如何引導學生多角度探究二次函數(shù)綜合題

數(shù)學典型問題的求解，需要考慮與此相關的問題。筆者結合二次函數(shù)復習課，引導學生充分運用分類討論思想、數(shù)形結合思想，多角度分析，多知識點交融，講述思路分析，拓展探究的過程。由淺入深，由易到難，層層推進，訓練學生思維。

問題提出：在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝－x2－x＋2的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC上方的拋物線上一動點。

（1）過點P作PM⊥x軸于點M，交AC于點Q，求線段PQ的最大值；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點D，使得△ACD為等腰三角形？

（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使得∠ACE為=90°？

分析（1）：設點P的坐標，用含有字母的代數(shù)式表示PQ的長度，求出PQ的最大值即可。在教學中與線段最值問題相關的，可以引導學生探究周長和面積最值問題。

拓展探究1：在（1）的條件下，過點P作PH⊥AC于點H，如何求△PHQ周長的最大值？

拓展探究2：是否存在點P，使△APC的面積最大呢？課堂上通過相關問題的研究，引導學生總結周長和面積的最值問題實質是線段的最值問題。

分析（2）：邊AC確定，按照邊的相等關系分類：AC=AD、CA=CD、DA=DC。通過“兩圓一線”的基本方法即可找到點D的軌跡，讓學生實現(xiàn)對知識本質的理解。

解法1：幾何法

當AC=AD時，點D在以點A為圓心，AC長為半徑的圓上，此時AD=AC=[13]，求得點D1（-1，[3]），D2（-1，[?3]）.

當CA=CD時，點D在以點C為圓心，AC長為半徑的圓上，構造直角三角形，求得D3（-1，[2+23]），D4（-1，[2?23]）。

當DA=DC時，點D在線段AC的垂直平分線上 ，所以D5[（?1，14）] "。

進一步讓學生思考：能否在平面直角坐標系中用點坐標表示線段進行計算？

解法2：代數(shù)法

設D（-1，m），則AD=[4+m2]，CD=[1+（m?2）2] ， AC= [13] ，根據(jù)條件分別列出方程求解即可。下面引導學生思考可不可以有更特殊的情況呢？

拓展探究3：是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？我們可以通過點Q的特征構造正方形找出相應的四個點。

分析（3）：點E是過點C且垂直AC的直線與對稱軸的交點。此時，受上面問題的啟發(fā)，學生聯(lián)想到應用點坐標表示線段長，借助勾股定理求解。

解法1：設點E（-1，y），則[EC2=1+（y?2）2] ， [EA2=4+y2]， [AC2=13].由[AE2=AC2+EC2]. ∴[4+y2=1+（y?2）2+]13， 解得[y=72]，

∴[E（?1，72）]

解法2：解析法

先求得直線EC的解析式為[y=?32x+2]， 當x=-1時，[y=72]，

∴[E（?1，72）]。

解法3：相似法

作EF垂直y軸于點F易得△AOC∽△CFE，利用相似性質求解。

“不滿是向上的車輪”，探究至此似乎總有后續(xù)工作值得繼續(xù)反思。不妨讓學生擴大思考，自己提出相關問題。

拓展探究4：將（3）改為在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使得△ACE為直角三角形？如何探究？

分析：分類討論當點A、C、E分別為直角頂點的情況。類比點C的方法，當點A為直角頂點，解得E（-1，-3）。當點E為直角頂點時，通過數(shù)形結合，從代數(shù)和幾何兩個角度進行求解。

解法1：由勾股定理得[AE2+EC2=AC2]，∴[4+y2+1+（y?2）2=]13，解得y1＝[1+3]，y2＝[1?3] "∴[E（?1，1+3）]或[E（?1，1?3）]。

解法2：從本質上認識：以AC為直徑的圓與直線x=-1的交點就是點E。

此時學生會發(fā)現(xiàn)上面的直角三角形好像與拋物線沒有關系，如何變化，可以讓拋物線重現(xiàn)價值呢？讓學生嘗試提出問題。

拓展探究5：在拋物線上是否存在一點E，使得△ACE為直角三角形？如何探究？這時候學生自然會聯(lián)想到類比上面的方法進行分類討論即可探索至此，我們還可以引導學生思考相關的問題。比如探索構成相似三角形或平行四邊形的問題。每個問題又有不同拓展和思考方式。

通過一題多解和拓展探究，讓學生學會思考，學會在不同條件下挖掘相關知識點的聯(lián)系，綜合運用數(shù)形結合、轉化、函數(shù)與方程、建模等基本思想，培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性，同時培養(yǎng)學生反思問題的習慣，不斷積累解題經(jīng)驗，選出最優(yōu)解題方法，提升解題能力的同時使思維得到升華。