臨界點理論在分數階微分方程邊值問題中的應用

摘要： 用臨界點理論和變分法研究Banach空間中帶Sturm-Liouville邊值條件的Caputo型分數階微分方程解的存在性. 通過定義適當的分數階導數空間， 將分數階微分方程邊值問題解的存在性轉化為尋找定義在某個空間上對應泛函的臨界點， 得到了該邊值問題存在一系列無界的廣義解.

關鍵詞： Sturm-Liouville邊值條件; 臨界點理論; 變分法; 不連續分數階導數

中圖分類號： O175.8" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0831-11

Applications of Critical Point Theory to BoundaryValue Problems of Fractional Differential Equations

QIN Ruizhen， ZHOU Wenxue， CAO Meili

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： The critical point theory and the variational method were used to study the existence of the solution for the Caputo type fract

ional differential equation with the Sturm-Liouville boundary condition in Banach space. By defining the appropriate fractional derivative space， the existence

of the solution to the boundary value problem of fractional differential equation was transformed into finding the critical point defined as the corresponding f

unctional in a certain space， and a series of unbounded generalized solutions to the boundary value problem were obtained.

Keywords： Sturm-Liouville boundary condition; critical point theory; variational method; discontinuous fractional derivative

0 引 言

分數階微分方程相比于整數階微分方程， 能更準確地描述并分析一些復雜的系統和現象. 因此， 分數階微分方程在物理、 電化學、 黏彈性、 控制、 多孔介質和電磁學等領域應用廣泛［1-4］. 人們已利用一些經典的工具得到了許多關于分數階微分方程解的存在性結果， 如不動點理論、 拓撲度理論和比較方法［5-8］等. 而臨界點理論是處理分數階微分方程邊值問題的有效工具［9-14］， 但利用臨界點理論研究分數階邊值問題解的存在性文獻報道相對較少.

文獻［15］研究了如下分數階微分方程邊值問題：

ddt120D-βt（u′（t））+12

tD-βT（u′（t））+F（t，u（t））=0， t∈［0，T］，u（0）=u（T）=0，

通過變分方法， 建立了關于其解的存在性等準則. 文獻［16］研究了如下分數階邊值問題：

-ddt120D-βt（u′（t））+12tD-βT（u′（t））∈F（t，u（t））， t∈［0，T］，

u（0）=u（T）=0，

利用非光滑臨界點理論的變分方法， 證明了其解的存在性和多重性.

受上述研究結果的啟發， 本文研究帶Sturm-Liouville邊值條件的不連續分數階邊值問題（BVP）：

ddt12C0Dβt（u2（t））+12C

tDβT（u2（t））+f（u（t））=0， a.e.t∈［0，T］，au（0）-b12C0D

βtu2（0）+12CtDβTu2（0）=0，

cu（T）+d12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0（1）

解的存在性， 其中C0Dβt和CtDβT分別表示3≤βlt;4階左、 右Caputo分數階導數， a，b，c，dgt;0， f：瘙綆

→瘙綆是一個幾乎處處連續函數， u（t）為單調減函數.

1 預備知識

定義1（左、 右Riemann-Liouville分數階導數）［17］

令f是定義在［a，b］上的一個函數， 函數f的左、 右γgt;0階Riemann-Liouville分數階導數分別用aDγtf（t）和tDγbf（t）表示， 定義如下：

aDγtf（t）=dndtnaDγ-ntf（t）=1Γ（n-γ）

dndtn∫ta（t-s）n-γ-1f（s）ds，

tDγbf（t）=（-1）ndndtntDγ-nbf（t）=1Γ（

n-γ）（-1）ndndtn∫bt（s-t）n-γ-1f（s）ds，

其中t∈［a，b］， n-1≤γlt;n， n∈瘙綃. 特別地， 如果0≤γlt;1， 則

aDγtf（t）=ddtaDγ-1tf（t）=1Γ（1-γ）

ddt∫ta（t-s）-γf（s）ds，" t∈［a，b］，

tDγbf（t）=-ddttDγ-1bf（t）=-1Γ（1-γ）ddt∫bt（s-t）-γf（s）ds，" t∈［a，b］.

注1 如果f∈C（［a，b］，瘙綆N）， 則顯然f在區間［a，b］上存在

γgt;0階的Riemann-Liouville分數階積分. 另一方面， 如果f∈ACn（［a，b］，瘙綆N）， 則在［a，b］上存在γ∈［n-1，n）階Ri

emann-Liouville分數階導數， 其中Ck（［a，b］，瘙綆N）（k=0，1，…）表示在［a，b］上有k次連續可微的映射集， AC（［a，b］，瘙綆N）是在［a

，b］上f∈Ck-1（［a，b］，瘙綆N）絕對連續的函數空間， AC（k）（［a，b］，瘙綆N）（k=0，1，…）是函數f的空間， 使得f（k-1）∈A

C（［a，b］，瘙綆N）. 特別地， AC（［a，b］，瘙綆N）=AC1（［a，b］，瘙綆N）.

定義2（左、 右Caputo分數階導數）［17］ 令γ≥0且n∈瘙綃.

1） 如果γ∈（n-1，n）且f∈ACn（［a，b］，瘙綆N）， 則函數f的左、 右γ階Caputo分數階導數分別用CaDγtf（t）和

CtDγbf（t）表示， 且在［a，b］上幾乎處處存在. CaDγtf（t）和CtDγbf（t）分別定義為

CaDγtf（t）=aDγ-ntf（n）（t）=1Γ（n-γ）∫ta（t-s）n-γ-1f（n）（s）ds，

CtDγbf（t）=（-1）ntDγ-nbf（n）（t）=（-1）nΓ（n-γ）∫bt（s-t）n-γ-1f（n）（s）ds，

其中t∈［a，b］. 特別地， 如果0lt;γlt;1， 則

CaDγtf（t）=aDγ-1tf′（t）=1Γ（1-γ）∫ta（t-s）-γf′（s）ds，" t∈［a，b］，

CtDγbf（t）=-tDγ-1bf′（t）=-1Γ（n-γ）∫bt（s-t）-γf′（s）ds，" t∈［a，b］.

2） 如果γ=n-1且f∈ACn-1（［a，b］，瘙綆N）， 則CaDn-1tf（t）和CtDn-1bf（t）分別表示為CaDn-1tf（t）=f（n-1）

（t）和CtDn-1bf（t）=（-1）（n-1）f（n-1）（t）， t∈［a，b］. 特別地， CaD0tf（t）=CtD0bf（t）=f（t）， t∈［a，b］.

2 分數階導數空間

定義3［17］ 令α∈（1/2，1］， p∈［1，+∞）， 分數階導數空間

Eα，p={u： ［0，T］→瘙綆N： u是絕對連續的且0Dαtu∈Lp（［0，T］，瘙綆N）}

的定義是C∞0（［0，T］，瘙綆N）在Eα，p0范數

‖u‖α，p=∫T0u（t）p+0Dαtu（t）pdt1/p（2）

中的閉包.

引理1［17］ 令α∈（0，1］， p∈（1，+∞）， 則空間Eα，p關于范數‖u‖α，p是一個可分自反Banach空間.

引理2 令0lt;α≤1且1≤plt;∞， 則對任意的f∈Lp（［0，T］，瘙綆N）， 有

‖ξD-αTf‖Lp（［t，T］）≤（T-t）αΓ（α+1）‖f‖Lp（［t，T］）， ξ∈［t，T］， t∈［0，T］.（3）

證明： 如果p=1， 則有

‖ξD-αTf‖L1（［t，T］）= "1Γ（α）∫Tt∫Tξ

（s-ξ）α-1f（s）dsdξ≤1Γ（α）∫Tt∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ=

1Γ（α）∫Tt∫st（s-ξ）α-1dξf（s）ds=

1Γ（α）∫Tt（s-t）ααf（s）ds

≤ "（T-t）αΓ（α+1）‖f‖L1（［t，T］）.（4）

如果1lt;plt;+∞， 令g∈Lq（［0，T］，瘙綆N）， 其中1p+1q=1， 則有

∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ=∫Ttg（ξ）∫Tξ（T-τ）

α-1f（T-τ+ξ）dτdξ=∫Tt（T-τ）α-1∫τtg（ξ）f（T-τ+ξ）dξdτ≤

∫Tt（T-τ）α-1dτ∫τtg（ξ）qdξ1/q∫τtf（T-τ+ξ）pdξ1/p≤（T-t）αα‖f‖Lp（［t，T］）‖g‖Lq（［t，T］）.（5）

對任意固定的t∈［0，T］， 考慮函數Hξf： Lq（［0，T］，瘙綆N）→瘙綆， 定義為

Hξf（g）=∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ，（6）

因此由式（5），（6）和Rieze表示定理知， 存在h∈Lp（［0，T］，瘙綆N）以及所有的g∈Lq（［0，T］，瘙綆N）， 使得

∫Ttg（ξ）h（ξ）dξ=Hξf（g）=∫Ttg（ξ）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）dsdξ，（7）

‖h‖Lp（［t，T］）≤（T-t）αα‖f‖Lp（［t，T］）.

由式（7）得

1Γ（α）h（ξ）=1Γ（α）∫Tξ（s-ξ）α-1f（s）ds=ξD-αTf（ξ），" ξ∈［t，T］，

即

‖ξD-αTf‖Lp（［t，T］）=‖h‖Lp（［t，T］）Γ（α）≤（T

-t）αΓ（α+1）‖f‖Lp［t，T］.（8）

結合式（4）和式（8）即得不等式（3）.

引理3［17］ 令0lt;α≤1且1≤plt;∞， 則對所有的u∈Eα，p0， 有

‖u‖Lp≤tαΓ（α+1）‖0Dαtu‖Lp.

此外， 如果αgt;1p， 1p+1q=1， 則

‖u‖∞≤Tα-1/pΓ（α）（（α-1）q+1）1/q‖0Dαtu‖Lp.

引理4 如果α∈（1/2，1］， 則對任意的u∈Eα， 有

cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt≤-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（

t））dt≤1cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.（9）

證明： 設u∈Eα且u是u在瘙綆＼［0，T］上的零延拓， 則sup p（u）［0，T］. 而左、 右分數階導數是非局部的：

sup p（-∞Dαtu（t））［0，+∞），" sup p（tDα∞u（t））（-∞，T］，

但（-∞Dαtu，tDα∞u）在［0，T］上也成立.

一方面， 有

∫+∞-∞（-∞Dαtu（t），tDα∞u（t））dt=cos（πα）∫+∞-∞-∞Dαtu

（t）2dt=cos（πα）∫+∞-∞tDα∞u（t）2dt，（10）

其中-∞Dαt和tDα∞為實線上的Riemann-Liouville分數階導數. 又因為α∈（1/2，1］， 所以cos（πα）∈［-1，0）， 從而有

-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt=-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu

（t））dt= -∫+∞-∞（-∞Dαtu（t），tDα∞u（t））dt=

-cos（πα）∫+∞-∞-∞Dαtu（t）2dt≥

-cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.

另一方面， 利用Young不等式， 有

∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt≤∫T0120Dαtu（

t）2tDαTu（t）dt≤14ε∫T00Dαtu（

t）2dt+ε∫T0tDαTu（t）2dt≤14ε∫T00Dαtu（t

）2dt+ε∫+∞-∞tDα∞u（t）2dt=14ε∫T00Dαtu

（t）2dt+εcos（πα）∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt.

通過取ε=cos（πα）/2， 得

∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt≤1cos（πα）∫T00Dαtu（t）2dt.

證畢.

3 變分結構

令α=-1+β/2， 則α∈（1/2，1］， 從而問題（1）轉化為以下形式：

ddt12C0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαTu（t））+f（u（t））=0， a.e. t∈［0，T］，

au（0）-b12C0Dα+1t（0Dαtu（0））-12CtDα+1T（tDαTu（0））=0，

cu（T）+d12C0Dα+1t（0Dαtu（T））-12C

tDα+1T（tDαTu（T））=0，（11）

因此， 求BVP（11）的解u即對應于求BVP（1）的解u.

記Dα（u（t））=12C0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαT（u（t）））.（12）

定義Df∶={z∈瘙綆f在z處不連續}， 如果Df是（Lebesgue）可測的且m（Df）=0，

則稱f是幾乎處處連續的. 此外， 如果f在局部本質上是有界的， 則對每個t∈瘙綆， 記

f-（z）=limδ→0-ess inft-zlt;δ f（z），

f+（z）=limδ→0+ess supt-zlt;δ f（z）.

觀察到f-，f+分別是下半連續和上半連續的.

注2 如果f是一個連續函數， 則（C0Dβtu2（t））′，（CtDβTu2（t））′∈C［0，T］

， u是問題（11）的經典解. 對每個u∈Eα， φ： Eα→瘙綆定義為

φ（u）=-12∫T0（0Dαtu，tDαTu）dt+c2d（u（T））2+a

2b（u（0））2=12‖u‖2，（13）

Υ（u）=∫T0F（u（t））dt，

其中F（u）∶=∫u0f（s）ds， l（u）=0， Ψ（u）=Υ（u）-l（u）=Υ（u）， I（u）=φ（u）-Ψ（u）=φ（u）-Υ（u）.

對任意的u，v∈Eα， 有

〈φ′（u），v〉=-12∫T0［（0Dαtu（t），tDαTv（t））+（tDαTu（t）

，0Dαtv（t））］dt+cdu（T）·v（t）+abu（0）·v（t）.（14）

引理5 令α∈（1/2，1］且u∈Eα， 則‖u‖α，2的范數等價于

‖u‖=-∫T0（0Dαtu（t），tDαTu（t））dt+

cd（u（T））2+ab（u（0））21/2.（15）

證明： 由定義3和引理4可得

‖u‖α，2= "∫T0（u（t）2+0Dαtu（t）2）dt

1/2≤∫T0u（t）2dt1/2+∫T00Dαtu（t）

2dt1/2≤ "‖u‖+1cos（πα）∫T0（0Dαtu（t），tD

αTu（t））dt1/2≤1+1cos（πα）‖u‖.（16）

下面令{uk}Eα且2lt;μ1lt;μ， {φ（un）}有界， φ′（un）→0， 結合式（14），（15）可得

μ1φ（un）-（φ′（un），un）= "1-μ12∫T0（0Dαtun（t），tDαTun（t

））dt+cμ12d（un（T））2+aμ12b（un（0））2- "cdun（T）·un（t）-a

bun（0）·un（t）≤μ12-11cos（πα）‖un‖2α+ "cμ12d

+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2.（17）

由式（13）可得

μ1φ（un）-（φ′（un），un）=μ12‖un‖2-‖un‖2.（18）

根據式（17）和式（18）得到不等式：

μ12-1‖un‖2≤μ12-1‖un‖2α+cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2.

因為

cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2gt;0，

故

‖un‖2≤‖un‖2α+c1，

其中c1為常數， c1=cμ12d+aμ12b‖un（0）‖2-cd+ab‖un（T）‖2. 從而可得

‖u‖≤‖u‖α+c2，（19）

其中c2為大于0的常數.

而‖u‖α=‖u‖α，2， 再結合式（16）和式（19）得到不等式：

cos（πα）1+cos（πα）‖u‖α，2≤‖u‖≤‖u‖α，2+c2，

因此‖u‖α，2等價于‖u‖.

引理6 泛函φ： Eα→瘙綆是弱下半連續的.

證明： 顯然φ是弱下半連續的. 為證明φ在Eα上是弱下半連續的， 只需證明φ在Eα上是凸的.

令λ∈（0，1）， u，v∈Eα和u，v分別是u和v在瘙綆/［0，T］上的零擴展. 因為

φ1（（1-λ）u+λv）=-12∫T0［0Dαt（（1-λ）u（t）+λv（t）），tDαT（（1-λ）u（t）+λv（t））］dt=

-12∫+∞-∞［-∞Dαt（（1-λ）u（t）+λv（t）），

tDα∞（（1-λ）u（t）+λv（t））］dt=cos（πα）2∫+∞

-∞-∞Dαt（（1-λ）u（t）+λv（t））2dt=

cos（πα）2∫+∞-∞［（1-λ）-∞D

αtu（t）2+λ-∞Dαtv（t）2］dt=

∫+∞-∞-1-λ2（-∞Dαtu（t），tDα∞u（t））-λ

2（-∞Dαtv（t），tDα∞v（t））dt=

∫T0-1-λ2（0Dαtu（t），tDαTu（t））-λ2（0Dαtv（t），tDαTv（t））dt=（1-λ）φ1（u）+λφ1（v），

所以φ1是Eα上的凸泛函. 顯然φ2=c2du（T）2+a2bu（0）2

在Eα上也是凸的， 所以φ（u）=φ1（u）+φ2（u）是一個定義在Eα上的凸泛函.

引理7 令u，v∈L1（［0，T］，瘙綆n）， 如果對每個φ∈C∞0［0，T］， 均有

∫T0（u（t），φ′（t））dt=-∫T0（v（t），φ（t））dt，

則u是v的原函數. 即對幾乎每個t∈［0，T］， 都有u（t）=∫t0v（s）ds+c， 其中c∈瘙綆n.

證明： 用w（t）=∫t0v（s）ds定義w∈C（［0，T］，瘙綆n）， 使得

∫T0（w（t），φ′（t））dt=∫T0∫t0v（s）ds，φ（t）dt.

由Fubini定理， 得

∫T0（w（t），φ′（t））dt=∫T0∫Ts（v（s），φ（t））dtds=∫T0（u（s），φ（s））ds，

所以∫T0（u（s）-w（s），φ（s））ds=0. 根據變分演算的基本引理， 有u（t）-w（t）=c， 其中c∈瘙綆， 證畢.

引理8 考慮問題

ddt12C0Dβt（u2（t））+12CtDβT（u2（t））

+h（t）=0， a.e. t∈［0，T］，au（0）-b12C0D

βtu2（0）+12CtDβTu2（0）=0，

cu（T）+d12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0，（20）

其中h∈L2（［0，T］）. 問題（20）有唯一解u∈Eα使得（C0Dβt（u2））′，（CtDβT（u2））′是幾乎處處連續的， 且

u是通過minv∈Eα-∫T0（0Dαtv″，tDαTv″）d

t+cdv2（T）+abv2（0）得到的.

證明： 如果u是問題（20）的一個經典解， 則對所有的v∈Eα， 通過分部積分有

12∫T0［C0Dβt（u2（t））+ "CtDβT（u2（t））］′v（t）dt+∫T0h（t）v（t）dt=

12∫T0［（0Dαtu（t），tDαTv″（t））+（tDαTu（t），0Dαtv″（t））］dt-

cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）+∫T0h（t）v（t）dt.

令

a（u，v）=-12∫T0［（0Dαtu，tDαTv″）+（tDαTu，0D

αtv″）］dt+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）.

顯然， a（u，v）是Eα上的連續強制雙線性形式. 由Lax-Milgram定理與雙線性形式a（u，v）、 線性函數φ： v→∫T0h（t）v（t）d

t可知， 存在一個唯一的元素u∈Eα， 使對所有的v∈Eα， 有

a（u，v）=∫T0h（t）v（t）dt.（21）

此外u是由 minv∈Eα12a（v，v）-∫T0h（t）v（t）dt得到的， 因此對所有的v∈Eα， 都有

0=-12∫T0［（0Dαtu，tDαTv″）+（tDαTu，0Dαtv″）］dt+

cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）-∫T0h（t）v（t）dt=

12∫T0（C0Dβtu2+CtDβTu2，v′）dt

+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）-∫T0h（t）v（t）dt.（22）

不失一般性， 式（22）適用于所有的v∈C∞0Eα， 其中C∞0={u∈C∞［0，T］： u（0）=u（T）=0}. 對所有的v∈C∞0， 式（22）就等于

0=12∫T0（C0Dα+1t（0Dαtu（t））-CtDα+1

T（tDαTu（t）），v′（t））dt-∫T0h（t）v（t）dt.

由引理7有

12（C0Dα+1t（0Dαtu（t）））-12（

CtDα+1T（tDαTu（t）））=-∫t0h（s）ds+c， a.e. t∈［0，T］， c∈瘙綆.

所以

12ddt（Dα（u（t）））=ddt12C

0Dα+1t（0Dαtu（t））-12CtDα+1T（tDαTu（t））+h（t）=0， t∈［0，T］.（23）

因為h在［0，T］上幾乎處處連續， 故有ddt（Dα（u（t）））在［0，T］上幾乎處處連續.

將式（23）代入式（22），" 對所有的v∈Eα， 通過分部積分得

0= "12∫T0（C0Dβtu2+CtDβTu2，v′）d

t+cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）+ "∫T0ddt12C

0Dβtu2+12CtDβTu2，vdt= "cdu（T）v（T）

+abu（0）v（0）+12（C0Dβtu2+CtDβTu2，v）T0

= "cdu（T）v（T）+abu（0）v（0）+12C0Dβtu2（T）

v（T）+12CtDβTu2（T）v（T）-

12C0Dβtu2（0）v（0）-12CtDβTu2（0）v（0）=

cdu（T）+12C0Dβtu2（T）+1

2CtDβTu2（T）v（T）+ "abu（

0）-12C0Dβtu2（0）-12CtDβTu2（0）v（0）.

令v（0）=0， v（T）≠0， 則

cdu（T）+12C0Dβtu2（T）+12CtDβTu2（T）=0.

同理可得

abu（0）-12C0Dβtu2（0）-12CtDβTu2（0）=0.

故邊值條件成立. 由式（21）可見C0Dβtu2∈L2［0，T］， 因此CtDβTu2∈L2［0，T］. 如果h∈C［

0，T］， 則C0Dβtu2∈C［0，T］， （C0Dβtu2）′∈C［0，T］.

引理9 令u∈Eα， 如果對所有的v∈L2［0，T］有a（u，v）=0， 則對t∈［0，T］有u=0.

證明： 如果對所有的v∈L2［0，T］有a（u，v）=0， 則不失一般性， 有a（u，u）=0. 由于a（u，u）=‖u‖2， 因此對t∈［0，T］有u（t）=0.

假設：

（H1） 對幾乎每個t∈［0，T］及每個u∈Df， f-（u）≤0≤f+（u）即表明f（u）=0.

引理10 令f：瘙綆→瘙綆是局部本質有界的幾乎處處連續函數， 假設（H1）成立且u∈Eα是I的廣義臨界點， 則u是BVP（11）的一個廣義解.

證明： 令u0∈Eα是I的一個廣義解， 即對所有的v∈Eα， I0（u0，v）≥0. 從而對所有的v∈Eα， 有

φ′（u0）（v）+（-Υ）0（u0;v）≥0.

即對所有的v∈Eα， 有

12∫T0（0Dαtu0，tDαTv）+（tDαTu0，0Dαtv）dt-

cdu0（T）v（T）-abu0（0）v（0）≤（-Υ）0（u0;v）.（24）

顯然， 對所有的v∈Eα， 令

Lu0（v）=12∫T0［（0Dαtu0，tDαTv）+（tDαTu0，0Dαtv）］dt-cd

u0（T）v（T）-abu0（0）v（0），

Lu0是Eα上的一個連續線性泛函， 其中式（24）表示Lu0∈（-Υ）Eα（u0）. 由于Eα在L2［0，T］密集， 由文獻［18］知（-Υ）

Eα（u0）（-Υ）L2［0，T］（u0）， 所以Lu0∈（-Υ）L2［0，T］（u0）， L在L2［0，T］

上是連續并且線性的. 因此對所有的v∈L2［0，T］， 存在一個h∈L2［0，T］滿足Lu0（v）=∫T0h（x）v（x）dx. 由引理7知， 有唯一的u∈Eα， 滿足

（C0Dβt（u2））′，（CtDβT（u2））′幾乎處處連續， 使得式（21）成立.

特別地， 對所有的v∈Eα， 有

∫T0h（x）v（x）dx=12∫T0［（0Dαtu，tDαTv）+（tDαTu，0D

αtv）］dt-cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）.

因此，

12∫T0［（0Dαtu，tDαTv）+（tDαTu，0D

αtv）］dt-cdu（T）v（T）-abu（0）v（0）=Lu0（v）=∫T0h（x）v（x）dx，

即對所有的v∈L2［0，T］有a（u0-u，v）=0. 引理9表明u0=u， 所以（C0Dβt（u20））

′∈C［0，T］， （CtDβT（u20））′∈C［0，T］， 并且

12∫T0［（0Dαtu0，tDαTv）+ "（tDαTu0，0D

αtv）］dt-cdu0（T）v（T）-abu0（0）v（0）= "∫T0ddt12

C0Dβtu20+12CtDβTu20，v（t）dt

對所有的v∈Eα都成立. 從而對所有的v∈Eα， 有

∫T0ddt12C0Dβtu20+12CtDβTu20，v（t）dt≤（-Υ）0（u0;v）.

文獻［18］確保了對幾乎每個t∈［0，T］， 有

ddt12C0Dβtu20+12CtDβTu20

∈［（-f）-（u0（x）），（-f）+（u0（x））］.（25）

由于m（Df）=0， 因此

-ddt12C0D

βtu20+12CtDβTu20=0，" a.e. t∈u-10（Df）.

由假設（H1）， 對a.e. t∈u-10（Df）， f（u0（t））=0. 所以

-ddt12C0Dβtu20

+12CtDβTu20=f（u0（t）），" a.e. t∈u-10（Df）.

另一方面， 對a.e. t∈［0，T］＼u-10（Df）， 式（25）即為

-ddt12C0D

βtu20+12CtDβTu20=f（u0（t））.

從而證明該邊值問題存在一個解.

4 BVP（1）解的存在性

引理11［19］ 假設X是一個自反實Banach空間， φ和Ψ是局部的Lipschitz泛函， 則下列結論成立.

1） 對每個rgt;infX φ， 函數I=φ-Ψ對φ-1（（-∞，r））的限制允許有一個全局最小值， 它是I在X中的一個臨界點（局部最小值）.

2） 如果rlt;+∞， 則以下條件之一成立：

① I具有一個全局最小值;

② I有一個臨界點（局部最小值）序列{un}， 使得limn→+∞ φ（un）=+∞.

3） 如果δlt;+∞， 則下列條件之一成立：

① φ的全局最小值是I的局部最小值；

② I有一個成對不同的臨界點（局部最小值）的序列{un}， 其中limn→+∞ φ（un）=infX φ， 它弱收斂到φ的全局最小值.

下面令

A=limξ→+∞ infmaxt≤ξ F（t）ξ2，" B=li

mξ→+∞ supF（ξ）ξ2，

M1=Tα-1/pΓ（α）（（α-1）q+1）1/q，" M2=1

（Γ（1-α））2（-1）α2T+cd.

對每個ξ∈瘙綆， 令F（ξ）∶=∫ξ0f（s）ds， 并假設：

（H2） 對每個ξ≥0有∫ξ0F（t）dt≥0;

（H3）limξ→+∞ infmaxt≤ξ F（t）ξ2lt;k

limξ→+∞ supF（ξ）ξ2， 其中k=12M21M2.

定理1 令f：瘙綆→瘙綆是一個局部本質有界的幾乎處處連續函數.

如果假設條件（H1）～（H3）成立， 則問題（11）在Eα中有一系列無界的廣義解.

證明： 用引理11證明. 由假設（H3）知， 存在一個實序列{cn}， 滿足limn→+∞ cn=+∞， 且

limn→+∞maxtlt;cnc2n=Alt;+∞.（26）

對所有的n∈瘙綃， 令rn=12c2nM21.

由引理3知， 對所有的v∈Eα滿足‖v‖2≤2rn， 從而可得‖v‖∞≤M1‖v‖≤M12rn=cn. 于是，

φ（rn）=infu∈φ-1（［-∞，rn］）supu∈φ-1（［-∞，rn］）

Ψ（u）-Ψ（u）rn-φ（u）≤sup‖u‖2lt;2rn Ψ（u）-Ψ（0）rn=

sup‖v‖2lt;2rn ∫T0F（v（x））dxrn≤Tmaxtlt;cn F（t）rn=2M21Tc2nmaxt≤cn F（t），

由式（26）知， φ（rn）≤2M21TA. 所以Υ∶=limr→+∞ inf φ（r）

≤limn→+∞ inf φ（rn）≤2M1TAlt;+∞.

下面稱I是無界的. 由假設（H3）， 令（dn）是一個實序列， 滿足 limn→∞ dn=+∞， 且

limn→∞F（dn）d2n=B.（27）

對所有的n∈瘙綆， 定義

ωn（t）=2dn（t-s）αT，t∈0，T2，dn，t∈T2，T.

顯然， ωn∈X， 且

‖ωn‖2=-∫T0（0Dαtωn，tDαTωn）dt+cd（ωn（T）

）2+ab（ωn（0））2=∫T01Γ（1-α）ddt∫t0（t-s）-αωn（s）ds，1（1-α）ddt∫Tt（s-t）-αωn（s）ds

dt+cdd2n=1（Γ（1-α））2∫T/20ddt∫t0（t-s

）-α2dn（t-s）αTds，ddt∫T/2t（s-t）-α

2dn（t-s）αTdsdt+cdd2n=1（Γ（1-α））2∫

T/202dnT，（-1）α2dnTdt+cdd2n≤

1（Γ（1-α））2（-1）α2d2nT+cdd2n∶=M2d2n.

因此，

φ（ωn）-Ψ（ωn）=‖ωn‖22-∫T0F（ωn（t））dt≤M2d2n2-∫T0F（ωn（t））dt.

由假設（H2）， 有

∫T0F（ωn（t））dt≥∫TT/2F（dn）dt=F（dn）12T.

因此， 對所有的n∈瘙綃， 有

φ（ωn）-（ωn）≤M2d2n2-T2F（dn）.

如果Blt;+∞， 則由式（27）知， 對任意的ε≤B-M2＼T， 存在Nε∈瘙綃， 使得對所有的ngt;Nε， 有

F（dn）gt;（B-ε）d2n.

所以隨著n→+∞， 有

φ（ωn）-Ψ（ωn）≤M2d2n2-T2（B-ε）d2n=d2n2（M2-T（B-ε））→-∞.

如果B=+∞， 固定M3gt;M2＼T， 并且由式（27）知， 對所有的ngt;NM， 存在NM∈瘙綃， 使得

F（dn）gt;M3d2n.

因此隨著n→+∞， 有

φ（ωn）-Ψ（ωn）≤M2d2n2-T2M3d2n=d2n2（M2-TM3）→-∞.

綜上， 引理11中2）的所有假設得到了驗證， 函數I有一個廣義臨界點的序列{un}， 使得limn→+∞ ‖un‖=+∞

， 即{un}在Eα上是無界的. 由引理10知， {un}是BVP（11）的一個廣義解序列， 證畢.

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（責任編輯： 趙立芹）