具有接種與潛伏期的SVEIR模型穩(wěn)定性研究

摘" 要：該文建立一類(lèi)具有接種與潛伏期的SVEIR倉(cāng)室模型，利用再生矩陣的方法求出模型的基本再生數(shù)，通過(guò)基本再生數(shù)確定模型的傳播動(dòng)力學(xué)。當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

關(guān)鍵詞：傳染病模型；基本再生數(shù)；Lyapunov泛函；全局穩(wěn)定性；平衡點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：R183" " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " "文章編號(hào)：2095-2945（2023）16-0016-04

Abstract： In this paper， a kind of SVEIR compartmental model with inoculation and incubation period is established， the basic reproduction number of the model is obtained by the method of reproducing matrix， and the propagation dynamics of the model is determined by the basic reproduction number. If R0≤1， then the disease free equilibrium is globally asymptotically stable， and if R0gt;1， then the endemic equilibrium is globally asymptotically stable.

Keywords： models of epidemic diseases; basic reproduction number; Lyapunov functional; global stability; equilibrium point

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人類(lèi)生活水平的提高，各種社會(huì)問(wèn)題也相繼出現(xiàn)。抗生素被濫用的問(wèn)題隨著醫(yī)療水平的不斷提高而愈演愈烈，工業(yè)廢棄物（廢氣、粉塵、廢水和廢渣等）的排放導(dǎo)致人類(lèi)生存環(huán)境惡化，城市化的迅速發(fā)展導(dǎo)致城市人口密度增加，諸多因素導(dǎo)致了微生物的生態(tài)平衡發(fā)生破壞。一些傳染病依然危害著人類(lèi)的健康，例如：艾滋病、埃博拉出血熱、新型肝炎等。影響傳染病傳播的因素有很多，包括媒介報(bào)道、氣象因素、空氣污染物等[1-2]。

傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)傳染病進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法。其根據(jù)疾病的發(fā)生、傳播、發(fā)展規(guī)律，以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素，建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型。Kermack 和Mckendrick 描述了一類(lèi)由病毒或細(xì)菌直接感染的傳染病模型，該模型中包括3類(lèi)人群：易感者（Ｓ）、感染者（Ｉ）、治愈者（Ｒ）。其他關(guān)于傳染病動(dòng)力學(xué)的文章可以參考文獻(xiàn)[3-5]

接種對(duì)預(yù)防傳染病是很重要的。通常情況下，不同疾病的接種過(guò)程也是不同的。例如：乙肝疫苗要接種3次，并且每2次之間的時(shí)間間隔是固定的[6]。文獻(xiàn)[7]中認(rèn)為，對(duì)易感者和新生兒接種都是可行的，并且接種以后的免疫作用是暫時(shí)的。有些傳染病是具有潛伏期的，不同疾病的潛伏時(shí)長(zhǎng)也有所不同。

1" 模型介紹

本文建立了一類(lèi)具有接種和潛伏期的傳染病模型，模型中共有5個(gè)倉(cāng)室：易感者（Ｓ）、接種者（Ｖ）、潛伏期患者（Ｅ）、感染者（Ｉ）和治愈者（Ｒ）。其傳播機(jī)制圖如圖1所示，根據(jù)傳播機(jī)制圖得如下模型

式中：？撰表示出生率，？滋表示自然死亡率，p表示易感者的接種率，？茁和？滓？茁（０l(fā)t;？滓lt;1）分別表示易感者和接種者的感染率，？酌表示潛伏期患者的轉(zhuǎn)移率，？孜表示治愈率，d表示因病死亡率。

下面來(lái)分析系統(tǒng)的正性和有界性。將式（1）改寫(xiě)成如下形式

X′=Ｇ（X），（2）

式中：X＝（Ｓ，Ｖ，Ｅ，Ｉ，Ｒ）∈R5，

。（3）

容易得到

。（4）

由文獻(xiàn)[8]中的引例2可知，所有的t≥0時(shí)，X（t）∈R■■均成立。

將式（1）中的所有方程相加，得

（Ｓ＋Ｖ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ）′=？撰-？滋（Ｓ＋Ｖ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ）-dI≤？撰-？滋（Ｓ＋Ｖ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ）。（5）

？贅＝（Ｓ＋Ｖ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ）∈R■■：Ｓ＋Ｖ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ≤■是式（1）的一個(gè)正的不變集。

2" 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

2.1" 無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性和基本再生數(shù)

令式（1）的右端等于零，則存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)P0（Ｓ0，Ｖ0，０，０，０），其中

S0＝■，V0＝■

利用基本再生矩陣的方法[9]，求出了模型的基本再生數(shù)，即

2.2 地方病平衡點(diǎn)的存在性

設(shè)Ｐ*（Ｓ*，Ｖ*，Ｅ*，Ｉ*，Ｒ*）為式（1）的地方病平衡點(diǎn)，滿(mǎn)足下列方程

解方程可得：當(dāng)Ｒ０gt;1時(shí)，式（8）在區(qū)間（０，■）上存在唯一的正根。此時(shí)，式（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)Ｐ*（Ｓ*，Ｖ*，Ｅ*，Ｉ*，Ｒ*）。其中

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

3.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理1：當(dāng)Ｒ０≤1時(shí)，式（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)Ｐ０是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：無(wú)病平衡點(diǎn)Ｐ0（Ｓ0，Ｖ0，０，０，０）中的Ｓ0，Ｖ0滿(mǎn)足下列方程

。（10）

那么式（1）可被改寫(xiě)為

。（11）

定義Lyapunov函數(shù)為

Ｖ１＝（S-S0-S0ln■）+（V-V0-V0ln■）+E+■I 。（12）

V1沿著式（11）的全導(dǎo)數(shù)為

（13）

顯然，當(dāng)Ｒ０≤1時(shí)，V1′≤0，式（1）得出的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的。

3.2" 地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理2：當(dāng)Ｒ０gt;1時(shí)，式（1）得出的地方病平衡點(diǎn)P *是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：地方病平衡點(diǎn)P*（Ｓ*，Ｖ*，Ｅ*，Ｉ*，Ｒ*）滿(mǎn)足下列方程

。（14）

記■＝x，■＝y(tǒng)，■＝z，■＝u，那么式（1）可被改寫(xiě)為

定義Lyapunov函數(shù)為

Ｖ２＝Ｓ*（x-1-lnx）+V*（y-1-lny）+E*（z-1-lnz）+■I*（u-1-lnu）。（16）

Ｖ２沿著式（15）的全導(dǎo)數(shù)為

由參考文獻(xiàn)[7]可知，V2′≤0。當(dāng)R0gt;1時(shí)，式（1）的地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸近穩(wěn)定的。

4" 結(jié)論

本文提出了具有接種與潛伏期的傳染病模型，通過(guò)再生矩陣法得到了模型的基本再生數(shù)。通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，證明了當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，傳染病最終消失；當(dāng)R0gt;1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，傳染病將持續(xù)存在。通過(guò)基本再生數(shù)可以看出接種對(duì)疾病暴發(fā)的影響，建議人們盡早接種疫苗，有效預(yù)防流行病。

參考文獻(xiàn)：

[1] SOORYANARAIN H， ELANKUMARAN S. Environmental role in inflfluenza virus outbreaks[J]. Annu. Rev.Anim. Biosci， 2015，3（1）：347-373.

[2] ECCLES R. An explanation for the seasonality of acute upper respiratory tract viral infections[J]. Acta oto-laryngologica， 2002，122（2）：183-191.

[3] 王素霞，董玲珍，王曉燕，等.具接種的隨機(jī)SIQR流行病模型中平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2019，49（14）：140-149.

[4] 郭曉君，李大治．一類(lèi)具有預(yù)防接種且?guī)Ц綦x項(xiàng)的SIQR傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J]．南通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，7（4）：87-93.

[5] 王賀橋，周艷麗，王美娟，等．具有連續(xù)預(yù)防接種的雙線(xiàn)性傳染率SIQR流行病模型[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29（2）：113-116.

[6] GABBUTI A， ROMANO L， BLANC P， et al. Long-term immunogenicity of hepatitis B vaccination in a cohort of Italian healthy adolescents[J]. Vaccine， 2007，25：3129-3132.

[7] LI J， YANG Y， ZHOU Y. Global stability of an epidemic model with latent stage andvaccination[J]. Nonlinear Anal. RWA.， 2011，12：2163-2173.

[8] YANG X， CHEN L. Permanence and positive periodic solution for the single-speciesnonautonomous delay diffusive model[J]. Comput. Math. Appl.， 1996，32：109-116.

[9] VAN D D P， WATMOUGH J. Reproduction numbers and sub-threshold endemicequilibria for compartmental models of disease transmission[J]. Math. Biosci.，2002，180： 29-48.