是恰當的.

定義 3.3

軌形向量場v稱為哈密頓向量場，若存在軌形上的光滑函數f=（fi）∈C∞（X），使得在每個坐標卡上dfi=ιviωi，即df=ιvω.

[JP2]記HX={v|存在f∈C∞（X），使得ιvω=df}為所有哈密頓向量場的集合，顯然HXSymp（X）.[JP]

對于每個v∈Symp（X），ιvω是一個閉形式，因此，決定了一個上同調類[ιvω]∈H1dR（X）.如此得到一個線性映射：

t：Symp（X）→H1dR（X）， vMT ExtraaA@[I（v）].

賦予H1dR（X）平凡李代數結構，即李括號為0.本文的第一個主要結論如下.

引理 3.4

1） Symp（X）是（X）的李子代數，HX為Symp（X）的李子代數，且有如下的李代數正合序列

0HXiSymp（X）tH1dR（X）.

（4）

2） 若ω是辛形式，則上面的正合序列可以擴充為

0HXiSymp（X）tH1dR（X）0.[JY]（5）

證明

1） 首先說明Symp（X）（X）是李子代數.因此，只需要說明Symp（X）關于（X）上的Poisson括號是封閉的，即驗證對于任意的v，w∈Symp（X）都有[v，w]∈Symp（X）.利用引理2.12和辛向量場的定義，做如下的計算：

L[v，w]ω=（L[vi，wi]ωi）

=（dι[vi，wi]ωi）=

（d（Lviιwiωi-ιwiLviωi））=

（dLviιwiωi）=dLvιwω

=Lvdιwω=Lv（dI（w））=0，

所以Symp（X）為（X）的李子代數.

接下來證明HX為Symp（X）的李子代數，即證明它關于軌形向量場的Poisson括號也封閉.設v，w∈HX，I（v）=（ιviωi）=df=（dfi），I（w）=（ιwiωi）=dg=（dgi），則

I（[v，w]）=（ι[vi，wi]ωi）

=（Lviιwiωi-ιwiLviωi）=

（Lvidgi）=Lv（dg）=dLvdg+Lvd（dg）=d（v（g））=d{f，g}，

（6）

所以[v，w]∈HX，即HX為Symp（X）的李子代數.（4）式在HX處正合.

接下來說明（4）式在Symp（X）正合.首先說明t是李代數同態，由前面的計算，根據命題3.2，對于辛向量場v，w∈Symp（X）有

I（[v，w]）=（ι[vi，wi]ωi）

=（Lviιwiωi-ιwiLviωi）

=（Lviιwiωi）=

（dιviιwiωi+ιvidιwiωi）=（dιviιwiωi）+ιvdI（w）=

（dιviιwiωi）=（dωi（wi，vi））=dω（w，v）.

因此，[I（[v，w]）]=0，所以t是李代數同態.

最后說明ker t=Im i.首先由t與i的定義可知，對于任意的哈密頓向量場v，如果ιvω=df，f∈C∞（X），那么t（i（v））=[ιvω]=[df]=0∈H1dR（X），即Im iker t.現在假設v∈Symp（X）使得t（v）=0，即[ιvω]=0.那么由軌形de Rham上同調的定義，存在光滑函數f∈C∞（X）=Ω0（X）使得ιvω=df.因此，v∈i（HX）=Im i，ker t=Im i.所以（4）式是正合列.

2） 此時只需驗證Symp（X）tH1dR（X）→0的正合性，即證t為滿射.假設[α]∈H1dR（X）由閉形式α∈Ω1（X）代表.注意到當ω是辛形式時，I：（X）→Ω1（X）為同構，有唯一的光滑向量場v=（vi）∈（X），使得I（v）=α，dI（v）=dα=0，v為辛向量場，t為滿射.證畢.

但是在一般情況下，當ω只是閉而非辛形式時，并不是所有光滑函數f∈C∞（X）都存在光滑向量場v∈（X）使得df=I（v）.

定義 3.5

若軌形X上的光滑函數f滿足df∈Im I，則稱它為哈密頓函數.記C∞（X/K）為所有哈密頓函數的集合.

下面賦予這個集合一個李代數結構，并討論它與HX的關系.

定理 3.6

1） 在C∞（X/K）上賦予如下的李括號：

{f，g}=v（g），

（7）

其中v∈（X）滿足I（v）=df，則C∞（X/K）是李代數.

2） [JP2]常值函數構成了C∞（X/K）的中心李子代數[WTHZ]R[WTBX]C∞（X/K），因此，有商李代數C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]，以及李代數的中心擴張[JP]

[JP3]0[WTHZ]R[WTBX]C∞（X/K）C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]0.[JP]（8）

3） 若X是連通的，則有李代數正合序列

0ker IαHXβC∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]0，

（9）

其中映射I：（X）→Ω1（X）由（3）式給出，即I（v）=ιvω，α為含入映射，β為vMT ExtraaA@[f]，其中f滿足df=I（v）.

證明

1） 首先說明李括號（7）式是良定義的，即證明2個哈密頓函數f，g∈C∞（X/K）的李括號{f，g}還是哈密頓函數.為此假設有軌形向量場v1，v2∈（X）滿足I（v1）=ιv1ω=df，I（v2）=ιv2ω=dg，則按定義{f，g}=v1（g）.注意到此時的v1和v2是哈密頓向量場.下面尋找向量場v{f，g}，使得它滿足ιv{f，g}ω=d{f，g}.若它存在，則它滿足

ιv{f，g}ω

=d{f，g}=dv1（g）=d（ιv1dg）=d（ιv1ιv2ω）=

Lv1ιv2ω-ιv1dιv2ω=Lv1ιv2ω=

Lv1ιv2ω-ιv2Lv1ω=ι[v1，v2]ω.

可以取v{f，g}=[v1，v2].這說明{f，g}是哈密頓函數，且李括號（7）式是良定義的.接下來說明它給出的C∞（X/K）上一個李代數結構.

顯然李括號（7）式是雙線性的，只需證此李括號（7）式是反對稱的且滿足Jacobi恒等式.為此首先給出李括號（7）式的另一個表達.用上一段的符號，有

{f，g}=v1（g）=ιv1dg=ιv1ιv2ω=ω（v2，v1），

（10）

同理{g，f}=ω（v1，v2）.由于ω是反對稱的，所以{f，g}=-{g，f}.接下來考慮Jacobi恒等式.

假設有第3個哈密頓函數h以及哈密頓向量場v3使得I（v3）=dh，則由（10）式有

{{f，g}，h}=ω（v3，[v1，v2]）.

又因為

{{f，g}，h}=-{h，{f，g}}=-v3（{f，g}）=-v3（ω（v2，v1））=v3（ω（v1，v2）），

所以ω（v3，[v1，v2]）=v3（ω（v1，v2））.因為ω是閉形式，由（2）式有

0=dω（v1，v2，v3）=

v1（ω（v2，v3））-v2（ω（v1，v3））+v3（ω（v1，v2））-

ω（[v1，v2]，v3）+ω（[v1，v3]，v2）-ω（[v2，v3]，v1）=

v1（ω（v2，v3））+v2（ω（v3，v1））+v3（ω（v1，v2））+

ω（v3，[v1，v2]）+ω（v2，[v3，v1]）+ω（v1，[v2，v3]），

所以

{{f，g}，h}+{{g，h}，f}+{{h，f}，g}=12dω（v1，v2，v3）=0.

這說明李括號（7）式滿足Jacobi恒等式.因此C∞（X/K）賦予李括號（7）式之后是一個李代數.

2） 這里[WTHZ]R[WTBX]表示X上的常值光滑函數的集合.常值函數顯然都是哈密頓函數，且對應的哈密頓向量場可以都取為0.因此，C∞（X/K）的李括號在[WTHZ]R[WTBX]上的限制為0，[WTHZ]R[WTBX]是它的中心李子代數.有商李代數C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]，它上面的李括號為

{[f]，[g]}：=[{f，g}]，

其中f∈[f]，g∈[g].短正合列（8）式是一個C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]的中心擴張.

3） 最后證明（9）式是李代數的正合列.首先ker I中的元素都是哈密頓向量場，實際上它們都可以對應哈密頓函數0.映射α定義為含入映射，所以是李代數單同態.其次說明映射β是良定義的.假設對于給定的哈密頓向量場v∈（X）有2個哈密頓函數f，g∈C∞（X/K）使得df=dg=I（v）.則在每個坐標卡（i，Gi，φi）上，f與g的提升滿足fi-gi=常數，記為ci.由于f與g的提升關于坐標卡的嵌入相容，所以對于任意的坐標卡嵌入λij：ij，等式λ*ijcj=ci都成立.{ci}i∈I給出了一個整體定義的常值函數，記為c，因此，f-g=c，[f]=[g]，β（v）=[f]是良定義的.而且若I（v1）=df，I（v2）=dg，那么由（6）式可知β（[v1，v2]）=[{f，g}]={[f]，[g]}.β是李代數同態.

最后說明（9）式是正合列.由哈密頓函數的定義可知β是滿射.要證明（9）式的正合性，只需證Im α=ker β.由定義可知ker βIm α.現在假設v∈Im α=ker I，則I（v）=0=d0，β（α（v））=[0]=0，即Im αker β.所以ker" β=Im α.證畢.

假設X連通，則當ω為辛形式時，映射I為同構，ker I=0，且由（9）式有C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]HX.另外，還有C∞（X/K）=C∞（X）.此時（8）式可作如下改進.

推論 3.7

假設X連通，ω為辛形式，則有李代數短正合列

0[WTHZ]R[WTBX]C∞（X）HX0.

（11）

這是辛流形情形哈密頓向量場李代數的中心擴張的辛軌形情形的推廣.接下來討論當ω不為辛形式時（即ω不是非退化的2-形式）的情況.

設X連通，令

X：={（v，f）|v∈HX，且I（v）=df}HX×C∞（X）.

由定理3.6的1）的證明可知，X是乘積李代數HX×C∞（X）的李子代數.它上面的李括號為：[（v，f），（w，g）]=（[v，w]，{f，g}），其中，I（v）=df，I（w）=dg.

定理 3.8

1） 有正合序列

0[WTHZ]R[WTBX]λXρHX0，[JY]（12）

其中，λ：cMT ExtraaA@（0，c），ρ：（v，f）MT ExtraaA@v.

2） 當ω為辛形式時，XC∞（X），（12）式即是（11）式.

證明

2）是由于此時I：（X）→Ω1（X）是同構.下面只考慮1）.首先由定義可知λ為單射，ρ為滿射，所以只需證Im λ=ker ρ.若（v，f）∈ker ρ，即v=0，則由0=I（v）=df，可以得出f為常數，所以ker ρImλ;反過來任意常值函數c∈[WTHZ]R[WTBX]有ρ（λ（c））=ρ（0，c）=0，Im λker" ρ.證畢.

最后計算HX的中心[WTHZ]R[WTBX]-擴張（12）式對應的HX的度為2的以[WTHZ]R[WTBX]為系數的李代數上同調的上同調類的一個代表元，即一個2-cocycle.首先回顧一下一般的李代數中心擴張的2-cocycle的計算.任給一個李代數中心擴張

0ABpC0，

任取截面s：C→B使得ps=idC，則映射

c：C×C→A， c（c1，c2）：=[s（c1），s（c2）]-s（[c1，c2]）

即叫做此李代數擴張的2-cocycle.當c≡0時，s為同態，這時候此李代數中心擴張是可分裂的.一般的李代數中心擴張的等價分類則是一一對應于H2（C，A）.此2-cocycle c則是相應的上同調類的代表元.

定理 3.9

假設X是連通的.任取x∈X，以及它在軌形坐標卡（i，Gi，φi）中的一個提升∈i，則中心擴張（12）式的2-cocycle為

c（v1，v2）=-ω（v1，v2）.

證明

取截面s：HX→X為s（v）=（v，f），其中df=I（v），f（x）=0.這樣的f是唯一的，s是一個映射.它顯然是ρ：X→HX的截面，即ρs=idHX.

則對于哈密頓向量場v1，v2∈HX和它們所對應的滿足dfi=I（vi）且fi（x）=0，i=0，1的哈密頓函數f1，f2，有

c（v1，v2）

=[s（v1），s（v2）]-s（[v1，v2]）=

[（v1，f1），（v2，f2）]-（[v1，v2]，g）=

（[v1，v2]，{f1，f2}）-（[v1，v2]，g）=

（0，{f1，f2}-g），

其中，dg=I（[v1，v2]），且g（x）=0.又因為由（6）式有d{f1，f2}=ι[v1，v2]ω=I（[v1，v2]），所以dg=d{f1，f2}，則{f1，f2}-g恒為常數，且等于它在x的取值.有[JP2]（{f1，f2}-g）|x={f1，f2}x=ω（v2，v1）=[JP]-ω（v1，v2）.證畢.

參考文獻

[1] KOSTANT B. Quantization and unitary representations[M]. Berlin： Springer-Verlag，1970.

[2] BRYLINSKI J L. Loop spaces， characteristic classes and geometric quantization[M]. Boston： Birkhuser，1993.

[3] SATAKE I. On a generalization of the notion of manifold[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences，1956，42（6）：359-363.

[4] ADEM A， LEIDA J， RUAN Y. Orbifolds and stringy topology[M]. Cambridge： Cambridge University Press，2007.

[5] MOERDIJK I， PRONK D A. Orbifolds， sheaves and groupoids[J]. K-theory，1997，12（1）：3-21.

[6] DU C Y， HE K， XUE H. On triangulations of orbifolds and formality[J]. Annals of Global Analysis and Geometry，2022，62（4）：829-845.

[7] 陳維桓. 微分流形初步[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[JP3]Central Extension of the Lie Algebra of Hamiltonian Vector Fields over Orbifolds[JP]

HUANG Kaihe， CHEN Hongyu， DU Chengyong

（School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

The symplectic vector fields and hamiltonian vector fields over orbifolds are studied. A central extension of the Lie algebra of hamiltonian vector fields is obtained， and the corresponding 2-cocycle is calculated.

symplectic vector fields; hamiltonian vector fields; central extension of Lie algebras; orbifolds

2020 MSC：57R18; 17B66

（編輯 鄭月蓉）