極大算子及其交換子在齊次樹(shù)上的加權(quán)估計(jì)

摘要： 在齊次樹(shù)中考慮一類(lèi)測(cè)度， 它到原點(diǎn)的距離是指數(shù)遞減的. 給出齊次樹(shù)中關(guān)于這類(lèi)測(cè)度的Lebesgue空間、 BMO（bounded mean oscillation）空間、 極大算子及其交換子的定義， 并利用齊次樹(shù)的分解理論， 證明極大算子及其交換子在Lebesgue空間的有界性及一些等價(jià)性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 齊次樹(shù)； 極大算子； 交換子； 指數(shù)遞減測(cè)度

中圖分類(lèi)號(hào)： O177" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）04-0793-07

Weighted Estimates of Maximal Operators and Their Commutators on Homogeneous Trees

JIANG Zhicong， YE Xiaofeng， XIONG Shoulong

（School of Science， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract： A class of measures is considered on homogeneous trees whose distance to the origin is exponentially decreasing. The definitions of Lebes

gue spaces， BMO （bounded mean oscillation） spaces， maximal operators and their commutators for this type of measure on homogeneous trees are given. By using the decomposition theory of homogeneous trees， the boun

dedness of maximal operators and their commutators in Lebesgue spaces and some equivalent properties are proved.

Keywords： homogeneous tree; maximal operator; commutator; exponential decline measure

0 引 言

Coifman等［1］提出了交換子理論， 證明了當(dāng)1lt;plt;∞時(shí)， 交換子［b，T］ 是Lp（瘙綆n） 有界的當(dāng)且僅當(dāng)b∈BMO（瘙綆n）， 其中BMO（bounded mean oscillation）表示有界平均振動(dòng)函數(shù)空間;

Milman等［2］建立了BMO函數(shù)和極大函數(shù)生成的交換子［b，M］在經(jīng)典Lebesgue空間中的有界性， Bastero等［3］給出了［b，M］在Lp（瘙綆n）中有界的等價(jià)刻畫(huà);

文獻(xiàn)［4-6］將極大算子的交換子理論推廣到了Morrey空間、 變指標(biāo)Lebesgue空間和變指標(biāo)Morrey空間.

Levi等［7］定義了一類(lèi)測(cè)度， 這類(lèi)測(cè)度是滿足指數(shù)增長(zhǎng)的非雙倍測(cè)度， 基于這類(lèi)非雙倍測(cè)度， 引入了Hardy空間和BMO空間， 推廣了可積函數(shù)的Calderón-Zygmund分解理論， 并證明了在這兩類(lèi)空間中的插值結(jié)果

. 在此基礎(chǔ)上， Monti［8］定義了一類(lèi)指數(shù)遞減的測(cè)度， 這類(lèi)測(cè)度是滿足雙倍條件的， 并定義了這類(lèi)測(cè)度的Lebesgue空間、 BMO空間、 極大算子和

積分算子， 得到了極大算子在Lebesgue空間、 積分算子在Hardy空間和BMO空間的有界性結(jié)果. 文獻(xiàn)［9-12］給出了齊次樹(shù)中算子理論的相關(guān)結(jié)果.

在上述工作的啟發(fā)下， 本文在齊次樹(shù)中定義關(guān)于指數(shù)遞減測(cè)度類(lèi)的極大算子及其交換子、 Lebesgue空間和BMO空間， 證明極大算子及其交換子在這類(lèi)Lebesgue空間的有界性， 并給出其有界性的等價(jià)刻畫(huà).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)q（qgt;1）次齊次樹(shù)， 則它是一個(gè)連通的無(wú)環(huán)圖， 同時(shí)每個(gè)頂點(diǎn)都與（q+1）個(gè)頂點(diǎn)連接， 由于齊次樹(shù)本身攜帶了離散距離， 該距離是由兩個(gè)點(diǎn)所確定的唯一

有限路徑的邊數(shù)所定義， 因此本文在齊次樹(shù)中固定一個(gè)原點(diǎn)o∈X， 對(duì)X中的每個(gè)頂點(diǎn)x， 定義x=d（o，x）. 齊次樹(shù)中以x（x∈X）為中心、 半徑為n的球面和球分別定義為

S（x，n）={y∈X： d（x，y）=n}，" B（x，n）={y∈X： d（x，y）≤n}.

當(dāng)p（x）=x-1， x∈X＼{o}且p（x）與x相鄰時(shí)， p（x）稱(chēng)為x點(diǎn)的唯一前置點(diǎn). 由于齊次樹(shù)離散的構(gòu)造結(jié)

構(gòu)， 前置函數(shù)p： X＼{o}→X是滿射而非內(nèi)射的， 同時(shí)前置函數(shù)的指數(shù)形式可定義為

pl： X＼B（o，l-1）→X，

其中需滿足

p（x）l=x-l.

把所有與x相鄰卻不是前置點(diǎn)的那些點(diǎn)定義為x的后置點(diǎn)， 并將x∈X的扇區(qū)定義為

Tx∶={y∈X： x=pl（y）， l∈瘙綃}X.

因此對(duì)任意的x∈X， py（y）=o， 并且To=X.本文的目的是考慮齊次樹(shù)上極大算子及其交換子關(guān)于某類(lèi)測(cè)度的有界性， 因此定義指數(shù)遞減的徑向測(cè)度族：

對(duì)任意的x∈X， μα（x）∶=q-ax， 其中agt;1. 在此基礎(chǔ)上， 給出齊次樹(shù)中極大算子、 BMO函數(shù)及其交換子和關(guān)于測(cè)度族μα的Lp空間的定義.

引理1［13］ 對(duì)任意的m∈瘙綃， 存在Im∈瘙綃， 使得對(duì)任意的n∈δm∶={0，1，2，…，Im}， 有Dm，nX， 并且把集族瘙綅定義為

瘙綅∶={Dm，nX， m∈瘙綃， n∈δm}，

滿足：

1） 對(duì)任意的m∈瘙綃， 集族瘙綅m∶={Dm，n： n∈δm}是X的某一部分；

2） 以mgt;0的分割瘙綅m是對(duì)分割瘙綅m-1的加細(xì)， 即對(duì)任意的n′∈δm-1， 存在δm，n′δm， 使得

Dm-1，n′=∪k∈δm，n′Dm，n；

3） 對(duì)任意的n∈δm， n′∈δm-1， 當(dāng)Dm，nDm-1，n′時(shí)， 下式成立：

μα（Dm，n）≤μα（Dm-1，n′）≤Caμα（Dm，n）.

注1 這里的分割類(lèi)似于經(jīng)典調(diào)和分析中的空間分解， 是一種齊次樹(shù)X中的

二進(jìn)制分解， 當(dāng)m越大時(shí)， 分割Dm，n越細(xì)， 同時(shí)引理1中3）也表明這種分割出的Dm，n滿足雙倍條件.

例如， 對(duì)分割Dm，n可進(jìn)行如下構(gòu)造： 對(duì)任意的m∈瘙綃， 令

Im∶=#B（o，m）=0，m=0，qm+1+qm-q-1q-1，mgt;0，

其中#B（o，m）表示B（o，m）的點(diǎn)數(shù). 設(shè)v0=o， S（o，1）={v1，v2…，vq+1}， 因?yàn)棣?={0}， 因此令D0，0=X， 對(duì)任意的m∈瘙綃＼{0}， 令

Dm，n∶={vn}，n∈δm-1，Dm，n∶=Tvn，n∈δm＼δm-1，

則此時(shí)構(gòu)造的分割Dm，n滿足引理1中的條件.

定義1 設(shè)1lt;p≤∞， X上關(guān)于測(cè)度μα的Lebesgue空間Lp（μα）定義為

Lp（μα）=f： ‖f‖Lp（μα）=∑x∈Xf（x）pμα（x）1/plt;∞，

其中f： X→R.

定義2 設(shè)1≤rlt;∞， b（x）： X→R， BMOr，μα空間定義為

BMOr，μα=b： ‖b‖BMOr，μα=supDm，n1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-bDm，nr·μα（x）1/rlt;∞，

其中

bDm，n=1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）·μα（x）.

當(dāng)r=1時(shí)， 記BMOr，μα=BMOμα， 當(dāng)b∈BMOμα

時(shí)， 存在常數(shù)Cgt;0， 使得b（x）-bDm，n≤C·‖b‖BMOμα成立.

定義3 設(shè)b∈BMOμα， f： X→R， 齊次樹(shù)X上的極大算子、 極大交換子、 極大算子與BMO函數(shù)生成的交換子分別定義為

Mf（x）=supx∈Dm，n1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y），

Mbf（x）=supx∈Dm，n1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（x）-b（y）·f（y）·μα（y），［b，M］f（x）=b（x）·Mf（x）-M（bf）（x）.

定義4 給定齊次樹(shù)上的一個(gè)分割D， 與D相關(guān)的極大局部算子定義為

MDf（x）=supx∈Dm，nD1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）.

定義5 設(shè)0lt;B≤1， r≥1， 分?jǐn)?shù)次極大算子MB，r，μα定義為

MB，r，μα=supx∈Dm，n

1μα（Dm，n）B∑y∈Dm，nf（y）r·μα（y）1/r.

當(dāng)B=1， r=1時(shí)， 分?jǐn)?shù)次極大算子MB，r，μα即為極大算子M.

引理2 設(shè)b∈BMOμα， 則存在常數(shù)Cgt;0， 使得對(duì)任意的Dm，nX， x∈Dm，n， 有下式成立：

1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）≤μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x），（1）

1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（y）-bDm，n·f（y）·μα（y）

≤C·‖b‖BMOμα·μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x）.（2）

證明： 因?yàn)?/p>

1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）= "μα（Dm，n）B-1·1μα

（Dm，n）B∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）≤ "μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x），

所以式（1）成立. 又因?yàn)?/p>

1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（y）-bDm，n·f（y）·μα（y）≤

C·‖b‖BMOμα·1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）≤

C·‖b‖BMOμα·μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x），

所以式（2）成立.

引理3 設(shè)b∈BMOμα， 則存在常數(shù)Cgt;0， 使得對(duì)任意的Dm，nX， x∈Dm，n， 有下式成立：

Mbf（x）≤C·‖b‖BMOμα·μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x）.（3）

證明： 由引理2知，

1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（x）-b（y）·f（y）·μα（y）≤

b（x）-bDm，n·1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nf（y）·μα（y）+""" 1μ

α（Dm，n）∑y∈Dm，nb（y）-bDm，n·f（y）·μα（y）≤

C·‖b‖BMOμα·μα（Dm，n）B-1·MB，1，μαf（x）.

引理4 "設(shè)0lt;B≤1， 對(duì)任意的1lt;plt;11-B

， 令1q=1p-（1-B）， 則MB，1，μα是Lp（μα）→Lq（μα）有界的.

證明： 固定任意的分割Dm，nX， 由Hlder不等式有

1μα（Dm，n）B∑x∈Dm，nf（x）·μα（x）=1μα（Dm，n）B∑

x∈Dm，nf（x）·μα（x）1-B·μα（x）B≤

1μα（Dm，n）B∑x∈Dm，nf（x）1/（1-B）·μα（x）1-B·∑x∈Dm，nμα（x）B·1/BB≤C·‖f‖L1/（1-B）（μα）.

令{x： MB，1，μαf（x）gt;λ}=∪jDj， DjX且Dj∩Di=， 并當(dāng)i≠j時(shí)， 滿足

1μα（Dj）B∑x∈Djf（x）·μα（x）gt;λ.

因此

μα（{x： MB，1，μαf（x）gt;λ}）= "∑jμα（Dj）≤∑j1λ·∑x∈Dj

f（x）·μα（x）1/B≤ "∑j1λ·∑x∈Djf（x）·μα（x）1/B≤1λ·‖f‖L1（μα）1/B.

故MB，1，μα是弱1，1B型， 由插值定理可知： 存在常數(shù)Cgt;0， 使得

‖MB，1，μα‖Lq（μα）≤C·‖f‖Lp（μα）.

引理5 設(shè)b∈BMOμα， 對(duì)任意的分割Dm，nX， x∈Dm，n， 有下式成立：

M（χDm，n）（x）=χDm，n（x），" M（bχDm，n）（x）=MDm，n（b）（x）.

證明： 固定Dm，nX， x∈Dm，n， 由齊次樹(shù)的離散結(jié)構(gòu)可知

M（χDm，n）（x）= "supx∈D′1μ

α（D′）∑y∈D′χDm，n（y）·μα（y）=

supx∈D′1μα（D′）∑y∈D′χDm，n（y）·μ

α（y），D′Dm，n，supx∈D′1μ

α（D′）∑y∈Dm，nχDm，n（y）·μα（y），Dm，nD′.

當(dāng)D′Dm，n時(shí)， 有

M（χDm，n）（x）=1μα（D′）·μα（D′）=1=χDm，n（x）；

當(dāng)Dm，nD′時(shí)， 有

M（χDm，n）（x）=μα（Dm，n）μα（D′）lt;1.

綜上有

M（χDm，n）（x）=χDm，n（x），

M（bχDm，n）（x）= "supx∈D′1μ

α（D′）∑y∈D′bχD′（y）·μα（y）=

supx∈D′1μα（D′）∑y∈D′b（y）·μα（y），

D′Dm，n，supx∈D′1μα（D′）∑

y∈Dm，nb（y）·μα（y），Dm，nD′.

當(dāng)D′Dm，n時(shí)， 有

M（bχDm，n）（x）≥1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（y）·μα（y）

≥supx∈D′1μα（D′）∑y∈Db（y）·μα（y），

其中DD′. 綜上有

M（bχDm，n）（x）=MDm，n（b）（x）.

引理6 設(shè)b（x）是任意的實(shí)函數(shù)， 對(duì)任意的分割Dm，n， 令E

={x∈Dm，n， b（x）≤bDm，n}， F={x∈Dm，n， b（x）gt;bDm，n}， 則有下式成立：

∑x∈Eb（x）-bDm，n·μα（x）=∑x∈Fb（x）-bDm，n·μα（x）.

證明： 因?yàn)?/p>

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）·μα（y）=bDm，n，

所以

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，n（b（x）-bDm，n）·μα（x）=0，

即

∑x∈Dm，n（b（x）-bDm，n）·μα（x）=∑x∈E（b（x）-bDm，n）·μα（x）+∑

x∈F（b（x）-bDm，n）·μα（x）=0，

于是

∑x∈Eb（x）-bDm，n·μα（x）=∑x∈Fb（x）-bDm，n·μα（x）.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)0lt;B≤1， b（x）是任意的實(shí)函數(shù)， 對(duì)任意的1lt;plt;

11-B， 令1q=1p-（1-B）， k=q（1-B）+1， 則下列斷言等價(jià)：

1） b∈BMOμα;

2） Mb是Lp（μα）→Lqk（μα）有界的.

證明： 1）2）. 由引理3、 引理4和Hlder不等式可知

‖Mbf（x）‖Lq/k（μα）= "∑x∈XMbf（x）q/k·μα（x）k/q≤

C·‖b‖BMOμα·μα（Dm，n）B-1·∑x∈XMB，1，μαf（x）q/k

·μα（x）k/q≤ "C·‖b‖BMOμα·μα（X）B-1·∑x∈XMB，1，μαf（x）q/k

·μα（x）1/k·μα（x）1-1/kk/q≤ "C·‖b‖BMOμα·μα（X）B-1·∑x∈XMB，1，μαf（x）q·μα（x）1/q· "∑x∈Xμα（x）

（1-1/k）·k′k/（qk′）≤ "C·‖b‖BMOμα·‖f‖Lp（μα）·μα（X）B-1

·μα（X）（k-1）/q≤ "C·‖b‖BMOμα·‖f‖Lp（μα），

其中1k+1k′=1.

2）1）. 對(duì)任意的分割Dm，n， 有

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-bDm，n·μα（x）=

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb

（y）·μα（y）·μα（x）≤""" 1μα（Dm，n）∑x∈Dm，n1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（x）-b（y）·μα（y）·μα（x）=

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，n1μα（Dm，n）∑y∈Dm，nb（x）-b（y）·χDm，n（y）·μα（y）·μα（x）≤

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nMb（χDm，n）（x）·μα（x）.（4）

由于1q=1p-（1-B）， k=q（1-B）+1， Mb是Lp（μα）→Lq/k（μα）有界的， 因此由Hlder不等式可知

∑x∈Dm，nMb（χDm，n）（x）·μα（x）=∑x∈Dm，nMb（χDm，n）（x）·μα（x）

k/q·μα（x）1-k/q≤∑x∈Dm，nMb（χDm，n）（x）q/k·μα（x）k/q

·∑x∈Dm，nμα（x）（q-k）/q≤C·‖Mb（χDm，n）‖Lq/k（μα）·

μα（Dm，n）（q-k）/q≤C·‖χDm，n‖Lp（μα）·μα（Dm，n）（q-k）/q≤

C·μα（Dm，n）1/p+1-k/q≤C·μα（Dm，n）.（5）

由式（4），（5）可知

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-bDm，n·μα（x）≤C.

從而存在常數(shù)Cgt;0與分割Dm，n無(wú)關(guān)， 使得b∈BMOμα. 證畢.

定理2 "設(shè)0lt;B≤1， b（x）是任意的實(shí)函數(shù)， 對(duì)任意的1lt;plt;11-B， 令1q=1p-（1-B）

， k=q（1-B）+1， 則下列斷言等價(jià)：

1） b∈BMOμα；

2） ［b，M］是Lp（μα）→Lq/k（μα）有界的；

3） 對(duì)任意的分割Dm，n， 存在常數(shù)Cgt;0， 使得下式成立：

1μα（Dm，n）1/p∑x∈Dm，nb（x）-MDm，n（b）（x）q/k·μα（x）k/q≤C.

證明： 1）2）. 因?yàn)?/p>

［b，M］f（x）=b（x）Mf（x）-M（bf）（x）≤Mbf（x），

又由定理1可知， Mb是Lp（μα）→Lq/k（μα）有界的， 所以［b，M］是Lp（μα）→Lq/k（μα）有界的.

2）3）. 由引理5及［b，M］是Lp（μα）→Lq/k（μα）有界可得

1μα（Dm，n）1/p∑x∈Dm，nb（x）-MDm，n（b）（x）q/k·μα（x）k/q=1μα（Dm，n）1/p

∑x∈Dm，nb（x）·M（χDm，n）（x）-M（bχDm，n）（x）q/k·μα（x）

k/q=1μα（Dm，n）1/p∑x∈Dm，n［b，M］（χDm，n

）q/k·μα（x）k/q≤1μα（Dm，n）1/p·‖［b，M］

（χDm，n）‖Lq/k（μα）≤C·μα（Dm，n）-1/p·‖χDm，n‖Lp（μα）≤C.

3）1）. 對(duì)任意的分割Dm，n， 設(shè)E={x∈Dm，n， b（x）≤bDm，n}， F={x∈Dm，n， b（x）gt;bDm，n}， 對(duì)任意的x∈E， 有

b（x）≤bDm，n≤MDm，n（b）（x）， 故

b（x）-bDm，n≤b（x）-MDm，n（b）（x），" x∈E.

由引理6可知，

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-bDm，n·μα（x）=

1μα（Dm，n）∑x∈E∪Fb（x）-bDm，n·μα（x）=

2μα（Dm，n）∑x∈Eb（x）-bDm，n·μα（x）≤

2μα（Dm，n）∑x∈Eb（x）-MDm，n（b）（x）·μα（x）.（6）

由Hlder不等式和斷言（3）可知，

1μα（Dm，n）∑x∈Eb（x）-MDm，n（b）（x）·μα（x）≤

1μα（Dm，n）·μα（Dm，n）-1/p·∑x∈Eb（x）-MDm，n

（b）（x）q/k·μα（x）k/q·μα（Dm，n）（q-k）/q·μα（D

m，n）1/p≤C·μα（Dm，n）-k/q+1/p=C.（7）

由式（6），（7）可知， 存在與分割Dm，n無(wú)關(guān)的常數(shù)Cgt;0， 使得

1μα（Dm，n）∑x∈Dm，nb（x）-bDm，n·μα（x）≤C.

因此b∈BMOμα. 證畢.

參考文獻(xiàn)

［1］ COIFMAN R R， ROCHBERG R， WEISS G. Factorization Theorems for Hardy Spa

ces in Several Variables ［J］. Annals of Mathematics， 1976， 103（3）： 611-635.

［2］ MILMAN M， SCHONBEK T. Second Order Estimates in Interpolation Theory and App

lications ［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 1990， 110（4）： 961-969.

［3］ BASTERO J， MILMAN M， RUIZ F J. Commutators for the Maximal and Sharp Functions

［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 2000， 128（11）： 3329-3334.

［4］ XIE C P. Some Estimates of Commutators ［J］. Real Analysis Exchange， 2011， 36（2）： 405-415.

［5］ DIENING L. Maximal Function on Musielak-Orlicz Spac

es and Generalized Lebesgue Spaces ［J］. Bulletin des Sciences Mathématiques， 2005， 129（8）： 657-700.

［6］ ALMEIDA A， HASANOV J， SAMKO S. Maximal and Potential Operators in Variable E

xponent Morrey Space ［J］. Georgian Mathematical Journal， 2008， 15（2）： 195-208.

［7］ LEVI M， SANTAGATI F， TABACCO A， et al. Analysis on T

rees with Nondoubling Flow Measures ［J］. Potential Analysis， 2023， 58： 731-759.

［8］ MONTI M. H1 and BMO Spaces for Exponential

ly Decreasing Measures on Homogeneous Trees ［J/OL］. （2023-01-18）［2023-11-01］. https：//www.researchgate.net/publication/367251358.

［9］ ARDITTI L， TABACCO A， VALLARINO M. BMO Spaces on

Weighted Homogeneous Trees ［J］. The Journal of Geometric Analysis， 2021， 31（9）： 8832-8849.

［10］ MUTHUKUMAR P， PONNUSAMY S. Composition Operators on

Hardy Spaces of the Homogenous Rooted Trees ［J］. Monatshefte für Mathematik， 2020， 192（3）： 721-743.

［11］ COHEN J M， COLONNA F， PICARDELLO M A， et al. Carles

on Measures for Non-negative Subharmonic Functions on Homogeneous Trees ［J］. Potential Analysis， 2020， 52（1）： 41-67.

［12］ SANTAGATI F. Hardy Spaces on Homogeneous Trees with

Flow Measures ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2022， 510（2）： 126015-1-126015-23.

［13］ DE MARI F， MONTI M， VALLARINO M. Harmonic Bergman P

rojectors on Homogeneous Trees ［J/OL］. Potential Analysis， （2023-10-13）［2023-11-01］. https：//doi.org/10.1007/s11118-023-10106-4.

（責(zé)任編輯：" 趙立芹）