例析圖形平移的性質應用

摘要：圖形平移作為初中數學幾何部分比較基礎的知識點，一方面與旋轉等構成了豐富的圖形變換類型，另一方面有越來越多的中考題以此知識點為基礎命題，且呈現出“新”的特點.因此，掌握圖形平移的性質及其應用尤為關鍵.本文中首先簡要闡述圖形平移的性質，然后從三個方面例析其應用，為課堂教學提供幫助.

關鍵詞：圖形平移；性質；長度；面積

在北師大版八年級下冊數學第三章“圖形的平移與旋轉”第一節“圖形的平移”中，介紹了許多與圖形的平移有關的內容，如平移的概念、平移的性質、平移作圖、圖形的坐標變化與平移等，每一個知識點都非常重要.本文著眼平移的性質，以例題分析的形式就其應用進行介紹，以期對教師教學起到拓展和補充作用.

1 圖形平移的性質

北師大版初中數學教材對幾何圖形的平移及其性質進行了較詳細的描述.如果一個圖形進行了平移，那么平移前后圖形中對應點的連線段既互相平行又相等，而且對應角也相等.這里需注意的是，對應點的連線段可能在一條直線上［1］.

從幾何圖形的平移性質可知，圖形平移前后各邊、角是對應相等的，關鍵是找準對應點、對應角及對應線段，對應點連線段的長度都等于平移的距離.

另外，還需注意兩個方面：

（1）對應線段、對應角必須在平移前、后的兩個圖形中尋找；

（2）平移前、后的兩個圖形是全等圖形.

2 圖形平移的性質應用例析

由上述圖形平移的性質可知，在應用該性質解決問題時，無非就是要處理以下幾個問題：如何確定平移的方向？如何確定平移的距離？如何找準“對應”關系［2］？接下來，通過一些例題分析對圖形平移的性質應用加以說明和介紹.

2.1 求圖形角度和長度問題

例1 如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=33°.現將Rt△ABC沿著AB的方向向右平移一段距離，使得點C與點F重合，點A與點D重合，點B與點E重合.

（1）求∠E的度數；

（2）如果AE=9 cm，DB=2 cm，試求CF的長度.

思路分析：（1）△ABC在平移前后，形狀和大小都沒有發生改變，只是位置發生了變化，對應邊、對應角都分別相等.由∠E和∠ABC是對應角，求出∠ABC的大小即求出了∠E的大小.

（2）由圖形平移的性質可知，連接點C，F后，CF與BE既互相平行又相等，即將求CF的長轉化為求BE的長度.

解析：（1）∵△ABC是直角三角形，∠A=33°，

∠ACB=90°，

∴∠ABC=57°.

由平移的性質，可得∠E=∠CBA=57°.

（2）如圖2，連接CF.

由平移的性質，可得AD=BE=CF.

∵AE=9 cm，DB=2 cm，

∴AD=BE=（9-2）÷2=3.5（cm）.

∴CF=3.5 cm.

方法總結：應用圖形平移的性質解決圖形的角度和長度問題時，只要抓住平移前后圖形的對應角相等，對應邊平行（或在一條直線上）且相等，就不難得出正確的答案［3］.為此，連接對應點得到一些線段或構造出一些圖形，是解決這類問題時作輔助線的常規做法.

2.2 求圖形面積問題

例2 如圖3，有四個長方形，它們長和寬均分別為a，b.現對它們進行如下操作：

在圖3①中，先把線段A1A2沿著左水平方向平移1個單位長度，就得到了線段B1B2.線段A1A2和線段B1B2及上下水平方向各一條線段形成了封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

在圖3②中，把折線A1A2A3沿著左水平方向平移1個單位長度，就得到了折線B1B2B3.折線A1A2A3和折線B1B2B3及上下水平方向各一條線段形成了封閉圖形A1A2A3B3B2B1（即陰影部分）.

根據以上操作回答下列問題：

（1）請你在圖3③中畫一條有兩個折點的折線，并把它向左平移1個單位長度，得到一個封閉圖形后，畫出陰影.

（2）若圖3①，3②，3③中除去陰影部分后剩余部分的面積分別為S1，S2，S3，則S1=；S2=；S3=.

（3）如圖3④，有一塊長方形的草地，草地上修了一條彎曲的水泥路（黑色）.請你猜想草地的面積（白色），并嘗試說明理由.

解析：（1）如圖4①所示，折線A1A2A3A4與折線B1B2B3B4處處互相平行、處處距離相等.充分說明，這兩道折線可通過平移合并成一道折線.所以，將右邊的折線向左平移1個單位長度，就形成了一個封閉圖形（即陰影部分）.

（2）ab-b；ab-b；ab-b.

（3）ab-b.理由：把小路右邊的草地部分向左平移1個單位長度，和左邊部分的草地可以拼成一個長方形，如圖4②所示，它的面積等于原長方形的面積減去右邊長為b、寬為1的長方形的面積.

方法總結：當陰影部分的左、右邊界由直線變為折線或曲線時，陰影部分由規則圖形變為不規則圖形，而不規則圖形的問題可以通過平移轉化成規則圖形的問題，從而讓問題得到解決.這種解決問題的思路可稱之為“轉化法”，它體現的是由特殊到一般的數學思想［4］.如本題中通過平移的方法得到一個規則的圖形，最終求出了不規則圖形的面積.

2.3 利用平移確定位置

例3 如圖5所示，甲、乙兩所學校之間相隔一條馬路.

為了使兩校之間的交通更便利，讓兩學校的大門A，B的距離最短，政府現計劃在兩校之間建一座天橋MN.如果你是項目設計師，你認為天橋MN應該怎樣設計？（注意：馬路兩邊可看成互相平行的直線，且天橋和馬路必須互相垂直.）

思路分析：根據平移的性質，先“過橋”，將MN平移至AA1，連接BA1，與馬路一邊交于點N，然后過點N作AA1的平行線交馬路另一邊于點M，就得到了天橋的位置.

解析：如圖6，將點A按垂直于馬路的方向，平移馬路寬的長度到點A1，連接A1B交馬路靠近點B的一邊于點N，過點N作馬路的垂線，交馬路另一邊于點M，則MN即為應架天橋的地方.

總結方法：利用平移的性質確定位置，主要是根據相關條件作出平行四邊形.通過平行四邊形的性質實現了邊的平移，也就將原本不在一條直線上的兩邊移至同一條直線上［5］.

3 結語

綜上所述，考查圖形平移性質的應用題型靈活多樣，其解題方法也比較靈活.對于這類問題，充分理解和掌握圖形平移的性質是關鍵，再結合一定的練習題加強和鞏固知識點，如此方能不斷提升學生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］張文蔚.初中數學“平移與旋轉”教材分析與教學研究［D］.蘭州：西北師范大學，2007.

［2］周庭芬.平移性質的運用［J］.語數外學習（初中版七年級），2011（3）：19.

［3］孔偉偉.平移、旋轉在初中數學中的應用［J］.新課程（中學），2017（6）：92，94.

［4］閆建生.巧妙利用平移性質［J］.語數外學習（高考數學），2012（2）：10.

［5］傅曉霞.幾何圖形變換在解題中的應用研究［J］.科學大眾：科學中考，2022（3）：32-34.